Задача Коші Означення Сукупність рівнянь вигляду



Скачати 376.44 Kb.
Дата конвертації30.12.2016
Розмір376.44 Kb.
Розділ 6. Системи звичайних диференціальних рівнянь

6.1. Основні поняття та загальні властивості розвязків

6.1.1. Основні поняття та означення. Задача Коші

Означення 6.1. Сукупність рівнянь вигляду

, (6.1)

де – шукані функції від незалежної змінної , називається системою диференціальних рівнянь першого порядку.



Означення 6.2. Будемо говорити, що систему звичайних диференціальних рівнянь (6.1) записано в нормальній формі, якщо її можна розвязати відносно похідних і представити в такому вигляді

. (6.2)

Число рівнянь системи диференціальних рівнянь (6.2) називається її порядком.



Означення 6.3. Якщо праві частини системи диференціальних рівнянь (6.2) лінійні по

, (6.3)

то система називається лінійною.



Означення 6.4. Сукупність функцій

(6.4)

визначених і неперервно диференційовних на називається розвязком системи (6.2), якщо вона перетворює всі рівняння системи (6.2) в тотожності на .

Процес знаходження розвязків системи називається інтегруванням.

Задача Коші: для системи диференціальних рівнянь (6.2) серед всіх розвязків знайти такий

, (6.5)

який задовольняє умовам



. (6.6)

Тут – початкові значення шуканих функцій, – початкове значення незалежної змінної . Числа називаються початковими даними розвязку (6.5), умови (6.6) – початковими умовами.



Геометричний зміст задачі Коші – серед всіх інтегральних кривих системи диференціальних рівнянь (6.2) знайти ту, яка проходить через точку (6.6).

Механічний зміст задачі Коші – знайти такий рух, визначений системою диференціальних рівнянь (6.2), який задовольняє початковим умовам (6.6).

6.1.2. Теореми про достатні умови існування та єдиності розвязку задачі Коші та неперервну залежність розвязку системи від початкових даних і параметрів(без доведення)

Теорема 6.1 (про існування і єдиність розв'язку задачі Коші). Розглянемо задачу (6.2), (6.6). Припустимо, що праві частини системи диференціальних рівнянь (6.2) визначені в області

( -задані числа) і задовольняють на R умовам:



  1. функції , є неперервними по всім аргументам і, отже, обмеженими

;

2) функції мають обмеженні частинні похідні по , тобто

( задане число).

При цьому існує єдиний розвязок системи (6.2) при умові (6.6), визначений і неперервно диференційовний на інтервалі .



Зауваження 6.1. Якщо праві частини системи диференціальних рівнянь (6.2) – суто поліноми від своїх аргументів, то існує єдиний розвязок задачі Коші (6.2), (6.6) для будь-яких початкових умов.

Розглянемо систему диференціальних рівнянь в нормальній формі залежну від параметрів



, , (6.7)

праві частини якої визначенні в областях



і

.



Теорема 6.2 (про неперервну залежність розвязку від параметрів). Припустимо, що праві частини системи диференціальних рівнянь (6.7) задовольняють умовам:

1) функції неперервні за в області і , і, отже, обмежені



, ;

2) функці задовольняють умові Ліпшиця за



,

де і – будь-які точки з , – будь-яка точка з , – постійне додатне число, незалежне від та . Тоді сиcтема (6.7) має єдиний розвязок



, (6.8)

який задовольняє початковим умовам .

Цей розвязок є визначеним і неперервно дифереційовним за на інтервалі

, (6.9)

визначений і неперервний по в області рівномірно за з (6.9), тобто для кожного існує , що одночасно для кожного з (6.9) виконується нерівність



лише тільки



.

Теорема 6.3 (про неперервну залежність розвязків від початкових умов). Якщо праві частини системи диференціальних рівнянь (6.2) задовольняють в обом умовам тереми Пікара (теореми 6.1) , то розвязок

(6.10)

з початковими умовами



(6.11)

буде неперервним за і початковим умовам , коли



, (6.12)

а лежать в області



, (6.13)

де


.

При цьому розвязок (6.10) буде неперервним по , в області (6.13) рівномірно за з (6.12), тобто для любого існує , що нерівності



виконується одночасно для всіх з (6.12), коли



.

6.1.3 Загальний, частинний і особливий розв'язки

Нехай – область, в кожній точці якої виконуються умови теореми існування і єдиності.



Означення 6.5. Сукупність функцій

(6.14)

визначених в деякій області зміни змінних і які мають неперервні частинні похідні за , будемо називати загальним розвязком системи (6.2) в області , якщо систему (6.14) можна розвязати відносно



, (6.15)

а сукупність функцій (6.14) є розвязком диференціального рівняння (6.2) для всіх сталих, визначених співвідношеннями (6.15), коли .

Якщо в (6.14) роль сталих відіграють початкові умови

, (6.16)

то (6.16) називається загальним розвязком в формі Коші.



Означення 6.6. Розвязок системи диференціальних рівнянь (6.2) називається частинним якщо він складається з точок єдиності розвязку задачі Коші. Його можна отримати при конкретних сталих, включаючи .

Означення 6.7. Розвязок системи диференціальних рівнянь (6.2) називається особливим, якщо в кожній точці його порушується єдиність розвязку задачі Коші.

6.1.4 Інтеграл. Перший та загальний інтеграли. Число незалежних інтегралів

Розглянемо одну з рівностей (6.15)



. (6.17)

Функція на будь-якому частинному розвязку приймає постійні значення, тобто



.

Ця функція називається інтегралом.



Означення 6.8 (перше означення інтегралу). Функція , визначена на і яка не приводиться до сталої, називається інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2) в області , якщо при заміні будь-яким частинним розвязком цієї системи, вона приймає постійне значення.

На частинних розвязках системи (6.2) , тобто



.

Це записується таким чином



. (6.18)

Означення 6.9 (друге означення інтегралу). Функція неперервно диференційована в області і така, що не дорівнюють одночасно нулю в цій області, називається інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2) в області , якщо .

Співвідношення (6.18) еквівалентне наступному



.

Якщо функція є інтегралом в смислі другого означення, то вона буде інтегралом і в смислі першого. Обернене не вірно – може не мати частинних похідних.

Рівність називається першим інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2).

Означення 6.10. Сукупність перших інтегралів вигляду (6.15). яку можна розвязати відносно , в результаті чого в області отримаємо загальний розвязок в формі (6.14) будемо називати загальним інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2) в області .

Перші інтеграли (6.15), які утворюють загальний інтеграл системи диференціальних рівнянь (6.2), є незалежними, якщо між функціями не існує співвідношення виду ні при якому виборі функції .



Теорема 6.4. Якщо інтеграли мають неперервні частинні похідні, то для незалежності їх необхідно і достатньо, щоб якобіан від функцій за не перетворювався тотожно в нуль

. (6.19)

Доведення витікає з відповідного розділу математичного аналізу: необхідною і достатньою умовою незалежності функцій від змінних заключається в тому, щоб хоча б один з функціональних визначників який можна утворити з стовпців таблиці



не дорівнює тотожно нулю.

Якщо ми маємо інтегралів , то вони будуть незалежними тоді і тільки тоді, коли хоча б один з функціональних визначників –го порядку, складений з стовпців таблиці

не дорівнює тотожно нулю.

Припустимо, що інтеграли мають неперервні частинні похідні за .

Теорема 6.5. Нормальна система рівнянь не може мати більш ніж незалежних інтегралів.

Доведення. Твердження теореми рівносильно тому, що якщо відомо інтеграл системи диференціальних рівнянь (6.2) , , то вони не можуть бути незалежними. Розглянемо два випадки.

а) – залежні, то і , – теж залежні.

б) – не залежні. Тоді . Так як , – інтеграли системи диференціальних рівнянь (6.2), то

,

……….


,

.

Ця система однорідних рівнянь показує, що вона має не нульовий розвязок . Тому



.

З математичного аналізу відомо, що в цьому разі , тобто функції – залежні.

Теорема 6.6. Якщо , – незалежні інтеграли системи диференціальних рівнянь (6.2) в області , а – довільна функція, визначена в деякій області змінних , яка є областю значень функцій , коли , і яка має в цій області неперервні частинні похідні по не рівні нулю одночасно, то функція

(6.20)

також буде інтегралом системи диференціальних рівнянь (6.2).

Дійсно

в силу умови теореми, що , .



6.1.5. Пониження порядку системи з допомогою перших інтегралів

Знаючи один перший інтеграл системи диференціальних рівнянь (6.2) можна понизити її порядок на одиницю.

Дійсно, нехай

(6.21)

– перший інтеграл.

Визначимо з (6.21)

. (6.22)

Підставивши(6.22) в рівняння будемо мати систему



(6.23)

порядку .

Якщо відомо перших інтегралів, то порядок системи диференціальних рівнянь (6.2) можна понизити на одиниць.

6.1.6 Системи диференціальних рівнянь в симетричній формі

Така система має вигляд



. (6.24)

Будь-яку систему нормальних рівнянь типу (6.2) можна записати в симетричній формі



. (6.25)

Якщо , тоді (6.24) можна записати в нормальній формі



, . (6.26)

При розвязанні систем в симетричній формі користуються властивістю: якщо



то .

Приклад 6.1. Розв'язати систему в симетричній формі

.

Розв'язування. Для знаходження загального інтегралу системи поступимо таким чином:

а) візьмемо і просумуємо чисельники та знаменники, отримаємо



;

б) якщо ж виберемо , то будемо мати .

Отже, загальний інтеграл системи запишемо у вигляді



6.2. Лінійні системи звичайних диференціальних рівнянь

6.2.1. Однорідні системи

Розглянемо лінійну однорідну систему звичайних диференціальних рівнянь



, (6.27)

або в матричній формі



. (6.28)

Тут – неперервна за матриця розмірності . Якщо функції – вектор-розв’язки системи (6.28),то і



, (6.29)

де – довільні сталі, теж є розв’язком системи (6.28).

Дійсно, введемо оператор

, (6.30)

який має властивості:

а) ;

б) .



З допомогою оператора систему диференціальних рівнянь (6.28) запишемо так

. (6.31)


Якщо , то в силу властивостей а), б) функція (6.29) також є розв’язком системи (6.28).

6.2.2. Лінійно незалежні розв’язки. Теореми про лінійно залежні і незалежні розв’язки

Означення 7.1. Вектор-розв’язки системи диференціальних рівнянь (6.28) називаються лінійно залежними на , якщо існують такі сталі , які не дорівнюють нулю одночасно, що

,

в противному випадку система розв’язків називається лінійно незалежною на .



Теорема 7.1. Якщо для всіх система векторів

(6.32)

лінійно залежна, то відповідні їм розв’язки системи диференціальних рівнянь (6.28) також лінійно залежні.



Доведення. Припустимо, що вектори (6.32) лінійно залежні, тобто

, (6.33)

де не всі дорівнюють нулю. Розглянемо вектор-функцію з тими ж сталими



. (6.34)

Вектор задовольняє системі диференціальних рівнянь (6.28) і , в силу (6.33), . На основі теореми існування і єдиності отримуємо, що



. (6.35)

Співвідношення (6.35) означає, що лінійно залежні.



Означення 7.2. Система лінійно незалежних розв’язків

(6.36)

системи диференціальних рівнянь (6.28) називається фундаментальною системою розв’язків або базисом цієї системи рівнянь.



Теорема 6.8. Система звичайних диференціальних рівнянь (6.28) має фундаментальну систему розв’язків. Якщо (6.36) – фундаментальна система розв’язків системи диференціальних рівнянь (6.28), то загальний розв’язок записується у вигляді

, (6.37)

де – довільні сталі.



Доведення. Доведемо першу частину теореми. Задамо систему з лінійно незалежних векторів . Побудуємо систему розв’язків для системи диференціальних рівнянь (6.28) з початковими умовами . Так як вектори лінійно незалежні, то в силу теореми (6.7) вектори також є лінійно незалежними, тобто складають фундаментальну систему розвязків.

Доведемо другу частину теореми, тобто покажемо, що з допомогою формули (6.37) можна розв’язати будь-яку задачу Коші



. (6.38)

Покажемо, що розв’язок задачі (6.38) можна записати в вигляді



, (6.39)

де – постійні числа.

Числа визначаються з системи

, (6.40)

так як вектори лінійно незалежні, то по теоремі 6.7 вектори також є лінійно незалежними. Тому визначник системи (6.40) відмінний від нуля. Таким чином, система (6.40) має єдиний розв’язок . Теорема доведена.



6.2.3 Інтегральна (фундаментальна) матриця

Введемо матрицю розміром , яка складається з лінійно незалежних розв’язків системи (6.28)



. (6.41)

Ясно, що матриця задовольняє матричне диференціальне рівняння



. (6.42)

Матриця називається інтегральною, або фундаментальною.

Якщо – фундаментальна матриця розв’язків, то і , де – довільна неособлива матриця розмірності , також є фундаментальною. Дійсно

.

6.2.4 Визначник Вронського. Формула Якобі

Визначник називається визначником Вронського або вронськіаном системи (6.28).

На основі теореми 6.7 можна сказати:

а) якщо система векторів (6.36) лінійно залежна, то ;

б) якщо система (6.36) лінійно незалежна, то , і матриця буде інтегральною.

Теорема 6.9. Припустимо, що матриця системи диференціальних рівнянь (6.28) має неперервні елементи на . Якщо матриця задовольняє (6.28), то

, (6.43)

де . Рівність (6.43) називають формулою Якобі.



Доведення. Запишемо систему матричних диференціальних рівнянь (6.42) у вигляді

.

Тоді


, (6.44)

де – деякі визначники. Обчислимо визначник



.

З першого рядка віднімемо суму другого рядка, помноженого на , третього на , … . Отримаємо



.

Аналогічно показується, що



.

Таким чином, , звідки отримуємо формулу Якобі (6.43). Теорема доведена.

З формули (6.43) випливає, що якщо , тобто система функцій в точці лінійно залежна, то , якщо ж , то .

Теорема 6.10. Припустимо, що матриця задовольняє диференціальне рівняння (6.42). Для того, щоб вона була інтегральною необхідно і достатньо, щоб

. (6.45)


Доведення. Достатність. Припустимо, що . Це означає, що вектори є розв’язками системи диференціальних рівнянь (6.28) і лінійно незалежні, тобто – інтегральна матриця.

Необхідність. Нехай – фундаментальна матриця. В силу теореми (6.8) задача Коші

має єдиний розв’язок , де визначається з системи



. (6.46)

Оскільки система (6.46) має єдиний розв’язок, то . А тоді, в силу (6.43), . Теорема доведена.

З допомогою матриці загальний розв’язок лінійної системи можна записати у вигляді

, (6.47)


де .

6.2.5. Спряжені системи

Розглянемо дві системи



, (6.48)

, (6.49)

які називаються спряженими (тут Т знак транспонування).

Для цих систем справедлива властивість

. (6.50)

Дійсно .

Якщо і – інтегральні матриці для систем (6.49), (6.50) відповідно, тобто

, (6.51)

, (6.52)

то

, (6.53)

де – постійна матриця. Дійсно

.

Якщо , то



. (6.54)

6.2.6. Неоднорідні системи

Розглянемо систему диференціальних рівнянь



, (6.55)

яка називається лінійною неоднорідною системою звичайних диференціальних рівнянь.



Теорема 6.11 Якщо – розв’язок неоднорідної системи, тобто , а – розв’язок однорідної системи , то сума є розв’язком неоднорідної системи.

Доведення. Дійсно

.

Теорема 6.12. Загальний розв’язок неоднорідної системи (6.55) можна записати у вигляді суми загального розв’язку однорідного і частинного неоднорідного.

Доведення. Нехай – інтегральна матриця однорідної системи, – частинний розв’язок неоднорідної системи. Тоді

(6.56)


в силу теореми 6.11 – розв’язок системи однорідних диференціальних рівнянь (6.55).

Для доведення теореми досить показати, що система алгебраїчних рівнянь



, (6.57)

де – довільний початковий вектор, має єдиний розв’язок . Так як – інтегральна матриця, то в такому випадку вона має обернену на . Тому . Теорема доведена.



6.2.7. Метод варіації довільної сталої

Загальний розв’язок системи однорідних диференціальних рівнянь (6.28) запишемо у формі



, (6.58)

де – довільні сталі.

Розв’язок лінійної системи диференціальних рівнянь (6.55) шукаємо у вигляді

, (6.59)

де невідомі функції.

Підставляючи (7.33) в (7.29) отримаємо

Так як , то остаточно функції шукаємо з системи диференціальних рівнянь



. (6.60)

Визначник системи (6.60) , якщо – фундаментальна система рівнянь. З (6.60) визначаємо



.

Звідки


.

Тому


(6.61)

– загальний розв’язок диференціального рівняння (6.55).



6.2.8. Формула Коші

Розглянемо задачу Коші



. (6.62)

Припустимо, що ми знаємо матрицю , яка нормована по моменту



. (6.63)

Шукаємо розв’язок задачі Коші (6.62) у вигляді



. (6.64)

Підставляючи (6.64) в (6.62) отримаємо



.

Звідки , тобто



.

Але , тому



.

Враховуючи, що , остаточно запишемо



. (6.65)

Формула (6.65) називається формулою Коші.



Приклад 6.2. Розв’язати систему звичайних диференціальних рівнянь

.

Розв'язання. Приведемо дану систему до диференціального рівняння другого порядку

.

Звідки отримаємо диференціальне рівняння



.

Запишемо та розв’яжемо характеристичне рівняння . Знайдемо . Тоді



,

– загальний розв’язок.



Приклад 6.3. Розв’язати систему звичайних диференціальних рівнянь

.

Розв'язання. Складемо і віднімемо почленно два рівняння, отримаємо

,

.

Звідки , , тобто



– загальний розв'язок нашої системи.



Приклад 6.4. Перевірити, чи є першим інтегралом системи

(6.66)

функції а) ; б) .



Розв'язання. Обчислимо повні похідні по t від заданих функцій на розв'язках системи (6.66).

а) – є інтегралом;

б) – не є інтегралом.

6.3. Однорідні лінійні системи диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами

6.3.1. Випадки інтегрованості лінійних систем в квадратурах

Розглянемо матричне диференціальне рівняння



, , (6.67)

де – задана матриця , Y(x) – фундаментальна матриця .

Розглянемо випадок (Лапо–Данилевського), коли матриця ди­фе­рен­ці­аль­но­го рівняння (6.67) виражається через A(x).

Припустимо, що A(x) комутує з своїм інтегралом, тобто



, (6.68)

(6.69)

на будь-якому кінцевому інтервалі.

При цих умовах нормальна фундаментальна матриця має вигляд

. (6.70)

Дійсно, за визначенням маємо



, (6.71)

де

M=M(x)= . (6.72)

З (6.71) випливає, що Y(x0) =E.

Якщо виконується умова (6.68), то матриця М(х) комутує з своєю похідною



.

Тому


.

По індукції можна вивести, що



, (6.73)

З урахуванням (6.73) продиференціюємо (6.71)



.

Таким чином



. (6.74)

Матричний ряд (6.71), який складається з n2 скалярних рядів збіжний на будь-якому кінцевому інтервалі . Так як , то в силу (6.69) кожен із n2 скалярних рядів мажорується збіжним рядом



.

Звідси випливає рівномірна збіжність матричного ряду на будь-якому кінцевому інтервалі і сума (6.71) є неперервною функцією на цьому інтервалі.



6.3.2. Матричний метод інтегрування однорідних стаціонарних систем

Припустимо, що в системі (6.67) матриця А постійна. Тоді виконуються умови комутативності (6.68). Тому, згідно (6.70), маємо



. (6.75)

Розглянемо випадок , тоді



. (6.76)

Властивості матричної експоненти:

а) якщо АВ=ВА , то ;

б) якщо , то ;

в) матриця є розвязком матричного диференціального рівняння (6.67) з початковими умовами . Тому розв'язок задачі Коші запишеться таким чином .

Таким чином , для знаходження загального розв'язку системи необхідно знайти матрицю .

Для цього представимо матрицю А у вигляді , де J – жорданова форма матриці А. Тоді



. (6.77)

При обчисленні (6.77) враховується, що якщо -та клітина Жордана



, (6.78)

то представимо її у вигляді



= , (6.79)

де


,

.

Знаходимо



. (6.80)

Матрицю можна знайти з допомогою ряду (6.71), так як . Це означає, що в ряді (6.71) відмінні від нуля тільки перші членів.

Розглянемо ряд прикладів, в яких матриця Жордана має різну структуру, тобто корені характеристичного рівняння будуть мати різний вигляд.

Приклад 6.5. Обчислити , якщо А = .

Розв'язання. Розглянемо характеристичне рівняння , . Знайдемо невироджену матрицю , щоб , де :

, ,

тобто


і .

Остаточно маємо:



.

Приклад 6.6. Знайти , якщо А = .

Розв'язання. Знайдемо корені характеристичного рівняння . Оскільки , то . Визначимо матрицю :

, .

Тому .

Але . Тому .

Приклад 6.7. Знайти , якщо .

Розв'язання. Так як , то жорданова форма. Аналогічно визначаємо

, .

Тому


.

Представимо



, тоді , де . Легко обчислити (згідно (6.71)), що

, .

Тому




6.3.3. Структура фундаментальної системи розв'язків. Метод Ейлера

Розглянемо лінійну систему звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами в векторно – матричній формі



. (6.81)

Лінійно незалежні розв'язки, згідно Ейлеру, шукаємо у вигляді



, (6.82)

де h власний вектор , власне значення, тобто

, . (6.83)

Число повинно задовольняти характеристичне рівняння

. (6.84)

Розглянемо різні випадки:



а) корені характеристичного рівняння дійсні і різні. Тоді

(6.85)

система n лінійно незалежних розвязків, так як в даному випадку кожному відповідають лінійно незалежні власні вектори ;

б) характеристичне рівняння має пару комплексно спряжених коренів . Тоді кореню відповідає власний вектор . Це означає, що система (6.81) має комплексний розвязок

Звідки


, (6.86)

два лінійно незалежні розвязки, які відповідають кореням . При цьому розгляд кореня не дає нових лінійно незалежних розв'язків;

в) розглянемо випадок кратних коренів. Нехай (s) різні розв'язки характеристичного рівняння (6.84), тобто

.

Тоді матрицю А можна представити клітками Жордана, тобто знайдеться неособлива матриця S така, що



S-1AS= ,

де .

Отже, заміною прийдемо до системи диференціальних рівнянь

, .

Якщо , вектори розмірності , то маємо

. (6.87)

Розглянемо одну з підсистем системи (6.87) з матрицею



+ = .

Фундаментальна матриця для системи (6.87) має вигляд



,

то знаючи заміну , матриця буде фундаментальною для даної системи.

Визначимо



.

Але , де одинична матриця розмірності , причому

, , .

Таким чином



.

Домножаючи на отриману матрицю будемо мати інтегральну матрицю для даної системи.

Враховуючи вид інтегральної матриці для побудови лінійно незалежних розв'язків j – ої підсистеми



(6.88)

можна поступити так. Шукаємо ,

, .

Тобто , . Звідки

. (6.89)

Тобто


, .

Отже


.

Міркуючи аналогічно можна отримати , тому

. (6.90)

Висновки. Якщо характеристичному числу відповідає тільки один елементарний дільник, то ми отримуємо тільки одну групу розвязків виду (6.90), яка містить розвязків (цей випадок відповідає тому, що ранг характеристичної матриці дорівнює (n-1)). Якщо ж відповідає декілька елементарних дільників , , то йому відповідає m груп розвязків типу (6.90). Причому кожна з груп має відповідно розвязків. Якщо всі елементарні дільники прості, то ми маємо випадок простого кореня.




База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка