Зміст навчального матеріалу 1 Диференціальні рівняння



Скачати 129.36 Kb.
Дата конвертації31.12.2016
Розмір129.36 Kb.
Розділ 1
Зміст навчального матеріалу
1 Диференціальні рівняння
Динамічні моделі і диференціальні рівняння.

Найпростіше диференціальне рівняння. Деякі динамічні моделі (радіоактивний розпад, прогнозування попиту, вільні коливання тощо). Звичайні диференціальні рівняння (ДР). Задача Коші. Рівняння з відокремлюваними змінними.

Рівняння розв’язані щодо похідної.

Загальні зауваження. Однорідні функції. Однорідні рівняння. Зведення ДР до однорідних. Лінійні рівняння першого порядку (однорідні і неоднорідні). Метод варіації довільної сталої. Заміна змінних. Рівняння Бернулі.

Існування та єдиність розв’язку задачі Коші.

Наближені методи розв’язування ДР (метод ізоклін, метод послідовних наближень Пікара). Теорема Коші про існування та єдиність розв’язку. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

Рівняння не розв’язані щодо похідної.

Неповні рівняння. Рівняння Лагранжа та Клеро. Особливі точки і особливі розв’язки ДР першого порядку. Обвідна сім’ї кривих.

Неповні диференціальні рівняння вищих порядків.

Основні поняття. Теореми існування. Неповні диференціальні рівняння. Неповні ДР другого порядку. Загальний підхід до зниження порядку ДР.

Лінійні диференціальні рівняння -го порядку.

Лінійне однорідне диференціальне рівняння (ЛОДР). Властивості розв’язків ЛОДР -го порядку. Лінійна залежність функцій. Вронскіан. Фундаментальна система розв’язків. Загальний розв’язок ЛОДР -го порядку. Формула Ліувіля-Остроградського. Формула Абеля.

ЛОДР -го порядку з сталими коефіцієнтами.

Частинні і загальний розв’язки ЛОДР -го порядку. Випадок простих коренів характерист. рівняння (ХР). Ви-падок комплексних коренів ХР. Випадок кратних коренів.

Лінійні неоднорідні рівняння (ЛНДР) -го порядку.

Структура загального розв’язку ЛНДР. Метод варіацаї довільних сталих (метод Лагранжа). Властивості розв’язків ЛНДР. Неоднорідні рівняння із сталими коефіцієнтами. Метод невизначених коефіцієнтів.

Нормальні системи диференціальних рівнянь.

Нормальна система ДР. Інтеграли системи. Існування і єдиність розв’язку.Зведення системи до одного рівняння -го порядку. Загальні методи інтегрування систем: виключення змінних, інтегровних комбінацій.

Лінійні системи диференціальних рівнянь.

Векторно-матрична форма запису. Неоднорідні і однорідні системи. Стандартна лінійна система ДР. Лінійні однорідні системи (ЛОС). Фундаментальна матриця (ФМ) системи. Формула Ліувіля-Остроградського-Якобі.

Стандартна лінійна система з сталою матрицею.

Елементарні перетворення подібності. Зведення матриці до форми Фробеніуса. Стандартна система. ФМ однорідної стандартної системи: 1) випадок простих коренів характеристичного полінома; 2) випадок кратних коренів.

Лінійна однорідна система ДР з сталою матрицею.

Зведення системи до стандартного вигляду. Правило послідовного диференціювання. Алгоритм побудови фундаментальної матриці. Нормування ФМ.

Лінійні неодн. системи ДР з сталими коефіцієнтами.

Метод варіації довільних сталих. ЛНС ДР з сталими коефіцієнтами. Зведення ЛНС ДР до одного рівняння. Побудова частинного розв’язку. Алгоритм побудови загального розв’язку.

2 Методи оптимізації та дослідження операцій
Математична модель процесу. Класифікація математичних моделей. Приклади. Отимізаційні моделі. Оптимізація функцій. Задача математичного програмування.

Многогранні множини.

Півплощини і півпростори. Системи лінійних нерівностей. Опуклі множини та їх крайні точки. Многогранні множини. Многогранники.

Задача лінійного програмування (ЗЛП).

Екстремум лінійної форми, визначеної на многогранній множині. Задача лінійного програмування. Форми запису її. Графічний мегод розв'язання ЗЛП.

Симплексний метод розв’язування ЗЛП.

Опорні розв’язки СЛР. Перетворен­ня однократного заміщення. Зведення ЗЛП до канонічного вигляду. Крайні точки системи рівнянь-обмежень ЗЛП. Самплекс-метод.

Розв'язування ЗЛП симплексним методом.

Побудова вихідного опорного плану ЗЛП методом штучного базису. М-метод штучного базису. Розв’язування ЗЛП при допомозі математичних пакетів.

Подвійність в лінійному програмуванні.

Симетричні подвійні задачі. Достатня ознака оптимальності. Основна теорема подвійності. Несиметричні подвійні задачі.

Теореми подвійності. Якісний аналіз розв’язку ЗЛП.

Друга теорема подвійності. Умови нежорсткості. Теорема про оцінки. Розв’язування пари подвійних задач симплексним методом. Економічна інтерпретація пари подвійних задач. Якісний аналіз їх розв’язку.

Транспортна задача лінійного програмування (ТЗ).

Постановка задачі та її математична модель. Сумісність системи рівнянь-обмежень ТЗ. Розв’язування ТЗ симплексним методом. Побудова опорного плану перевезень.

Методи розв’язування транспортних задач.

Замкнуті контури і вектори-стовпчики системи рівнянь-обмежень ТЗ. Розподільчий метод. Задача подвійна до транспортної. Метод потенціалів. Алгоритм методу.

Задачі і методи дискретного програмування.

Задачі дискретного програмування та їх класифікація.

Задача про призначення, розв’язування її методом потенціалів. Задачі на незв’язних областях.

Цілочисельне програмування. Алгоритми Гоморі.

Виробничі задачі з вимогою цілочисельності. Ціло-чисельна ЗЛП. Методи відтинань. Алгоритми Гоморі.

Задача комівояжера.

Задача комівояжера (ЗК) та її математична модель. Задача з симетричною матрицею. Графічні методи розв’язування ЗК.

Комбінаторні методи. Метод віток і границь.

Метод віток і границь. Модифікований алгоритм Літла для задачі комівояжера.

Сітьові методи.

Задача про оптимальний потік на сітці. Задача про найкоротший шлях. Метод Форда-Фулкерсона.

Задача нелінійного програмування.

Задача нелінійного програмування (ЗНП). Форми запису ЗНП. Графічний метод розв’язування ЗНП. Метод виключення змінних.

Метод множників Лагранжа. Теорема Куна-Таккера.

Опуклі функції та їх властивості. Метод множників Лагранжа. Теорема Куна-Таккера. Локальні диференціальні умови Куна-Таккера.

Задачі і методи квадратичного програмування.

Нелінійні задачі з лінійними обмеженнями. Квадратична форма та її властивості. Задача квадратичного програмування (ЗКП). Зведення її до системи лінійних рівнянь з нелінійним обмеженням.

Алгоритм Вольфа.

Зведення ЗКП до ЗЛП. Реалізація алгоритму Вольфа перетворенням симплекс-таблиць та при допомозі математичних пакетів.

Методи дробово-лінійного програмування.

Задача ДЛП та її властивості. Графічний метод розв’язування задач ДЛП. Зведення задачі ДЛП до ЗЛП.

Чисельні методи оптимізації без обмежень.

Задача одновимірної оптимізації (ОП). Чисельні методи розв’язання її (поділу відрізка, золотого перерізу). Оптимізація функції багатьох змінних. Методи прямого пошуку. Градієнтний метод із сталим кроком.

Чисельні методи розв’язування ЗНП.

Обмеження у вигляді рівностей (нерівностей). Методи проекцій градієнта. Метод Франка-Вульфа. Метод штрафних функцій.


3 Методи обчислень
Чисельні методи і математичні моделі.

Вступ. Математична модель. Застосування обчислювального експерименту. Теорія похибок. Поняття стійкості апроксимацій, збіжності та коректності.

Чисельні методи розв’язування алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Локалізація коренів алгебраїчних рівнянь. Уточнення кореня рівняння. Метод ділення навпіл. Метод простої ітерації, метод Ньютона, метод хорд.

Чисельні методи лінійної алгебри.

Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Гауса. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Поняття норми матриці. Метод простої ітерації та його збіжність. Метод Зейделя та його збіжність. Обумовленість систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Теорія інтерполяції та апроксимації.

Постановка задачі інтерполювання. Узагальнений інтерполяційний многочлен. Система функцій Чебшиева. Многочлен Лагранжа. Інтерполяційна схема Ейткіна. Інтерполяційні формули Ньютона для не рівновіддалених вузлів інтерполювання. Середньоквадратичне та рівномірне наближення функції. Ортогональні многочлени. Многочлени Лежандра.

Чисельні методи інтегрування функцій.

Інтерполяційні формули чисельного інтегрування. Квадратурні формули прямокутників, трапецій, Сімпсона . Квадратурні формули найвищої алгебраїчної міри точності (формули Гаусса). Оцінка похибки квадратурних формул. Наближене обчислення невласних інтегралів. Метод Канторовича виділення особливостей. Наближене обчислення кратних інтегралів.

Чисельні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

Методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференційних рівнянь І порядку. Постановка задачі. Метод Ейлера і його збіжність . Методи Рунне-Кутта. Багатокрокові методи Адамса.

Чисельні методи розв’язування систем звичайних диференціальних рівнянь.

Чисельні методи розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Чисельні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків.

Чисельні методи безумовної оптимізації.

Постановка задачі. Метод золотого перерізу. Градієнтні методи.

Методи розв’язування крайових задач.

Методи розв’язування крайових задач. Метод зведення крайової задачі до задач Коші. Інтегро-інтерполяційний метод побудови різницевих схем.



Розділ 2
Перелік екзаменаційних питань
1 Диференціальні рівняння


  1. Найпростіше диференціальне рівняння. Рівняння з відокремленими змінними.

  2. Деякі динамічні моделі (технічних, екологічних, соціально-економічних задач).

  3. Диференціальне рівняння і його порядок. Загальний і частинні розв’язки рівняння.

  4. Рівняння пешого порядку. Задача Коші. Рівняння, розв’язані щодо похідної.

  5. Рівняння з відокремлюваними змінними. Рівняння, що зводяться до них.

  6. Однорідні рівняння. Рівняння, що зводяться до них.

  7. Лінійні рівняння першого порядку (однорідні і неоднорідні).

  8. Рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь першого порядку.

  9. Рівняння в повних диференціалах. Теорема про умови повноти.

  10. Задача Коші для рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

  11. Метод послідовних наближень (Пікара). Теорема Коші про існування та єдиність розв’язку.

  12. Метод ізоклін. Приклад побудови інтегральних кривих.

  13. Неповні рівняння, не розв’язані щодо похідної (не містить або , або і ).

  14. Рівняння Лагранжа.

  15. Рівняння Клєро. Особливі розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку.

  16. Особливі точки диференціальних рівнянь першого порядку.

  17. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь вищих порядків. Теорема про існування та єдиність розв’язку.

  18. Неповні диференціальні рівняння -го порядку.

  19. Неповні диференціальні рівняння -го порядку.

  20. Лінійний диференціальний оператор та його властивості.

  21. Лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР) -го порядку. Властивості їх розв’язків.

  22. Детермінант Вронського та його властивості.

  23. Структура загального розв’язку ЛОДР -го порядку.

  24. Формула Остроградського-Ліувіля для ЛОДР -го порядку.

  25. Формула Абеля та її застосування.

  26. ЛОДР -го порядку з сталими коефіцієнтами. Випадок різних коренів характеристичного рівняння.

  27. ЛОДР -го порядку з сталими коефіцієнтами. Випадок пари комплексних коренів.

  28. ЛОДР -го порядку з сталими коефіцієнтами. Випадок кратних коренів.

  29. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) -го порядку. Структура їх загального розв’язку.

  30. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа).

2 Методи оптимізації та дослідження операцій




  1. Екстремум лінійної форми, визначеної на многогранній множині.

  2. Задача лінійного програмування (ЗЛП). Форми запису ЗЛП. Графічний метод розв'язування ЗЛП.

  3. Симплексний метод розв’язування ЗЛП.

  4. Побудова вихідного опорного плану ЗЛП (метод штучного базису, М-метод штучного базису).

  5. Симетричні подвійні ЗЛП. Достатня ознака оптимальності.

  6. Несиметричні подвійні задачі. Основна теорема подвійності.

  7. Друга теорема подвійності. Умови нежорсткості.

  8. Теореми про оцінки. Розв’язування пари подвійних задач симплекс-методом.

  9. Економічна інтерпретація пари подвійних задач. Якісний аналіз їх розв’язку.

  10. Транспортна задача (ТЗ) та її математична модель. Сумісність системи рівнянь-обмежень ТЗ. Розв’язування ТЗ симплексним методом.

  11. Задача подвійна до транспортної. Метод потенціалів. Алгоритм методу.

  12. Відкриті моделі транспортних задач. Моделі з додатковими обмеженнями.

  13. Вироджені транспортні задачі.

  14. Задачі дискретного програмування та їх класифікація.

  15. Задача про призначення, розв’язування її методом потенціалів. Задачі на незв’язних областях.

  16. Виробничі задачі з вимогою цілочисельності. Цілочисельна ЗЛП. Методи відтинань. Перший алгоритм Гоморі.

  17. Другий алгоритм Гоморі. Ідеї третього алгоритму Гоморі.

  18. Задача комівояжера (ЗК) та її математична модель. Задача з симетричною матрицею. Графічні методи розв’язування ЗК.

  19. Задача про оптимальний потік на сітці.

  20. Задача про найкоротший шлях. Метод Форда-Фулкерсона.

  21. Задача нелінійного програмув. (ЗНП). Графічний метод розв’язування ЗНП.

  22. Метод виключення змінних. Метод множників Лагранжа.

  23. Теорема Куна-Таккера. Сідлова точка. Диференціальні умови Куна-Таккера.

  24. Задача квадратичного програмування (ЗКП). Необхідні умови існування розв’язку.

  25. Розв’язування ЗКП методом Вульфа.

  26. Задача дробово-лінійного програмування (ДЛП). Графічний метод розв’язування задачі ДЛП.

  27. Зведення ДЛП до ЗЛП. Теорема про узгодженість розв’язків.

  28. Задача безумовної оптимізації. Необхідні і достатні умови екстремуму.

  29. Метод найшвидшого підйому (спуску). Приклади задач з негладкою цільовою функцією.

  30. Метод проекцій градієнта. Залежність від вибору початкової точки.

3 Методи обчислень




  1. Абсолютна і відносна похибка наближеного числа.

  2. Основні джерела похибок.

  3. Локалізація коренів алгебраїчного рівняння.

  4. Уточнення кореня алгебраїчного рівняння.

  5. Поділ відрізка пополам.

  6. Метод Ньютона.

  7. Метод хорд.

  8. Чисельні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

  9. Метод простої і ітерації розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

  10. Метод Зейделя.

  11. Наближені методи розв’язання систем нелінійних рівнянь. Метод ітерацій для системи двох нелінійних рівнянь.

  12. Постановка задачі інтерполювання .

  13. Узагальнений інтерполяційний многочлен. Система функцій Чебишева.

  14. Інтерполяційний многочлен Лангранжа.

  15. Інтерполяційна схема Ейткіна.

  16. Розділені різниці та їх властивості. Інтерполяційні формули Ньютона для не рівновіддалених вузлів інтерполювання.

  17. Задача найкращого вибору вузлів інтерполювання.

  18. Збіжність інтерполяційного процесу.

  19. Числове диференціювання.

  20. Чисельні методи обчислення визначених інтервалів . Загальна квадратурна формула інтерполяційного типу.

  21. Квадратурні формули Ньютона-Котеса (загальна)

  22. Формула прямокутників .

  23. Формула трапеції.

  24. Формула Сімпсона (парабол).

  25. Формула трьох восьмих.

  26. Алгебраїчна міра точності квадратурної формули.

  27. Чисельні методи розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

  28. Метод Ейлера .

  29. Метод Рунне-Кутта.

  30. Метод Адамса.

Література


  1. Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Калайда О. Ф. Диференціальні рівняння. К.: Вища шк., 1981. – 504 с.

  2. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк І. О. Диференціальні рівняння. К.: Либідь, 1994. – 360 с.

  3. Шкіль М. І., Лейфура В.М., Самусенко П. Ф. Диференціальні рівняння: Навч. посібник. – К.: Техныка, 2003. – 368 с.

  4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / Под ред. А.П.Рябушко. – Минск: Вышэйш. шк. – Ч.1. - 1990.

  5. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / Под ред. А.П.Рябушко. – Минск: Вышэйш. шк. – Ч.2. - 1991.

  6. Перестюк М. О., Свіщук М. Я. Збірник задач з диференціальних рівнянь: Навч.посібник. – К.: Либідь, 1997. – 192 с.

  7. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. – 153 с.

  8. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. – 488 с.

  9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. – 472с.

  10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. – 576 с.

  11. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. -– М.: Наука, 1991.

  12. Исследование операций 1. Методологические основы и математические методы. Пер. с англ./ Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. – М.: Мир, 1981. – 712 с.

  13. Калихман И. Л. Сборник задач по математическому программированию. – М.: Высш. шк., 1975. – 270 c.

  14. Крушевский А.В., Швецов К.И. Математическое программирование и моделирование в экономике. – К.: Вища школа, 1989. – 456 с.

  15. Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощенко А. Б. Математическое программирование. -М.: Высш. шк., 1980. – 352 с.

  16. Ляшенко И. Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и нелинейное программирование.- К.; Высш. шк., 1975. – 372 с.

  17. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.: Наука, 1978. – 352 с.

  18. Морозов В.В., Сухарев Ф.Г., Фёдоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1986. – 287 с.

  19. Сборник задач по курсу математические методы в планировании отраслей и предприятий / Под ред. Попова И.Г. – М: «Экономика», 1971. – 166 с.

  20. Степанюк В. В., Методи математичного програмування. - К.: Вища шк., 1977. – 272 с.

  21. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

  22. Бахвалов Н.С. Численные методи. М.: Наука, 1973.

  23. Бахвалов Н.С, Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.:Наука, 1987.

  24. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вичислений. М.: Наука, 1966. Т.1.

  25. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.

  26. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987.

  27. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

  28. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

  29. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методи решения некорректных задач. М: Наука, 1986.

  30. Форсайт Дж., Моулер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969.




База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка