Задача побудови поля комплексних чисел. Існування та єдиність поля комплексних чисел. Геометрична форма комплексних чисел



Скачати 205.15 Kb.
Дата конвертації23.11.2016
Розмір205.15 Kb.
Лінійна алгебра

Комплексні числа

Числові поля. Приклади.

Задача побудови поля комплексних чисел.

Існування та єдиність поля комплексних чисел.

Геометрична форма комплексних чисел.

Модуль і аргумент комплексного числа.

Корені з комплексних чисел.

Корені з одиниці.

Примітивні корені з одиниці.

Системи лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь (СЛР) та їх класифікація.

Матриці. Матриці СЛР.

Елементарні перетворення. Метод Ґауса.

Арифметичні векторні простори.

Лінійна залежність і незалежність.

Базис і розмірність арифметичного векторного простору.

Підпростори. Лінійна оболонка і ранг системи векторів.

Ранг матриці.

Теорема Кронекера-Капеллі.

Однорідні СЛР. Підпростір розв’язків і фундаментальна система розв’язків.

Структура множини розв’язків неоднорідної СЛР.



Визначники

Підстановки, їх парність, множення підстановок.

Визначник матриці.

Визначники і елементарні перетворення.

Мінори, алгебраїчні доповнення та приєднана матриця.

Розклад визначника за рядком.

Правило Крамера.

Мінорний ранг матриці.

Дії над матрицями. Алгебра матриць.

Визначник добутку матриць.

Обернена матриця.

Невироджені матриці.



Многочлени

Многочлени від однієї змінної. Ділення з остачею.

Найбільший спільний дільник (НСД). Алгоритм Евкліда.

Теорема Безу та наслідки з неї.

Основна теорема алгебри.

Кратні корені і похідна многочленів.

Формули Вієта.

Симетричні многочлени.

Інтерполяція многочленів.

Раціональні дроби.



Векторні простори

Векторні простори, базис і розмірність.

Ізоморфізм векторних просторів.

Координати векторів.

Підпростори. Сума і перетин підпросторів. Теорема Грассмана.

Прямі суми підпросторів.

Лінійні відображення. Матриці лінійних відображень.

Ядро, образ, ранг і дефект лінійного відображення.

Зміна базису. Матриця переходу. Зміна координат вектора і матриці лінійного відображення.

Лінійні функції. Дуальний простір. Дуальний базис.

Зміна координат лінійної функції.

Лінійні оператори

Власні значення і власні вектори лінійних операторів.

Характеристичний многочлен.

Теорема Гамільтона-Келі.

Діагоналізовні матриці та оператори.

Жорданова нормальна форма.

Мінімальний многочлен.

Функції від матриць.



Білінійні та квадратичні функції

Білінійні функції, їх матриці і білінійні форми.

Зміна матриці білінійної функції.

Симетричні і кососиметричні білінійні функції. Квадратичні форми.

Канонічний вигляд симетричної білінійної функції.

Дійсні квадратичні форми. Закон інерції.

Ермітові функції.

Додатно визначені функції. Критерій Сильвестра.



Оператори в евклідових та унітарних просторах

Евклідові і унітарні простори.

Ортогональні базиси. Ортогоналізація Грама-Шмідта.

Ортогональні та унітарні матриці.

Спряжений оператор.

Самоспряжені оператори. Канонічний вигляд.

Унітарні та ортогональні оператори.

Квадратичні форми в евклідовому просторі.


ЛІТЕРАТУРА



  1. Д.К.Фаддеев Лекции по алгебре. Москва: Наука, 1984.

  2. А.Г.Курош Курс высшей алгебры. Москва: Наука, 1985.

  3. С.Т.Завало Курс алгебри. Київ: Вища школа, 1985.

  4. Л.А.Калужнін, В.А.Вишенський, Ц.О.Шуб Лінійні простори. Київ: ВПЦ "Київський університет", 2010.

  5. Сборник задач по алгебре (под ред. А.И.Кострикина). Москва: Наука, 1987.

  6. Д.К.Фаддеев, И.С.Соминский Сборник задач по высшей алгебре. Москва: Наука, 1977.

  7. А.И.Кострикин Введение в алгебру. Часть 1, Основы алгебры. Москва: Физматлит, 2004.

  8. А.И.Кострикин Введение в алгебру. Часть 2, Линейная алгебра. Москва: Физматлит, 2004.

  9. Э.Б.Винберг Курс алгебры. Москва: Факториал Пресс, 2002.

  10. A.W.Knapp Basic algebra. Boston-Basel-Berlin: Birkhäuser, 2006.

  11. A.W.Knapp Advanced algebra. Boston-Basel-Berlin: Birkhäuser, 2007.



Дискретна математика

Комбінаторика

Біноміальні коефіцієнти та їх властивості.

Множини та дії над ними. Правило включення та вилучення..

Сполучення, розміщення, перестановки, сюр'єкції.

Числа Стірлінга.

Степеневі ряди.

Твірні функції, їх властивості та застосування.

Рекурентні послідовності.

Числа Фібоначчі.

Ряди Діріхле та їх застосування.

Функція Мебіуса, мебіусова формула обертання.

Числа Каталана.

Числа та многочлени Бернуллі

Булеві функції, логіка висловлювань

Логічні висловлювання, булеві функції та логічні сполучники.

Диз'юнктивна і кон'юнктивна нормальні форми.

Булеві многочлени.

Повні системи булевих функцій.

Критерій Поста повноти.

Відношення та дії над ними.

Відношення еквівалентності.

Відношення порядку

Теорія графів

Основні означення теорії графів.

Числові характеристики графів, зв'язки між ними.

Ойлерові графи. Критерій ойлеровості.

Гамільтонові графи, ознаки гамільтоновості..

Дерева. Перелік дерев.

Дводольні графи.

Парування.

Приклади застосування графів у комбінаториці.
ЛІТЕРАТУРА


  1. М.Й. Ядренко. Дискретна математика. – Київ: Експрес, 2003.

  2. А.Я. Оленко, М.Й. Ядренко. Дискретна математика. – Київ: Видавничий центр Київського університету, 1997.

  3. Ю.А. Дрозд. Дискретна математика (електронний конспект лекцій). – Київ, 2006.

  4. Р.Грехем, Д.Кнут, О.Паташник Конкретная математика, Основания информатики, М., Мир, 1998.

  5. М. Холл. Комбинаторика. – Москва: Мир, 1970.

  6. О. Оре. Теория графов. – Москва: Мир, 1965.



Алгебра

Алгебраїчні структури

Алгебраїчнi дiї, бiнарнi, унарнi дiї, приклади.

Властивостi бiнарних дiй.

Поняття напiвгрупи, моноїда, групи.


Основні поняття теорії груп


Найпростiшi властивостi груп, приклади груп.

Iзоморфiзм груп, iзоморфнi групи, елементарнi властивостi.

Порядок елемента групи, властивостi, приклади.

Система твiрних групи, приклади, незвiдна система твiрних.

Циклiчнi групи, приклади, класифiкацiя циклiчних груп.

Пiдгрупи, приклади.

Теорема про характеризацiю пiдгруп.

Теорема про пiдгрупи циклiчної групи.

Розклад групи за пiдгрупою, класи сумiжностi, теорема Лагранжа, наслiдки.

Зображення груп пiдстановками. Теорема Келi.

Зображення груп матрицями.

Нормальнi пiдгрупи, приклади, поняття простої групи, простота знакозмiнних груп.

Факторгрупа: визначення.

Факторгрупа: приклади.

Гомоморфiзми.

Теорема про гомоморфiзм.

Наслiдки з теореми про гомоморфiзм.

Дії груп на множині

Дiя групи на множинi, приклади.

Орбiти, стабiлiзатори, опис i властивостi.

Лема Кошi-Фробенiуса-Бернсайда.

Комбiнаторнi задачi про розфарбування.

Спряженiсть, класи спряженостi, приклади.

Централiзатор елемента i центр групи.

Теорема про центр скiнченної p-групи.

Теореми Силова про iснування, про кiлькiсть i про спряженiсть.

Скінченно породжені абелеві групи

Прямий добуток груп (зовнiшнiй i внутрiшнiй), зв'язок мiж ними.

Теорема про характеризацiю розкладностi групи в прямий добуток, приклади.

Основна теорема про скiнченно породженi абелевi групи.

Розклад циклiчної групи в пряму суму.

Основна теорема про скiнченнi абелевi групи.



Зображення груп

Лінійні зображення груп.

Незвідні та нерозкладні зображення.

Лема Шура.

Теорема Машке.

ЛІТЕРАТУРА


  1. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

  2. С.Т.Завало Курс алгебри. К.: Вища школа, 1985.

  3. А.И.Кострикин Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

  4. А.И.Кострикин Введение в алгебру. Часть 1, Основы алгебры. М.: Физматлит, 2004.

  5. Б.Л.ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1979.

  6. Э.Б.Винберг Курс алгебры. М.:Факториал Пресс, 2002.

  7. М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

  8. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина, М.: Наука, 1987.

  9. D.S.Dummit, R.M.Foote Abstract algebra. 3rd ed. Wiley Intern. Ed., Chichester: Wiley, 2004.

  10. I.N.Herstein Abstract algebra. 3rd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.


Алгебра і теорія чисел

Основи теорії кілець

Поняття кільця та підкільця.

Дільники нуля та одиниці, нільпотентні елементи.

Ідеали в кільцях.

Факторкільця та гомоморфізми кілець.

Числові кільця

Подільність в кільцях, факторіальні кільця.

Кільця головних ідеалів та евклідові кільця.

Кільце цілих ґаусових чисел.



Квадратичні лишки

Конгруенцiї, лишки, дiї над ними.

Конгруенцiї першого степеня з невiдомими.

Теореми Ойлера i Ферма, теорема Вiльсона.

Системи лiнiйних конгруенцiй. Китайська теорема про остачi.

Конгрунцiї другого степеня. Символ Лежандра.

Лема Ойлера.

Основнi властивостi символа Лежандра.



Основні поняття теорії полів

Поняття поля, розширення поля.

Характеристика поля, приклади.

Прості розширення полів.

Скінченні розширення полів.

Алгебраїчні розширення полів.

Теорема Кронекера.

Поля розкладу.

Скінченні поля.

Основна теорема алгебри.

Теорема Ліувіля.

Основи теорії Ґалуа

Нормальні розширення полів.

Група Ґалуа нормального розширення.

Основна теорема теорії Ґалуа.

Розв’язність рівнянь у радикалах.

Задачі на побудову і піфагорові розширення полів.




ЛІТЕРАТУРА


  1. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

  2. С.Т.Завало Курс алгебри. К.: Вища школа, 1985.

  3. А.И.Кострикин Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

  4. А.И.Кострикин Введение в алгебру. Часть 1, Основы алгебры. М.: Физматлит, 2004.

  5. Б.Л.ван дер Варден Алгебра. М.: Наука, 1979.

  6. Э.Б.Винберг Курс алгебры. М.:Факториал Пресс, 2002.

  7. М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

  8. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина, М.: Наука, 1987.

  9. D.S.Dummit, R.M.Foote Abstract algebra. 3rd ed. Wiley Intern. Ed., Chichester: Wiley, 2004.

  10. I.N.Herstein Abstract algebra. 3rd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 1996.



Математична логіка

Логіка висловлювань

Дії над висловлюваннями. Істинностні таблиці.

Формули логіки висловлювань, інтерпретація формул.

Поняття логічного наслідку. Тавтології. Рівносильність формул.

Аксіоматика логіки висловлювань. Теорема коректності.

Теорема дедукції числення висловлювань, її застосування.

Суперечливі множини формул, їх властивості.

Повнота множини формул. Лема Кальмара.

Теорема адекватності логіки висловлювань.

Еквівалентність несумісності і суперечливості множин формул ЛВ.

Компактність логіки висловлювань. Алгоритм виводу тавтологій в ЛВ,

Логіка предикатів

Предикати, відношення, квантори.

Алфавіт логіки предикатів, формули, вільні і пов’язані змінні.

Інтерпретація формул логіки предикатів, xi-еквівалентні розподіли.

Тотожно істинні формули, підстановковий випадок тавтології.

Тотожна істинність аксіом

Поняття теорії першого порядку, модель теорії.

Теорії першого порядку з рівністю, їх властивості

Нормальні моделі для теорій першого порядку з рівністю.

Несуперечливість числення предикатів першого порядку.

Теорема дедукції в логіці предикатів.

Теорема про модель.

Теорема адекватності для теорій першого порядку.

Теорема про компактність, її застосування.

Теорема Левенгайма-Сколема.

Теорема про нестандартну модель та її застосування.



Алгоритми і рекурсивні функції

Поняття алгоритму, існування не обчислюваних алгоритмічно функцій.

Поняття машини Тьюрінга, обчислювані за Тьюрінгом функції.

Примітивно рекурсивні функції, їх побудова.

Частково рекурсивні функції, загально рекурсивні функції. Теза Чьорча.

Зв'язок між частковою рекурсивністю і обчислюваністю за Тьюрінгом.





  • ЛІТЕРАТУРА




  1. Дрозд Ю.А. Основи математичної логіки, ВПЦ, Київський університет, 2005.

  2. Мендельсон Э., Введение в математическую логику. – Москва. Мир. -1976

2. Клини С., Математическая логика - Москва: Мир.-1973.

3. Новиков П.С. Элементы математической логики - Москва: Наука.-1978.

4. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов.-Москва:Наука,-1976.

Історія математики
Математика древніх цивілізацій

Математика Стародавнього Єгипту. Папірус Райнда.

Математика Межиріччя.

Відкриття позиційної системи числення; Її роль у розвитку математики.

Математичні методи в астрономії. Алгоритмічний характер математики Сходу, його обмеженість

Математика стародавньої Греції

Математика Стародавньої Еллади (Греції). Новий підхід до математики, виникнення математичних доведень-

Талес Мілетський; Піфагор і піфагорійці.

Відкриття ірраціональностей і пов'язана з ним криза. Шляхи розв'язання цієї кризи

Атомістики; Демокрит. «Академія» Платона. Теетет та Евдокс. Теорія пропорцій; геометризація алгебри.

«Класичні задачі Стародавньої Греції», їх роль у розвитку математичних досліджень.

Відкриття конічних перерізів; «метод вставок». «Елементи» Евкліда, Їх місце в математиці та в математичній освіті.

Розвиток інфінітезiмальних методів; роботи Архімеда. Теорія конічних перерізів у Аполлонія.

Арифметичні дослідження Діофанта. Занепад математичних досліджень на початку християнської ери.

Математика арабського Сходу

Відновлення математичних досліджень у арабському світі. Арабська алгебра.

Десяткова позиційна система. Ал Хорезмі. Омар Хайям; його теорія кубічних рівнянь. Дослідження проблеми паралельних.

Розвиток обчислювальних методів у арабських математиків. Десяткові дроби. Роль арабських джерел у відновленні математичних досліджень у Європі



Математика Середньовічної Європи

. Проблеми нескінченності в середньовічній схоластиці. Ніколя Орем та його «теорія форм» - зародок графічних методів і теорії функцій.

Леонардо Пізанський (Фібоначчі); Лука Паччолі, «Сума арифметики».

Розв'язання рівнянь 3 та 4 степеня в Італійській алгебричній школі (Сципіон дель Ферро, Тарталья, Кардано, Феррарі).

Проблема «незвідного випадку» і відкриття уявних чисел (Бомбеллі)

. Дослідження Франсуа Вієта. Відкриття логарифмів.

Математичні задачі фізики; Галілей. Програма Декарта - математизація науки і алгебри'зація математики.

Розробка аналітичної геометрії в роботах Декарта І Ферма.

Розвиток інфінітезимальних методів (Ферма, Паскаль. Грегорі, Барроу та інші).

Створення математичного аналізу

Створення математичного аналізу в роботах Ньютона та Ляйбніца; порівняння їх підходів-

Школа Ляйбніца та її роль у розвитку аналізу. Питання про обгрунтування. «Метод перших та останніх відношень» Ньютона; «принцип неперервності» Ляйбніца.

Розвиток аналізу; Бернуллі, Ойлер. д'Аламбер. Проблема обгрунтування; Ідея границі. Аналітичні функції та степеневі ряди.

Роботи Лагранжа. Математична творчість Гаусса - початок нового етапу в розвитку математики.

Обґрунтування аналізу (Коші, Рiман, Вайєрштрасс та інші). Відкриття неевклідової геометрії (Лобачевський. Бойяї, Гаусс).



Математика 19-го століття

Вирішення задачі про розв'язок алгебричних рівнянь у радикалах (Абель. Галуа). Побудова нових алгебричних систем (Гамільтон. Келі. Грассман).

Арифметична побудова дійсних чисел (Дедекінд, Вайєрштрасс, Кантор). Нові проблеми, які виникли з цих відкриттів.

Теорія множин Кантора; парадокси теорії множин. Контрприклади в аналізі та геометрії.



Математика 20-го століття

Нова криза основ. Пошук способів її розв'язання. . Розвиток математичної логіки. Результати Геделя, Черча й Тарського; їх вплив і значення.

Становлення абстрактної алгебри, топології, функціонального аналізу.

Виникнення теорії категорій та «категоризація» математики. Короткий огляд внеску українських математиків.



  • ЛІТЕРАТУРА




  1. Д.Я.Стройк. История математики. Наука, 1969.

  2. История математики. Под редакцией А.П.Юшкевича, Наука, 1970.

  3. Н.Бурбаки. Очерки по истории математики. Мир, 1963.

  4. К.А.Рыбников. История математики, Наука, 1979.

5. А.Даан-Дальмедико, Ж.Пейфер. Пути и лабиринти М.Мир, 1986.

6. Б.Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука, М. Физматгиз. 1959



Прикладна алгебра
Загальна задача лінійного програмування

Побудова економіко-математичних моделей.

Постановка загальної задачі лінійного програмування (ЛП).

Графічне розв’язування задачі ЛП.

Метод Жорданових перетворень.

Зведення загальної задачі ЛП до канонічної форми.

Алгоритм розв’язування задачі ЛП симплекс-методом.

Постановка та економічний зміст двоїстих задач.

Побудова двоїстих задач.

Теореми теорії двоїстості.



Транспортна задача. Застосування графів в економіці

Постановка транспортної задачі (ТЗ) та її математична модель. Види ТЗ.

Методи побудови допустимого базисного плану ТЗ.

Алгоритм методу потенціалів розв’язування ТЗ.

Задача про мінімізацію мережі.

Задача про знаходження найкоротшого шляху.

Задача про максимальний потік.

Задача про транспортну мережу.



Теорія кодування

Класифікація кодів і їх характеристики.

Кодування джерел. Коди Морзе, Шеннона-Фано та Хаффмена.

Коди з виявленням та виправленням помилок.

Лінійні блочні коди.

Метрика Хеммінга.

Коди Хеммінга.

Декодування за синдромом.

Циклічні коди як ідеали.

Поточні коди та їх характеристика.

Декодування поточних кодів.

Загальна теорія криптографічних систем

Основні вимоги до криптографічних систем.

Поняття складності алгоритму.

Задача знаходження дискретного логарифма.

Афінні шифруючі перетворення.

Бітові послідовності та скінченні поля.

Метод RSA та китайська теорема про лишки.

Симетричні та несиметричні криптографічні системи.

Математичні принципи побудови систем цифрового підпису.
ЛІТЕРАТУРА


  1. Барвінський А.Ф. та ін. Математичне програмування. Дослідження операцій. – Львів: Інтелект-Захід, 2008. – 468 с.

  2. Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. – М.: Мир, 1976. – 400 с.

  3. Боровик О.В., Боровик Л.В. Дослідження операцій в економіці. – К.: Центр учбової літератури, 2007. – 424 с.

  4. Вербіцький О.В. Вступ до криптології. – Львів: ВНТЛ, 1998. – 248 с.

  5. Вернер М. Основы кодирования. – М.: Техносфера, 2006. – 288 с.

  6. Жураковський Ю.П., Полторак В.П. Теорія інформації та кодування. – К.: Вища школа, 2001. – 255 с.

  7. Зайченко Ю.П. Исследование операций. – К.: Вища школа, 1975. – 320 с.

  8. Зайченко Ю.П., Шумилова С.А. Исследование операций: Сборник задач. – К.: Вища школа, 1990. – 239 с.

  9. Ємець В., Мельник А., Попович Р. Сучасна криптографія. Основні поняття. – Львів: БаК, 2003. – 144 с.

  10. Смарт Н. Криптография. – М.: Техносфера, 2006. – 528 с.

  11. Уилсон Р. Введение в теорию графов. – М.: Мир, 1977. – 208 с.

  12. Ященко В.В. и др. Введение в криптографию / Под общей ред. В.В. Ященко. – СПб.: Питер, 2001. – 288 с.



Математичні методи захисту інформації
Проблеми захисту інформації.

Відмінність криптографічного захисту інформації від інших способів захисту інформації.

Основні задачі криптографії. Способи їх вирішення.

Поняття крипосистеми.

Симетричні та асиметричні криптосистеми.

Означення та базові вимоги до хеш-функцій.

Поняття цифрового підпису (загальна схема).

Поняття поліноміального, екпоненційного та субекспоненційного часу роботи алгоритму.

Класи складності P та NP.

Поняття зведення однієї задачі прийняття рішення до іншої. Поняття NP-повної задачі.


Групи, що використовуються в криптографії.

Вимоги, що висуваються до груп, щоб їх можна було використовувати в задачах криптографії.Приклади груп, придатних до використання в криптографії.

Задача факторизіції, її складність.

Криптосистема RSA: шифрування та обчислення і перевірка цифрового підпису.

Задача дискретного логарифмування в циклічнй групі. Метод Шенкса та індекс-метод.

Задачі пошуку спряження та пошуку найкоротшого шляху на цілочисельній решітці.

Протокол обмін ключами Діффі-Хеллмана.
Задачі сучасної криптографії та шляхи їх вирішення.

Переваги використання групи точок еліптичної кривої в криптографії

Особливості гіпереліптичної криптографії.

Означення парувань Тейта.

Використання парувань Тейта в криптографії.

Квантова модель обчислень. Проблеми для сучасної криптографії.

Некомутативна криптографія. Її роль в квантовій моделі обчислень.

Основні засади гомоморфного шифрування. Перспективи використання. Недоліки.


ЛІТЕРАТУРА



  1. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. М., Научное издательcтво ТВП, 2001.

  2. Koblitz N. Algebraic aspects of cryptography. Algorithms and Computation in Mathematics. 3. Berlin: Springer. ix, 206 p.

  3. Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии. М., «Гедиос АРВ», 2001.

4. Menezes, Alfred J.; van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. Handbook of applied cryptography. ) CRC Press Series on Discrete Mathematics and its Applications. Boca Raton, FL: CRC Press. xxviii, 780 p.

5. Martin, Luther. Introduction to identity-based encryption. Artech House Information Security and Privacy Series. London: Artech House. xiv, 232 p. (2008).


Алгебраїчна геометрія та її застосування у криптографії
Поняття афінного та проективного многовиду.

Глобальні впорядкування мономів. База Гребнера ідеалу, її побудова.

Раціональні та регулярні відображення, їх задання та властивості.

Раціональні многовиди. Приклади раціональних та нераціональних многовидів.

Поняття скінченного відображення. Приклади.

Нормалізаційні теореми.

Поняття розмірності, обчислення розмірності, приклади.

Теорема про розмірність шарів, її застосування.

Поняття особливої та неособливої точки. Критерії особливості.

Розклад раціональних функцій у степеневі ряди в околі неособливої точки.

Будова підмноговидів у околі неособливої точки.

Поняття дивізора. Дивізор функції. Приклади.

Простір L(D), приклади його обчислення.

Диференціали на неособливих многовидах.

Диференціальні форми, їх властивості.

Дивізор диференціальної форми. Канонічний клас дивізорів, приклади його обчислення.

Аналітичні функції на неособливих многовидах, їх властивості.

Зв’язок неособливих проективних кривих та полів алгебраїчних функцій від однієї змінної.

Дивізори на неособливих кривих. Дивізор функції, його знаходження.

Дивізори диференціальних форм, їх обчислення.

Рід кривої.

Нерівність Рімана та рівність Рімана-Роха.

Еліптичні криві, їх канонічний вигляд.

Гіпереліптичні криві, їх властивості.

Означення та приклади еліптичних кривих.

Плоска реалізація еліптичної кривої, нормальна форма Вайерштрасса.

Поле еліптичних функцій.

Групова структура на еліптичній кривій: алгебричний та геометричний зміст.

Точки еліптичної кривої у скінченному полі.

Явні формули для додавання точок.

Знаходження періодичних точок.

Криптосистеми на еліптичних кривих.

Коди Гоппи та інші коди, пов’язані з еліптичними кривими.

Застосування еліптичних кривих до задач теорії чисел.


ЛІТЕРАТУРА

  1. Ю.Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії. ВНТЛ-Класика, Львів, 2004.

  2. Н.Коблиц. Курс теории чисел и криптографии. Научное изд. ТВП. Москва, 2001.

  3. И.Р.Шафаревич. Основы алгебраической геометрии. Том 1. Наука, Москва, 1988.

  4. Б.Я.Рябко, А.Н.Фионов. Криптографические методы защиты информации. Горячая линия–Телеком. Москва, 2005.

  5. Н.Смарт. Криптография. Техносфера. Москва, 2005.

  6. А.Гурвиц, Р.Курант. Теория функций. Наука. Москва, 1968.

  7. Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О'Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Мир. Москва, 2000.

  8. S.Goldwasser, M.Bellare. Lecture Notes on Criptography. MIT, 2008.

  9. J.Hoffstein, J.Pipher, J.H.Silverman. An Introduction to Mathematical Cryptography. Springer, 2008.

  10. D.R.Stinson. Cryptograhy. Theory and Practice. Chapman and Hall, Boca Raton, 2006.



Теорія алгоритмів

Алгоритми або ефективні процедури.

Машини Тюрінга.

Рекурсивні функції.

Машини з необмеженими регістрами.

Розв'язні предикати і проблеми.

Обчислювані функції.

Нумерація програм.

Універсальні програми.

Нерозв'язні проблеми.

Рекурсивні множини та рекурсивний перелік.

Формальна арифметика.

Складність обчислень.

Класи складності.

NP-повні задачі.

NP-важкість.

Алгоритми в теорії чисел.

Алгоритми в лінійній алгебрі.

Алгоритми в теорії графів.

Алгоритми у формальній логіці.

Проблеми слів і спряженості в теорії груп.

ЛІТЕРАТУРА



  1. A.V. Aho, J.E. Hopcroft, J.D. Ullman The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley Publishing Company, 1974.

  2. А.И.Мальцев Алгоритмы и Рекурсивные Функции. Москва: Наука, 1986.

  3. N.Cutland Computability. An Introduction to Recursive Function Theory. Cambridge University Press, 1980.

  4. G.S.Boolos, R.C.Jeffrey Computability and Logic. Cambridge University Press, 1989.

  5. M.R.Garey, D.S.Johnson Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. New York: W.H.Freeman and Company, 1979.

  6. O.Goldreich Computational Complexity: A Conceptual Perspective. Cambridge University Press, 2008.

  7. O.Goldreich P, NP, and NP-Completeness: The Basics of Complexity Theory. Cambridge University Press, 2010.



Геометрична теорія груп

Метричні простори, асоційовані з групами

Визначення метрики на скінченно породжених групах, її властивості, графи Келі.

Квазі-ізометричні інваріанти груп.

Теорема Мілнора та її наслідки.

Фундаментальні групи і накриття.

Кінці груп. Характеризація груп з двома кінцями.

Теорема Сталлінгса про кінці груп.

Скінченно задані групи і гіперболічні групи

Вільні групи.

Скінченно задані групи.

Геометричні властивості скінченно заданих груп.

Алгоритмічні проблеми Дена.

Парадокс Банаха-Тарського.

Аменабельні групи та їх властивості.

Гіперболічні групи: означення.

Різні характеризації гіперболічних груп.

Алгоритмічні властивості гіперболічних груп.

Гіперболічна границя.

Ріст груп

Функції росту груп. Ріст абелевих груп.

Функції росту прямого і вільного добутку груп.

Нільпотентні групи. Теорема Басса про степінь росту нільпотентних груп.

Теорема Громова про групи поліноміального росту.

Розв’язні групи і поліциклічні групи.

Теорема Мілнора-Вульфа про ріст розв’язних груп.

Приклад групи проміжного росту.



ЛІТЕРАТУРА


  1. P.de la Harpe, Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000.

  2. Гиперболические группы по Михаилу Громову. М.: Мир, 1992.

  3. M. R. Bridson and A. Haefliger, Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 319, Springer-Verlag, Berlin, 1999.

  4. Р. Линдон, П. Шупп, Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

  5. М. Kapovich, Lectures on Geometric Group Theory.


Операторні алгебри

Основи теорії C*-алгебр

Означення C*-алгебр. Приклади.

Спектр та його властивості.

Комутативні C*-алгебри.

Додатні елементи та їх властивості.

Скінченновимірні C*-алгебри.

Неунітальні C*-алгебри.

Ідеали і факторалгебри.

Слід та його властивості.

Зображення *-алгебр.

GNS конструкція.

Поняття алгебри фон Ноймана.


Групові C*-алгебри

Унітарні зображення груп.

Групові алгебри.

C*-алгебра скінченної групи.

C*-алгебра дискретної групи.

C*-алгебра абелевої групи.

C*-алгебра нескінченної діедральної групи.

C*-алгебра вільної групи.

Локально компактні групи.

Групоїди.

C*-алгебра етального групоїду.

ЛІТЕРАТУРА




  1. Дж.Мёрфи, C*-алгебры и теория операторов. М. Факториал, 1997.

  2. R.V. Kadison, J.R. Ringrose, Fundamentals of the theory of operator algebras. Vol. I: Elementary theory. Graduate Studies in Mathematics 15. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997.

  3. I.F. Putnam, C*-algebras. Lecture notes, 2012.

  4. K.R. Davidson, C*-algebras by example. Fields Institute Monographs 6. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка