Відповідь: Перший почув звук від другого через 1 с після зустрічи. 8 клас Розв’язки



Сторінка1/3
Дата конвертації18.04.2017
Розмір0.64 Mb.
  1   2   3
8 клас

Розв’язки

  1. Два літаки, які рухаються горизонтально з надзвуковою швидкістю прямолінійно зустрічними курсами, перебуваючи в одній вертикальній площині на різних висотах (мал. 1). В деякий момент часу літак 1 виявився точно над літаком 2. Через t1 =1,8 с після цього другий пілот почув звук від першого літака. В який момент часу t2 перший пілот почув звук від другого літака? Швидкість звуку в повітрі u=324 м/с, швидкості літаків постійні та дорівнюють v1= 405 м/с, v2= 351 м/с.

Розв’язок

На рис.1 показано положення літаків на момент отримання звукового сигналу літаком, що знаходиться в т.А від іншого літака, який в цю мить знаходиться в т.B. Але літак в т.A отримає звук, який прийшов з т.C. Час tx – затрачений на рух літака з т.C до т.B. Трикутник ABC є прямокутним, тому, що AB є дотичною до кола, що показане пунктирною лінією, та є місцем точок, до яких дійшов звук з т.C через час tx.





рис.1



рис.2З теореми Піфагора відстань .

На рис.2. показано положення літаків на час, коли літак A1 (A2) почув звук від літака B1 (B2).

Можна побачити, що , звідки

.

Таке саме співвідношення можливе і при використанні висоти H замість h, тому, що перетин A1B1, A2B2 та OO', за рахунок однакового співвідношення сторін трикутників відбувається в одній точці.



З рис.1 . Тоді .
Підставивши значення швидкостей, маємо

 = 1 c.


Відповідь: Перший почув звук від другого через 1 с після зустрічи.

8 клас

Розв’язки

  1. Воду можна охолодити без перетворення в лід нижче температури t0 = 0°C. В залежності від зовнішнього тиску процес кристалізації води може початися при певній температурі t 0. Лід, що утворюється при цьому, відрізняється за своїми фізичними властивостями від звичайного льоду, одержаного при температурі 0°С. Визначити, чому дорівнює питома теплота плавлення льоду λ2 при температурі t1 = – 10°C. Прийняти в інтервалі температур від –10°С до 0°С питому теплоємність води рівною c1 = 4,17103Дж/(кгград), питому теплоємність льоду c2 = 2,17103Дж/(кгград). Питома теплота плавлення льоду при температурі 0°С дорівнює λ1 = 3,32105Дж/кг

Розв’язок

Розв’язання задачі пояснює схема:

Запишемо рівняння теплового балансу:

λ1m + c2mΔt = λ2m + c1mΔt

Звідси випливає, що λ2 = λ1  (c1  c2)Δt



λ2 = 3,12105Дж/кг

ЗАДАЧА 1 (8 клас). З одинадцяти послідовно з’єднаних резисторів (рис.1) опорами від 1Ом до 11 Ом (rk=k Ом) шляхом з’єднання двох крайніх клем 0 утворено замкнуте коло. Клеми зберегли нумерацію від 0 до 10. До яких клем треба приєднати вхідний та вихідний провідники, що проводять струм, щоб опір між ними був найбільшим? Чому цей опір дорівнює?

Рис. 1


РОЗВЯЗАННЯ. При приєднанні провідників до клем кола це коло утворює паралельне з’єднання двох зведених резисторів опорами R1 і R2, причому R1+R2=r=const==

=1+2+...+11=66 Ом.

Опір між клемами визначається формулою

R=.

Так як r=const, то, щоб опір R був максимальним, має бути максимальним добуток R1R2. R1R2=R1(r-R1)=rR1-R12=. Очевидно, добуток буде максимальним, коли R1=. Тому R1=R2==33 Ом. При цьому R=16.5 Ом.

Залишилося встановити, чи можна реалізувати умову R1=R2=33 Ом. Щоб скоротити процес перебору, почнемо з найбільшого опору (r11=11 Ом) і підемо в бік поступового зменшення опорів: r11+r10+r9=30 Ом. Якщо піти в інший бік і взяти ще опори r1 і r2, одержимо 33 Ом. Отже, провідники треба приєднати до клем 2 і 8 (рис.2).



Рис. 2

Труба. Під час шоу тонку пряму і достатньо легку трубу треба перенести на іншу сторону дороги, якою їдуть бутафорські автомобілі (перекидати трубу через автомобілі забороняється). Перемагає та команда, яка перенесе трубу найбільшої довжини, не потрапивши в аварію. Якою може бути максимальна довжина труби? Як повинні рухатись члени команди, щоб перемогти? Швидкість руху автомобілів є сталою , максимальна швидкість, з якою з трубою можуть узгоджено бігти члени команди, . , , .

Труба. Розвязок. Якщо перейти в систему відліку, пов’язану з автомобілями, то вони будуть нерухомі, узбіччя дороги рухатиметься повз них у протилежному напрямку зі швидкістю , а гравці з трубою пересуватимуться з відносною швидкістю , яку можна знайти із закону додавання швидкостей . Як видно з рисунку, найбільша довжина труби S, що може «пролізти» між автомобілями, дорівнює відрізку AC, який неважко знайти із подібності трикутників ACD і ABE:,

. При цьому кут α, який утворює AC з напрямком дороги знаходимо із співвідношення , .

Залишається відповісти на питання, як повинні при цьому рухатись гравці і чи вистачить у них швидкості? Зазначимо, що для досяг­нення положення, зображе­ного на рисунку, труба повинна була перед цим повертатися. Відносна швидкість точки С труби безпосередньо перед зображеним на рисунку положенням була спрямована ліворуч вздовж обмеження дороги, відносна швидкість точки А мала дещо менше значення, оскільки проекції швид­костей цих точок на на­прямок труби однакові, а перпендикулярні відносять­ся як AB/BC (AB для довільних напрямків має зручне графічне відображення (див. Рис.2). Найбільший кут , за якого можливий рух (з відносною швидкістю ), знаходимо з прямокутного трикутника OPR, де : (, перебігти дорогу можливо). Для менших кутів відносна швидкість може знаходитись в інтервалі, який на рисунку відповідає відстаням між ON і OM (найбільший інтервал відносних швидкостей від до відповідає руху вздовж напрямку дороги). Таким чином, траєкторія відносного руху гравця не може відхилятися від напрямку «ліворуч» більше ніж на кут , при цьому швидкість його руху залежить від напрямку руху. Визначимо, чи є на трубі точка (позначимо F), яка у найбільш критичний момент рухається під кутом (див. Рис.3). Припустимо, що це так. Тоді кут, який утворює швидкість точки F з напрямком труби, . Оскільки проекції швидкостей точок F і С на напрямок труби однакові , а проекції на перпендикулярний напрямок відносяться як відстані FB/BC, маємо , звідки знаходимо, що , що значно менше відстані АВ. Отже перенести трубу такої довжини, тримаючи її за кінці, не можна. Але ж за умовою це не вимагається. Гравців треба розмістити поближче до центру труби, але під час змагань вони повинні бігти так, щоб труба поверталася (труба за умовою легка).

Одна з можливих стратегій виглядає так. Два гравці беруть трубу поблизу від центру, розвертають її під кутом α і біжать так, щоб труба ковзала по задньому куту автомобіля (точка В), а віддалений кінець труби (точка С) ковзав вздовж обмеження дороги. Коли труба досягає критичного положення, можна рухатись з відносною швидкістю спрямованою вздовж труби (виникає питання, як гравці протиснуться між трубою і автомобілем), а можна ще трохи розвернувшись (кут це дозволяє) і змінивши напрямок руху чисто пробігти між автомобілями і досягти симетричного критичного положення з іншого боку дороги. І далі все повторити. Звісно це виглядає досить складним, але, як відомо, тренування, особливо якщо вони підкріплені мріями про вагомий призовий фонд, допомагають досягти успіху.



Наприклад, у системі відліку «дорога» гравці, взявшись за середину труби, починають бігти вздовж дуги кола радіусом S/2 з центром у нерухомій точці С на узбіччі, ковзаючи трубою у точці В автомобіля (див. Рис.4). У критичний момент, їх швидкість знайдемо з умови проковзування в точці В: . - як бачимо ніяких проблем бігти з такою швидкістю у гравців не буде. Далі, якщо вони продовжуватимуть поступально бігти у тому ж напрямку (перпендикулярно до труби) з середньою швидкістю , труба весь час буде проковзувати між двома автомобілями (відносна швидкість спрямована вздовж труби) аж до критичного положення з іншого боку дороги, коли точка А труби доткнеться до узбіччя. Після чого гравці роблять ще одну пробіжку вздовж кола з центром у точці А.

Игорь, как видишь, задача, оказывается, не простая. Однако весь предварительный анализ можно было бы сократить, оставив резюме как двигаться и почему это возможно. Формально задачу можно давать даже 8-му классу, и может какой-нибудь сообра­зительный малыш сразу найдет правильный ответ, не вдаваясь ни в какие системы отсчета. Достаточно главной идеи – чтобы просунуть, надо касаться.

Предвижу несколько не точных вариантов ответов:

  1. S=0,8 м – труба параллельно улице, игроки бегут перпендикулярно улице.

  2. Труба параллельно улице, игроки бегут под углом .

  3. Труба под углом, но игроки бегут перпендикулярно улице.

  4. Труба под углом, игроки бегут под углом . Движение трубы поступательное.

Думаю, всегда можно распределить ѕ баллов за такую задачу среди не точных ответов.

Композит. Останнім часом все більшого поширення набувають композитні матеріали. Одне із застосувань композитів – це тепловий захист космічних апаратів, які з великою швидкістю входять в атмосферу Землі і сильно розігріваються. Запропонований для теп­лового захисту композит являє пористу кераміку, заповнену металом. Пори з’єднані між собою і мають виходи. Під час випробувань зразку композиту передавали постійну теп­лову потужність, починаючи з температури 0°С. За графіком залежності температури t від часу τ визначте, яким саме металом була наповнена кераміка, а також знайдіть його пито­му теплоємність у рідкому стані, температуру кипіння і питому теплоту випаро­вування.

Довідкові дані:

Питома тепло­ємність с, кДж/(кг·К)Температура плавлення, °С.Питома тепло­та плавлення λ, кДж/кгАлюміній0,9660380Берилій1,913001360Літій4,4182630Магній1,0650375

Композит. Розвязок. Позначимо через x величину масштабного відрізку часу τ, а через y величину масштабного відрізку температури t. Тоді на першому етапі кераміка з металом отримали кількість теплоти і нагрілися до температури плавлення металу (у °С). На другому етапі на розплавлення металу пішло теплоти. На третьому розплавлений метал разом з керамікою нагрівся до своєї температури кипіння , отримавши теплоти. На четвертому етапі метал випаровувався, забезпечивши велике поглинання теплоти у кількості . На завершальному п’ятому етапі кераміка нагрівається вже без металу (вважаємо, що її теплоємність з підвищенням температури суттєво не змінилася). Запишемо рівняння для кожного етапу, позначивши масу і теплоємність кераміки через mk і ck, а масу металу і його теплоємність у рідкому стані через m і .

Виразимо з останнього рівняння і підставимо в інші:



Тепер з першого рівняння підставимо в інші :



Оскільки перше рівняння дозволяє перевірити, яким металом було наповнено кераміку. Згідно графіку і підрахункам . Згідно довідковим даним



, , , .

Як бачимо, саме дані по магнію співпадають абсолютно точно. Отже, метал в кераміці – магній, його пито­ма теплоємність у рідкому стані , температура кипіння °С , питома теплота випаро­вування .



9-й клас.

Задача 1. Гімнастка кидає обруч у вертикальній площині вздовж підлоги зі швидкістю V0=4 м/с, закрутивши його з кутовою швидкістю =40 с-1 так, що він, торкнувшись підлоги, повернувся назад, не відриваючись від неї. Діаметр обруча D=1 м. Не враховуючи можливих втрат тепла обручем, знайдіть найбільше можливе підвищення його температури внаслідок тертя після повернення, якщо питома теплоємність матеріалу обруча С=880 Дж/(кгК).

Розвязок. Величина підвищення температури обруча може бути визначена як різниця його повної (поступальної і обертальної) початкової та кінцевої енергій, віднесена до повної теплоємності: , де m - невідома маса обруча.

Застосуємо вираз для енергії поступального руху у вигляді обертального – , отже , де позначено ; V2 та -

поступальна та кутова швидкості обруча після зникнення проковзування, тобто V2= .

Рівняння 2-го закону Ньютона:

- для поступального руху , де - сила тертя ковзання;

- для обертального руху: , де - зміна кутової швидкості за час t .

Розглядаючи окремо рух з моменту падіння до повної зупинки у найвіддаленішій від гімнастки точці, з цих рівнянь отримаємо: та ,

де - швидкість обертання при зупинці поступального руху.

Позбуваючись часу : .

Аналогічно для руху обруча до гімнастки від най віддаленої точки до моменту припинення проковзування, тобто зрівняння поступальної швидкості центра мас і лінійної швидкості точок обруча:



;

.

Звідки отримуємо: і , або ;



.

Підставляючи отримані V2 або в рівняння для отримаємо остаточну відповідь:



K

Відповідь: K .



ЗАДАЧА 2 (9 клас). Кожного разу, коли спортивний автомобіль проходить коло замкнутої горизонтальної траси зі сталою швидкістю v, акселерометр фіксує графік прискорень a(t) з пропорціями, що зображені на рис.1. Вважаючи, що час проходження траси T та прискорення a задані, визначити швидкість v руху автомобіля, довжину S траси, її форму та визначальні розміри. Автомобіль рухається по трасі проти годинникової стрілки.

Рис. 1


РОЗВЯЗАННЯ. Так як швидкість руху стала, а прискорення не дорівнює нулю, робимо висновок, що мова йде про нормальну складову прискорення. Поки нормальне прискорення стале, відповідна ділянка траси є частиною кола радіуса . За допомогою графіка легко встановити, що R1=2R2=4R3=4R4.

Довжина кожної ділянки Si=Ri=vti, тому відповідно її центральний кут дорівнює:



; ; ; .

Отже, за модулем .

Зміна напрямку нормального прискорення (зміна знаку) означає, що на третій ділянці має місце правий поворот.

Враховуючи, що за повне коло автомобіль робить повний оберт на кут 2π і при цьому на третій ділянці повертається в протилежному напрямку, одержимо:



.

Тому .

Так як та , то

.

Отже, швидкість руху



.

Довжина траси .

Профіль траси складається з чотирьох півкіл, що зображені на рис. 2.

A0A1=2R1; A1A2=R1; A2A3=A3A0=0.5 R1.

Рис. 2

  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка