Затверджено радою



Скачати 116.11 Kb.
Дата конвертації21.11.2016
Розмір116.11 Kb.
НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ
«КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

ЗАТВЕРДЖЕНО РАДОЮ

фізико-математичного факультету

Протокол № від ______________



Декан ФМФ ____________В.В. Ванін

”__”____ ____2015 р.


ПРОГРАМА
додаткового фахового випробування для вступу на освітньо-професійну програму підготовки магістра/спеціаліста по спеціальності 8/7.04020301 «Фізика»

для випускників не за ОКР бакалавр 6.040203 «Фізика»


Програму рекомендовано

Методичною комісією

фізико-математичного факультету

Протокол № від ______________

Голова комісії

Київ – 2015



I. ВСТУП

Важливим завданням спеціальності «фізика» є розвиток логічного і алгоритмічного мислення студентів, вміння проводити аналіз прикладних задач. Метою, зокрема, є вміння навчити студентів використовувати необхідний математичний апарат, який дозволить їм аналізувати, моделювати, розв’язувати прикладні інженерні задачі із застосуванням комп’ютерних технологій; здатність самостійно розширювати свої знання, формулювати і вирішувати нові задачі.

Ця програма відображає поглиблені вимоги, які ставить ХХІ століття до фізичної освіти для громадян, які не мали досвіду систематичного вивчення дисциплін освітньо кваліфікаційного рівня бакалавр «фізика». ЇЇ характеризує прикладна направленість та орієнтація на використання, зокрема, математичних методів, особлива увага до методів теорії диференціальних рівнянь та інтегральних рівнянь, лінійної алгебри та аналітичної геометрії, векторного та тензорного аналізу у зв’язку з їх практичною значимістю.

Нормативні курси математичного циклу: диференціальні та інтегральні рівняння, лінійна алгебра та аналітична геометрія, векторний та тензорний аналіз, математичний аналіз – базуються на сучасних методах і потребують розуміння фундаментальних тверджень математики, їх використання і будуть запорукою успішного подальшого навчання, наукового зростання і творчих успіхів.



II. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Програма додаткового вступного випробування складена на основі розгорнутих програм таких дисциплін: «диференціальні та інтегральні рівняння», «Аналітична геометрія та лінійна алгебра», «Основи векторного та тензорного аналізу» – і містить такі розділи:


Розділ 1. Аналітична геометрія та інійна алгебра


  1. Вступ. Предмет та метод аналітичної геометрії та лінійної алгебри.

Арифметичний простір.

  1. Елементи теорії матриць та визначників. Означення матриці. Система

позначень. Алгебраїчні дії над матрицями. Деякі спеціальні види матриць. Означення визначника. Властивості визначників. Теорема Лапласа. Теорема про добуток визначників. Основні методи обчислення визначників. Обернена матриця. Означення. Побудова оберненої матриці.

  1. Ранг матриці. Означення мінору матриці. Означення рангу матриці.

Теорема про базисний мінор.

  1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні поняття. Критерій

сумісності. Системи лінійних рівнянь крамеровського типу. Теорема Крамера. Арифметичний простір розв'язків однорідної системи рівнянь. Побудова загального розв'язку неоднорідної системи алгебраїчних рівнянь.

  1. Векторна алгебра. Поняття вектора. Лінійні операції над векторами.

Лінійна залежність та не залежність векторів. Базис в скінченно вимірному просторі. Поняття системи координат. Декартова (афінна)система координат. Криволінійні системи координат (полярна, циліндрична, сферична). Скалярний, векторний і мішаний добутки векторів. їх властивості та застосування. Подвійний векторний добуток. Тотожність Лагранжа. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

  1. Перетворення координат вектора на площині і просторі. Кути Ейлера.

  2. Лінії та поверхні першого порядку. Векторні та координатні рівняння

прямої на площині. Векторні та координатні рівняння площини у просторі. Векторні та координатні рівняння прямої у просторі. Відстань від точки до прямої, площини. Основні задачі на пряму і площину.

  1. Криві другого порядку. Канонічні рівняння кривих другого порядку.

Еліпс, гіпербола та парабола. їх властивості. Криві другого порядку як конічні перетини.

  1. Полярні рівняння кривих другого порядку. Параметричні рівняння

кривих.

  1. Дослідження загальних кривих другого порядку. Загальне рівняння кривих другого порядку. Канонізація рівнянь кривих другого порядку. Види кривих другого порядку.

  2. Поверхні другого порядку. Окремі класи поверхонь другого порядку.

  3. Поверхні обертання. Циліндричні поверхні. Конус другого порядку.

  4. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку. Еліпсоїди. Гіперболоїди.

Параболоїди. Дослідження поверхонь за їх канонічним рівнянням.

  1. Лінійні простори. Поняття лінійного простору. Основні властивості лінійних просторів. Лінійні підпростори. Лінійна оболонка. Ізоморфізм лінійних просторів. Лінійне доповнення.

  2. Простір зі скалярним добутком. Евклідів, комплексний евклідів простори.

  3. Обчислення скалярного добутку. Критерій лінійної залежності та незалежності системи векторів у просторі зі скалярним добутком. Нерівність Коші-Буняковського. Ортогональні доповнення просторів. Орто нормо вашій базис. Матриця Грама та її властивості. Процес Грама-Шмідта.


Розділ 2. Диференціальні та інтегральні рівняння

1. Задачі, які приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння - основний засіб математичного моделювання фізичних задач. Означення диференціального рівняння І порядку, його розв'язку. Задача Коші.. Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними. Лінійні диференціальні рівняння та звідні до них. Рівняння Бернуллі. Однорідні та квазіоднорідні диференціальні рівняння та звідні до них. Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник. Деякі способи його відшукання. Метод ізоклін побудови поля інтегральних кривих. Задача Коші для диференціальних рівнянь І порядку, теорема Пікара про існування та єдиність її розв'язку. Теорема Пеано.

Продовження розв'язку початкової задачі. Теорема Кнезера. Особливі точки, особливі інтегральні криві явних диференціальних рівнянь. Умови їх існування.

2 Лінійні диференціальні рівняння, їх інваріантні перетворення. Властивості розв'язків лінійних однорідних диференціальних рівнянь. Визначник Вронського. Теорема про структуру загального розв'язку лінійного однорідного диференціального рівняння. Фундаментальна система розв'язків та теорема про її існування. Формула Остроградського - Ліувілля. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-ого порядку зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера побудови загального розв'язку однорідних рівнянь .Теорема про структуру загального розв'язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння n-ого порядку. Метод варіації довільних сталих побудови частинного розв'язку неоднорідного рівняння. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами та квазіполіномом у правій частині. Метод невизначених коефіцієнтів.

Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності розв'язку. Вронскіан. Фундаментальна система розв'язків. Теорема про загальний розв'язок лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь. Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Побудова фундаментальної системи розв'язків. Метод Ейлера. Експонента матриці, її властивості та структура.

Лінійна система диференціальних рівнянь зі сталою матрицею та квазіполіноміальним вільним членом. Метод невизначених коефіцієнтів.

Диференціальні рівняння, звідні до рівнянь зі сталими коефіцієнтами: рівняння Ейлера, Лагранжа, Чебишова.

3. Інтегральні перетворення Лапласа, їх основні властивості. Теореми диференціювання оригіналу. Інтегрування оригіналу та зображення. Теорема множення. Теореми розвинення.

Застосування операційного числення до розв'язування лінійних диференціальних рівнянь та систем з сталими коефіцієнтами. Лінійні інтегро-диференціальні рівняння та системи.

4. Диференціальні рівняння та системи рівнянь вищих порядків. Нормальна система диференціальних рівнянь. Теорема Пікара. Способи зниження порядку диференціального рівняння. Типи рівнянь, що допускають зниження порядку. Загальний метод параметризації. Диференціальні рівняння Лагранжа та Клеро. Метод виключення для інтегрування нормальних систем першого порядку. Метод інтегровних комбінацій.

5. Стійкість за Ляпуновим. Асимптотична стійкість. Стійкість лінійних систем диференціальних рівнянь із сталою матрицею. Теорема про стійкість за першим наближенням. Функція Ляпунова. Перша теорема Ляпунова про стійкість. Теорема Четаєва. Поняття про стійкість за постійно діючим збуренням.

6. Постановка задач, їх класифікація. Регулярні та сингулярні спектральні диференціальні задачі. Схема побудови їх власних чисел та власних функцій. Самоспряжені та антисамоспряжені задачі. Властивості їх власних функцій. Задача Штурма- Ліувілля, її самоспряжність. Регулярні та сингулярні задачі. Властивості їх власних чисел та власних функцій. Теорема Стеклова, теорема про повноту.

7. Інтегральні рівняння, їх класифікація. Лінійні інтегральні рівняння. Рівняння Фредгольма другого роду. Метод послідовних наближень. Існування та єдиність розв'язку. Резольвента. Інтегральні рівняння з виродженим ядром. Спектральна інтегральна задача. Інтегральні рівняння з симетричним ядром. Властивості характеристичних чисел та власних функцій ермітового ядра. Теорема Гільберта-Шмідта. Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду.. Інтегральні рівняння Вольтерра другого роду. Метод послідовних наближень. Існування та єдиність розв'язку інтегрального рівняння Вольтерра першого роду, зведення їх до рівнянь другого роду.
Розділ 3. Основи векторного та тензорного аналізу

1. Лінійні оператори. Означення. Система позначень. Властивості лінійних операторів. Ядро та ранг лінійного оператора. Матриця лінійного оператора. Лінійні оператори та заміна базису.

2. Спектральна задача лінійних операторів. Означення власних значень та власних векторів лінійного оператора. Скалярні інваріанти. Теорема Гамільтона-Келі. Канонічний вид матриць лінійного оператора.

3. Лінійні оператори у просторах зі скалярним добутком. Спряжені, самоспряжені й ортогональні лінійні оператори та їх властивості: матриця, власні значення та власні вектори.

4. Лінійні, білінійні та квадратичні форми. Означення та властивості лінійних форм. Симетричні білінійні форми. Квадратичні форми. Означення та їх властивості. Приведення квадратичних форм до канонічного виду. Закон інерції. Критерій Сильвестра. Квадратичні форми в евклідовому просторі. Дослідження загального рівняння поверхні другого порядку.

5. Клементи тензорної алгебри. Означення тензора. Приклади тензорів. Алгебраїчні дії над тензорами. Метричний тензор. Тензори в евклідовому просторі.

6. Основи векторного га тензорного аналізу. Предмет та метод векторного, тензорного аналізу. Теорія криволінійних координат. Взаємний базис. Коваріантні і контраваріантні координати векторів.

7. Скалярні, векторні та тензорні поля. Поняття ріманового простору. Асоціативні тензори. Алгебраїчні дії над тензорними полями.

8. Інваріантність тензорних рівнянь. Поняття про скалярний інваріант. Інваріантне представлення векторів і тензорів.

9. Коваріантне диференціювання. Абсолютний диференціал скалярних, векторних та тензорних полів. Символи Кристоффеля. Коваріантне диференціювання векторних та тензорних полів. Теорема Річчі. Коваріантні похідні вищих порядків. Інваріанти кривих та поверхонь.

10. Диференціальні оператори. Інтегрування тензорних величин. Основні інтегральні теореми.
3. ПРИКІНЦЕВІ ПОЛОЖЕННЯ

1. Допоміжні матеріали.

На екзамені не допускається користування додатковою літературою.
2. Критерії оцінювання.

Екзаменаційний білет складається з двох теоретичних питань з фізики, одного питання з охорони праці та одного практичного завдання (задачі) з фізики.

Система оцінювання оцінює здатність студента:


  • узагальнювати отримані знання для вирішення конкретних завдань, проблем;

  • застосовувати правила, методи, принципи, закони у конкретних ситуаціях;

  • аналізувати і оцінювати факти, події та робити обґрунтовані висновки;

  • інтерпретувати схеми, графіки, діаграми;

  • викладати матеріал логічно, послідовно, з дотриманням вимог стандартів.

Система критеріїв оцінювання передбачає наступне:

  • відповідь студента оцінюється за 100-бальною шкалою;

  • кількість балів (qi max), яка нараховується за виконання окремого завдання складає 25 балів, ;

  • оцінювання результатів кожного завдання (запитання, етапу) здійснюється у чотирирівневій системі балів:



Оцінка відповіді
на завдання

Розподіл балів відносно значення «ваги» запитання qmax

Бали оцінки відповіді (qma= 25)

«відмінно»

q ≥ 0,9 qmax

25…22

«добре»

0,75 qmaxq < 0,9 qmax

21…19

«задовільно»

0,6 qmaxq <0,75 qmax

18…15

«незадовільно»

q < 0,6 qmax

14...0

Загальна кількість балів за відповідь визначається шляхом підсумовування балів (qi) за виконання окремих його частин.


СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Бакельман Й. Я. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, — М., Просвещение, 1976, 288 с.



  1. Беклимишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.,Наука, 1974, 320с.

  2. Білоусова В. П. та інш. Аналітична геометрія. — К., 1985, - 328 с.

  3. Ильин В. А., Позняк З. Г. Аналитическая геометрия. — М., 1971. — 232 с.
    5. Ильин В. А., Позняк З. Г. Линейная алгебра. — М., 1974. — 296 с.

  1. Головина Л. И. Линейная алгебра инекоторые ее приложения. — М., 1985. — 392с.

  2. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М., 1979. — 256 с,

  3. Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. — М., 1985. - 120с.

  4. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М., 1984 — 336 с.

10. Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. — М., 1966.-336с.

11. Воеводин В. В. Линейная алгебра. - М., Наука. 1980. — 400 с.

12. Назієв Е. Х. Владіміров В. М. Миронець О. А. Лінійна алгебра і аналітична геометрія. — К., Либідь. 1997. —152 с.

13. Чарін В. С. Лінійна алгебра. — К; Техніка. 2004-414 с.

14. Булдигін В. В. та інш. Збірник задач з аналітичної геометрії та векторної алгебри. — К. Вища Школа 1999. — 191 с.

15. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. М; - 1986-464

16. Самойленко А. М., Перестюк М. О., Парасюк І. О. Диференціальні рівняння, - Київ; Либідь, 1994-360 с

17. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк М. О. Диференціальні рівняння в прикладах і задачах,- Київ: Вища школа, 1994- 455 с.

18. Ляшко І.І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Калайда О. Ф. Диференціальні рівняння. К., 1981- 504 с.

19. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М. , 1959-232 с.

20. Головач Г.П. , Калайда О.Р. Збірник задач з диференціальних та інтегральних рівнянь.- Київ: " Техніка " , 1997- 286 с.

21. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М "Наука", 1992-128 с.

22. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. Под редакцией А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича, М. " Наука" ,1981-366 с.

23. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969- 424 с.

24. Арнольд В.И.. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М." Наука", 1984 -272 с.

25. Бурикіна Н. О., Селезньова Ф Г. Методичні вказівки до виконання типових розрахунків з курсу " Диференціальні та інтегральні рівняння" для студентів -фізиків, Київ НТТУ " КПІ "- 1999.

26 .Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. - М., «Наука» 1985г., - 392 с.

27. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. -М., «Наука» 1984г., -392 с.

28. Булах Е.Г., Шуман В.Н. Основы векторного анализа и теория поля. - К., «Наукова Думка», 1998г, - 359с.'

29. Борисенко А.И., Тарапов И.Е. векторный анализ и начала тензорного исчисления. -X., «ХУ». 1972г., -254 с.

30. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ с приложением к геометрии, механике и физике. - М., 1963 г., -412 с.

31. Проскурняков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.,1984 г., -336с.

32. Аквис М.А., Гольдберг В.В.Тензорное исчисление - М., «Наука», 1972 г., -352с.

33 Кильчевский H.A. Основы тензорного исчисления с приложением к механике. -К., «Наукова Думка», 1972 г., -147 с.

34. Схоутен H.A. Тензорный анализ для физиков. -М., «Наука», 1965 г., -456с.

35. Петренко М.П. Методические указания к решению задач и примеров по курсу тензорного анализа (для студентов «физика металлов»), - К. КПИ., 1986г., -36с.


Розробники програми:

в.о. зав. каф. диференціальних рівнянь, д.ф.-м.н., проф. Дудкін Микола Євгенович

(посада, науковий ступінь, вчене звання, прізвище, ім’я, по батькові)


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка