Загальні відомості про розрахунок перехідних процесів



Скачати 109.98 Kb.
Дата конвертації01.01.2017
Розмір109.98 Kb.


Лекція 14

Розділ 5. Перехідні процеси в лінійних електричних колах



Тема : Загальні відомості про розрахунок перехідних процесів.
1.Відомості про класичний метод аналізу перехідних процесів.

2.Вільні напруги і струми в нерозгалужених колах першого порядку.

Література: Л1 з 251-256

13.1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ

В ЕЛЕКТРИЧНИХ ЛАНЦЮГАХ

І КЛАСИЧНИЙ МЕТОД ЇХНЬОГО АНАЛІЗУ

Розрізняють два режими роботи ланцюга: сталий (стаціонарний) і несталий (перехідний, нестаціонарний). Сталим називають такий режим, при якому струми, напруги і ЕРС

у ланцюзі є або постійними, або періодичними функціями часу. У попередніх розділах розглядався тільки цей режим.

Несталим режимом або перехідним процесом у

електричного ланцюга називають элекромагнитный процес,

що виникає у ланцюзі при переході від одного сталого

режиму до іншого. Цей процес виникає в електричних ланцюгах

при підключенні до них або відключенні від них джерел елект- Мал.14.1

ричної енергії, а також при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга або параметрів вхідних у неї елементів.

Зазначені вище операції в ланцюгах називають комутацією. На схемах ланцюгів комутацію звичайно позначають у виді ключа зі стрілкою (мал. 14.1,а — замикання, мал. 14.1,6 — розмикання). Передбачається, що комутація відбувається протягом нескінченно малого проміжку часу, тобто миттєво. Момент комутації звичайно приймають за початок відліку часу, тобто вважають, що в момент комутації t=0. При цьому момент часу, що передує безпосередньо моментові комутації, позначають t= 0-, а момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації, позначають t=0+.

У ланцюгах, не утримуючих енергоємних елементів (індуктивностей і емкостей), новий сталий режим, тобто режим, при якому струми і напруги є або постійними, або періодичними функціями часу, настає безпосередньо за моментом комутації. Тому можна вважати, що в таких ланцюгах перехідні процеси відсутні. .

У ланцюгах з енергоємними елементами перехідні процеси продовжуються якийсь час, тому що енергії електричних полів конденсаторів

Wc=Си2з /2 і магнітних полів індуктивних котушок WL =Li2/2 унаслідок закону безперервності енергії в часі не можуть змінюватися стрибком.

При аналізі перехідних процесів в електричних ланцюгах класичним методом складається система рівнянь для миттєвих значень струмів і напруг. Ці рівняння складаються безпосередньо за законами Кирхгофа або за допомогою інших методів розрахунку ланцюгів, наприклад методу контурних струмів або методу вузлових потенціалів. При цьому використовуються співвідношення між струмами і напругами в елементах ланцюга:






ur = ir, u=L di/dt; uс = 1/C *idt;

i= ur; I=1/L uLdt; I=C d uс /dt (14.1)
В отриманої в такий спосіб системі рівнянь вибирається основна перемінна і виключенням інших перемінних із системи рівнянь одержують одне рівняння, що містить тільки основну перемінну. У загальному випадку для лінійних електричних ланцюгів із зосередженими параметрами, що містить елементи r, L і З, це рівняння є интегро-дифференциальным. Шляхом повторного диференціювання цього рівняння можна одержати лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами, що має в загальному випадку вид
an dnx(t)/dtn + an-1 dn-1x(t)/dtn-1+…+ a1 dx(t)/dt+ a0 x(t)=
= bm dmf(t)/ dtm + bm-1 dm-1f(t)/ dtm-1 +…+ b1 df(t)/ dt + b0 f(t) . (14.2)
де ak і bk — постійні коефіцієнти, що залежать від схеми

ланцюга і параметрів її елементів; х(t) -вихідна величина (струм або напруга); f(t)-зовнішній вплив на ланцюг (джерело э.д. с. або струму).

Порядок вищої похідної диференціального рівняння визначає порядок ланцюга. Так, наприклад, якщо цей порядок буде першим, те і ланцюг називають ланцюгом першого порядку і т, д. Рішення рівняння (14.2) определяетсятся у виді

x(t) = xсв (t) + xпр (t). (14.3)

де хсв (t) — вільна складова — загальне рішення однорідного диференціального рівняння



an dnx(t)/dtn + an-1 dn-1x(t)/dtn-1+…+a1dx(t)/dt+a0x(t)=0,(14...4)

т. е. рівняння (14.2) без правої частини;



хпр (t) — примушена складова — частка рішення рівняння (14.2) із правою частиною.

Вільна складова xCB(t) — це вільні електричні струми або напруги. Вони характеризують процес розсіювання або нагромадження енергії енергоємними елементами L і С и рівні різниці перехідних і сталих струмів або напруг.

Примушена складова xпр(t) характеризує процес, що виникає в ланцюзі під впливом зовнішнього збурювання після закінчення перехідних процесів. Це сталі, тобто постійні або періодичні, струми і напруги, що встановлюються в електричному ланцюзі після закінчення перехідних процесів при впливі на ланцюг постійних або періодичних э.д. с. або струмів.

Рішення однорідного диференціального рівняння має вигляд



xCB(t)= A1 e p1 t + A2 e p2 t +…+Anepnt=Akepkt(14...5)

де pk — корені характеристичного рівняння



an pn + an-1 pn-1 +…+a1p+a0=0;(13...6)

Ak — постійні інтегрування.

Корені характеристичних рівнянь pk у пасивних електричних ланцюгів завжди або речовинною негативні, або комплексні з негативною речовинною частиною. Фізично це порозумівається тим, що вільний процес відбувається за рахунок енергії, накопиченої в елементах L або С. З часом ця енергія витрачається на необоротні втрати (виділяється у виді тепла в активних опорах), а величина хсв (t)/t 0.

Постійні інтегрування Ak визначають з початкових умов — значень струмів і напруг у ланцюзі в момент часу t=0+, тобто в момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації.

Для визначення початкових умов використовують два закони


комутації: .

i(0+) = i(0-) і uс(0+) = uс(0-), (14.7)

тобто струм в індуктивності безпосередньо після комутації i(0+) дорівнює току в цій же індуктивності безпосередньо перед комутацією i(0-),. а напруга на ємності безпосередньо після комутації uс(0+) дорівнює напрузі на цій же ємності безпосередньо перед комутацією uс(0-).

Неможливість стрибків струмів в індуктивностях L і напруг на емкостях Із при комутації випливає з закону безперервності енергії, що затверджує, що енергія в часі не може змінюватися стрибком.

Початкові умови в електричних ланцюгах можуть бути нульовими або ненульовими. Нульові початкові умови будуть у тому випадку, якщо в момент комутації i(0) = 0 і uс(0)= 0. При цьому в момент часу, що випливає безпосередньо за моментом комутації, струм в індуктивності L і напруга на ємності З будуть продовжувати залишатися рівними нулеві, тобто в момент комутації індуктивність L рівносильна розривові ланцюга, а ємність З еквівалентна короткому замиканню.

Якщо в момент комутації по індуктивності L протікав струм i(0), а на ємності З була напруга uс(0), то в ланцюзі мають місце ненульові початкові умови.

Слід зазначити, що напруга на індуктивності L і струм через ємність С в момент комутації можуть змінюватися стрибком, тому що вони не характеризують енергію, запасену в елементах L і С.

У наступних підрозділах розглянемо приклади аналізу перехідних процесів в електричних ланцюгах, що мають як самостійне значення, так і иллюстрирующие сутність класичного методу.
13.2. ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В НЕРОЗГАЛУЖЕНИХ ЛАНЦЮГАХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку описуються лінійним- неоднорідним диференціальним рівнянням першого порядку з постійними коефіцієнтами, що мають у загальному випадку вид



a1 dx(t)/dt+ a0 x(t) = b1 df(t)/ dt + b0 f(t) .

Примушену складову xпр(t) загального рішення цього рівняння (14.3), що є струмом або напругою в сталому режимі, визначають безпосередньо зі схеми ланцюга при t, а вільну складову хсв(t) шукають у виді



хсв(t) = А1 P1t. (13.8)

де р1 — корінь характеристичного рівняння a1p + a0 =0;



А1 -постійна інтегрування, обумовлена початковими умовами в ланцюзі.

Спочатку розглянемо вільні напруги і струми, а потім перехідні процеси при підключенні до ланцюга джерел постійний і синусоїдальний токи або напруги.



14.2.1. Вільні напруги і струми

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

Методику аналізу вільних напруг і струмів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку розглянемо на прикладі ланцюга, показаної на мал. 14.2. При розмиканні ключа К в ізольованому від зовнішніх джерел електричної

енергії контурі r (мал. 14.3) за рахунок енергії, запасеної в магнітному полі елемента L, виникнуть вільні напруги і струм.

Рис. 14.2 Рис. 14.3

У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого контуру можна записати



u + ur = 0.

З огляду на, що u = L di/dt і ur =ri, одержимо



L di/dt + ri = 0, . (14.9)

Рішення цього однорідного диференціального рівняння має вигляд



i = А1 exp(p1 t) (14.10)
З характеристичного рівняння

Lp + r=0

знайдемо


p1 = -r/L = -1/τц ,

де τц =L/r -величина, що має розмірність часу, називаний постійної часу ланцюга. Підставивши p1 у формулу (14.10), одержимо


i = А1 exp(-t/τц) (14.11)
Постійну інтегрування А1 знайдемо з початкових умов скориставшись першим законом комутації: i(0+) = i(0+)= I0. Підставивши це у вираження (14.11), при t= 0 одержимо

i(0) = А1 = I0.

При цьому остаточне рішення рівняння (13.9) буде мати вигляд



i = I0 exp(-t/τц) (14.12)


З отриманого вираження видно, що вільний струм у розглянутому ланцюзі убуває з часом по експонентному законі. Графік цього струму приведений на мал. 14.4.

При t=τц струм у ланцюзі i = I0 I0/2,72 0,368I0.












Рис. 14.4 Рис. 14.5

Тому постійну часу ланцюга τц можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого экспоненциально убутна величина зменшується в е  2,72 рази. Вона визначає тривалість- перехідного процесу.



Чим більше τц, тим більше триває перехідний процес (мал. 14.5). Теоретично перехідний процес у розглянутому ланцюзі триває нескінченно довго. Однак його можна вважати практично закінченим після закінчення часу t=(35) τц, коли i= (0,054 0,007)I0 , тобто коли значення струму будуть складати 5 0,7% його початкового значення.


Рис.14.6 Вільні напруги на активному опорі иr і на індуктивності и у розглянутому ланцюзі змінюються за законом, аналогічному законові зміни струму i:

иr =ri = r0 exp(-t/ τц) (14.13)
и =L di/dt = -r0 exp(-t/ τц) (14.14)
Графіки цих напруг приведені на мал. 14.6.

Слід зазначити, що ці напруги в момент часу t=0+ змінюються стрибком від нульових значень до величини, рівної r0. Ця величина при великих значеннях r і I0 може бути дуже великий,- що може з'явитися причиною несправностей електричних ланцюгів, що містять індуктивності, при їхньому відключенні від джерел електричної енергії.



14.2.2. Перехідні процеси

у нерозгалужених ланцюгах першого порядку

с джерелом постійної напруги

Перехідні процеси в ланцюгах першого порядку з джерелом постійної напруги можуть виникнути як при підключенні джерела до ланцюга, так і при стрибкоподібній зміні її схеми або параметрів, її елементів.






Рис.14.7

При цьому можуть мати місце як нульові, так і ненульові початкові умови.

Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при підключенні до неї джерела постійної напруги при нульових початкових умовах, розглянемо на прикладі ланцюга r (мал. 13.7). На підставі другого закону Кирхгофа для цього ланцюга після комутації можна записати u + ur = E або

L di/dt + ri = E, . (14.15)
Загальне рішення цього неоднорідного рівняння шукають у виді

i = iсв + iпр.

З огляду на, що примушена складового струму в розглянутому ланцюзі



iпр =E/r,- а вільна складова визначається вираженням (14.11), одержимо

i = A1 exp(-t/ τц)+E/r, (14.16)

де τц =L/r — постійна часу ланцюга.

Постійну інтегрування A1 знайдемо з початкових умов i(0)=0. Підставивши це у формулу (14.16), при t=0 одержимо 0=А1 +Е/r, відкіля А1 =Е/r. При цьому остаточне рішення рівняння (13.15) буде мати вигляд

i = E/r 1- exp(-t/ τц) . (14.17)

Напруга на опорі м змінюється по аналогічному законі.



ur = ri= E1- exp(-t/ τц) , (14.18)

а напруга на індуктивності L -по законові



u = L di/dt = E exp(-t/ τц). (14.19)

Криві зміни i, iсв, iсв, иr і u показані на мал. 14.8. З цього малюнка видно, що струм i і напруга иr у розглянутому ланцюзі зростають по експонентному законі від нульових значень при t=0 до iпр = E/r і ur= E при t=. Напруга ur , обумовлене э.д. с. самоіндукції, у момент комутації стрибком зростає від нульового значення до величини, рівної Е, а потім зменшується по експонентному законі до нуля при t=.

Швидкість зміни розглянутих струмів і напруг, а отже, і тривалість перехідних процесів залежать від постійної часу ланцюга τц, що у розглянутому ланцюзі можна визначити як проміжок часу, після закінчення якого струм у ланцюзі зростає до (1 – е-1) 0,632 свого сталого значення.





Методику аналізу перехідних процесів, що виникають у нерозгалуженому ланцюзі першого порядку при наявності в ній джерел постійної напруги при стрибкоподібній зміні схеми ланцюга, розглянемо на прикладі ланцюга, приведеної на мал. 14.9. Після комутації весь струм у розглянутому ланцюзі буде проходити через короткозамкнутую перемичку, минаючи



Рис. 13.9 Рис. 13.10

опір r2. При цьому у відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати ur1 + u=E або



r1 + Ldi/dt = E (14.20)
З огляду на, що примушена складового струму в ланцюзі iпр = E/r1, загальне рішення рівняння (14.20) можна записати у виді

i = iсв + iпр = E/r + A1 exp(-t/τц), (14.21)

де τц =L/r — постійна часу ланцюга. " .

Тому що початкове значення струму в ланцюзі t(0)=E/(r1+r2), те з вираження (14.21) при t =0 одержимо E/(r1 +r2)=E/ri + A1,

відкіля A1 = — Er2/r1 (r1 +r2). Підставивши це у формулу (14.21), одержимо



i = E/r1 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц), (14.22)
Напруги ип і ul будуть змінюватися за законами:

ur1 = ir1 =E 1- (r1 /(r1 +r2)) exp(-t/τц); (14.23)

u = L di/dt= Er2 /(r1 +r2) exp(-t/τц); (14.24)


Графіки струму і напруг у розглянутому ланцюзі показані на мал. (14.10).

14.2.3. Перехідні процеси
в нерозгалужених ланцюгах першого порядку
c джерелами синусоїдальної напруги

Особливості методики аналізу перехідних процесів у нерозгалужених ланцюгах першого порядку з джерелами синусоїдальної напруги розглянемо на прикладі ланцюга при підключенні її до джерела синусоїдальної напруги e=Emsin(ωt+ ψ) (мал.14.11). У відповідності з другим законом Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати ur+ uС = Emsin(ωt+ ψ). З огляду на, що



ur =ri =r duc /dt,

одержимо


r
e
С du
c /dt + ис = Em sln (ωt + ψ). (14.25)

Рис.14.11


Вільна складової напруги на ємності, що є рішенням рівняння (14.25) без правої частини, має вигляд

р иСйа = А^, --• (13.26)

;-де р\ = -Ijr — корінь характеристичного рівняння ланцюга
т.: гСр+1=0.

Ц Позначивши тц=лС, одержимо

|-; «Ссв = Де~/Ьц- (13.27)

|: Примушена складової напруги на ємності буде |винусоидальной функцією часу:

|Г- • аСпр = ^81п(про^ + ф-?-«/2), (13.28)





База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка