Вектори, дії над векторами



Скачати 49.88 Kb.
Дата конвертації22.04.2017
Розмір49.88 Kb.
Вектори, дії над векторами.
1.Поняття вектора, дії над векторами.

2. Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів.


Вектором називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка вказується стрілкою. Розрізняють початок і кінець вектора.

Два вектора називаються рівними між собою, якщо кожний із них можна дістати паралельним перенесенням іншого.

Рівні вектори є паралельними (колінеарними), мають один і той самий напрям і однакову довжину. Довжина вектора називається абсолютною величиною або модулем вектора і позначається .

Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо він має нульову довжину, тобто його кінець збігається з початком.

Щоб знайти суму двох векторів і , сумістимо початок вектора з кінцем вектора .

Сумою + векторів та називається вектор, початок якого збігається з початком вектора , а кінець – з кінцем вектора (рис).

Для додавання векторів мають місце такі закони:


  1. переставний (комутативний)

  2. +=+;

  3. сполучний

+;

  1. для кожного вектора існує протилежний , такий, що

;

4) ;

5) для будь-яких двох векторів і виконуються нерівності:

,

.

Якщо вектор утворює кут з віссю ОХ (рис), то проекцією вектора на вісь називається величина



, (1)

(2)

Нехай вектор має початок у точці , а кінець – у точці . Тоді величина , , є проекціями вектора на осі . Проекції вектора однозначно визначають вектор. Тому має місце рівність



.

Якщо вектор , то проекція суми векторів



.

Добутком вектора на число називається вектор , довжина якого дорівнює . Множення вектора на число має властивість асоціативності та дистрибутивності, тобто для довільних чисел , та векторів і справедливі рівності;

1)

2) (3)

3)

Будь-який вектор .

Можна записати у вигляді:

, (4)

Де - одиничні вектори, називаються компонентами вектора (рис. 1.3).



.

Приклад. Дано два вектори: та .

Знайти вектор .

Розв’язок. .

Ознакою колінеарності двох векторів та є пропорційність їх координат:

(5)

Довжина вектора обчислюється за формулою



.

2. Скалярним добутком двох векторів і називається число , яке дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними:



(6)

Скалярний добуток можна записати у такому вигляді:



.

Якщо вектори та задані своїми координатами, то їх скалярний добуток обчислюється за формулою:



(7)

Враховуючи формули (6) і (7), можна знайти косинус кута між векторами і :



. (8)

Звідси випливає умова перпендикулярності двох векторів: якщо , то

Або в координатній формі:
(9)

Серед властивостей скалярного добутку відмітимо як більш уживані такі:

1)

2) ;

3) .

Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , який має такі властивості:


  1. довжина вектора дорівнює добутку довжин співмножників на синус кута між ними:

  2. вектор перпендикулярний до векторів і ;

  3. з кінця вектора найкоротший поворот від до уявлявся таким, що відбувається проти годинникової стрілки (рис).

Зауважимо , що , а модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах та , якщо вони віднесені до спільного початку.

У координатній формі векторний добуток векторів і можна записати у вигляді:



. (10)

Мішаним або скалярно-векторним добутком трьох векторів називається векторний добуток векторів і , скалярно помножений на вектор , тобто .

Якщо вектор - компланарні, тобто розташовані в одній площині або на паралельних площинах, то їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Якщо відомо координати співмножників , , , то мішаний добуток обчислюється за формулою:

. (11)

Якщо три ненульових вектора розташовані в одній площині (компланарні), то їх мішаний добуток =0.

Отже, в координатній формі умова компланарності трьох ненульових векторів має вигляд:

=0

Приклад. Задано координати точок , , , та . Знайти:



  1. вектор , якщо ;

  2. кут між векторами ;

  3. координати вектора ;

  4. об’єм піраміди з вершинами в точках .

Розв’язок.

  1. За формулою (2) знаходимо







Тоді



  1. Косинус кута між векторами обчислюємо за формулою:



Оскільки косинус кута від’ємний, то кут тупий.



  1. Координати векторного добутку знаходимо за формулою:





  1. Щоб знайти об’єм піраміди, знайдемо спочатку мішаний добуток векторів, що виходять з однієї вершини піраміди:

Тоді об’єм піраміди





Завдання для самостійної роботи

1. За даними векторами і побудувати вектори: 1); 2).

2. Дано точки і Знайти координати векторів і .

3. Знайти кут між векторами , .

4. Знайти довжину вектора .

5. Дано вершини трикутника Знайти його зовнішній кут при вершині А.

6. Дано вектори . Знайти

7. Знайти об’єм тетраедра з вершинами






База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка