В. Н. Каразіна лінійна алгебра (назва навчальної дисципліни) Програма



Скачати 87.22 Kb.
Дата конвертації02.04.2017
Розмір87.22 Kb.

Міністерство освіти і науки, МОЛОДІ ТА СПОРТУ України


ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ В.Н. КАРАЗІНА


ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

______________________________________________________________________________

(назва навчальної дисципліни)



Програма


вибіркової навчальної дисципліни

підготовки __ _ бакалавр_з прикладної математики___

(назва освітньо-кваліфікаційного рівня)

напряму _ 6.040301-прикладна математика_____________

(шифр і назва напряму)

спеціальності___ ______________________________

(шифр і назва спеціальності)
(Шифр за ОПП________)

Харків


2012 рік

РОЗРОБЛЕНО ТА ВНЕСЕНО: Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

(повне найменування вищого навчального закладу)

РОЗРОБНИКИ ПРОГРАМИ: Вишнякова Ганна Марківна, кандидат фіз-мат. наук, доцент


Програма затверджена Вченою радою механіко-математичного факультету

__________________________________________________________________________________

Протокол № 5 від “20” квітня 2012 року.
“_____”______________20__ р. Голова Вченої ради ___________________ ( Жолткевич Г.М )

(підпис) (прізвище та ініціали)



Вступ
Програма вивчення вибіркової навчальної дисципліни “Лінійна алгебра” складена відповідно до освітньо-професійної програми підготовки бакалавр з прикладної математики

напряму (спеціальності) 6.040301 “прикладна математика”.


Предметом вивчення навчальної дисципліни є скінченовимірні лінійні простори та лінійні оператори у цих просторах.
Міждисциплінарні зв’язки: Для розуміння курсу лінійної алгебри необхідно вільне володіння шкільним курсом математики. Глибокі зв’язки пов’язують курс лінійної алгебри з курсом аналітичної геометрії. У подальшому курс лінійної алгебри використовується в майже усіх математичних курсах і є мовою сучасної математики.
Програма навчальної дисципліни складається з таких змістових модулів:
1. Комплексні числа.

2. Многочлени від однієї змінної над полем.

3. Многочлени від багатьох змінних над полем.

4. Раціональні функції від однієї змінної над полем.

5. Підстановки.

6. Матриці і визначники.

7. Лінійні простори.

8. Системи лінійних рівнянь.

9. Лінійні оператори в скінченовимірних просторах.

10. Евклідів простір.

11. Лінійні оператори в скінченовимірних евклідових просторах.

12. Квадратичні форми.

13. Теорема Жордана.


1. Мета та завдання навчальної дисципліни


1.1. Метою викладання навчальної дисципліни “Лінійна алгебра” є навчання майбутніх спеціалістів основам загальної та лінійної алгебри.

1.2. Основними завданнями вивчення дисципліни “Лінійна алгебра” є навчання студентів теоретичним основам і методам лінійної алгебри та застосуванню цих методів у інших математичних дисциплінах


1.3. Згідно з вимогами освітньо-професійної програми студенти повинні:

знати :

Дії з комплексними числами, геометричну форму комплексних чисел. Зображення комплексних чисел на площині. Формулу Моавра. Корені із комплексних чисел.

– Означення групи, кільця, поля.

– Поняття многочлена від однієї змінної над полем. Дії з многочленами. НСД многочленів, алгоритм Евклида, взаємно прості многочлени.

– Означення кореня многочленів від однієї змінної та кратних коренів. Звязок кратних коренів із похідною многочлена.

– Основну теорему алгебри та її наслідки.

– Теорему про межу коренів многочлена, теорему Штурма.

– Канонічний вид раціональної функції над полями дійсних та комплексних чисел.

– Поняття многочлена від багатьох змінних над полем. Дії з многочленами. Поняття симетричного многочлена та основну теорему про симетричні многочлени.

– Поняття підстановки із n елементів, парності та знаку підстановки, зміну парності при множенні на транспозицію.

– Означення і властивості визначника матриці. Теорему Лапласа. Розкладання визначника по рядку.

Означення добутку матриць, оберненої матриці. Правило Крамера.

– Означення і властивості лінійних просторів. Означення і властивості лінійно незалежної (лінійно залежної) системи векторів.

– Поняття підпростору лінійного простору, лінійної оболонки системи векторів, вимірності лінійної оболонки.

– Означення рангу матриці та теорему про ранг.

– Загальну теорію систем лінійних рівнянь.

– Поняття координат вектора у базисі. Формулу зміни координат при зміні базису.

Поняття лінійного оператора, матриці оператора в даному базисі, ядра та образа оператора. Поняття власного числа та власного вектора лінійного оператора.

– Поняття евклідового простору. Нерівність Коши-Буняковського. Поняття норми вектора і її властивості. – Властивості скалярного добутку. Теорему Грама-Шмідта.

– Поняття квадратичної форми. Канонічний вигляд квадратичної форми над дійсним і комплексним полем. – Метод Лагранжа приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

– Поняття додатно визначеної квадратичної форми і критерій Сільвестра.

– Поняття самоспряженого лінійного оператора, основну теорему про самоспряжені оператори.

– Поняття унітарного лінійного оператора, основну теорему про унітарні оператори (у комплексному та дійсному випадках).

– Поняття мінімального многочлену лінійного оператора. Теорему Жордана.




вміти :

– Виконувати арифметичні дії з комплексними числами. Знаходити геометричну форму даного комплексного числа, обчислювати степені та добувати корені з комплексних чисел.

– Знаходити корені рівнянь третього та четвертого ступеня из комплексними коефіцієнтами.

– Знаходити НСД многочленів, обчислювати лінійне представлення НСД.

– Визначати кратність кореня многочлена.

– Знаходити ряд Штурма для многочлена та відділювати корені многочлена.

– Розкладати раціональну дріб над полем комплексних або дійсних чисел у суму найпростіших дробів.

– Представляти симетричний многочлен як многочлен від найпростіших симетричних многочленів.

– Обчислювати знак підстановки. Розкладати підстановку в добуток незалежних циклів. Розкладати підстановку в добуток транспозицій.

– Обчислювати визначники матриць за допомогою метода Гауса. Вміти розкладати визначник по рядку або стовпцю.

– Обчислювати обернену матрицю до заданої. Вирішувати систему лінійних рівнянь за допомогою правила Крамера.

– Для заданої системи векторів визначати, буде вона лінійно незалежною або лінійно залежною, а також буде чи ні ця система базисом простору.

– Доповнювати задану лінійно незалежну систему векторів до базису простору.

– Обчислювати ранг матриці.

– Вирішувати систему лінійних рівнянь за допомогою метода Гауса.

– Знаходити координати вектора в даному базисі. Знаходити матрицю переходу від одного базису до іншого.

– Знаходити ядро та образ лінійного оператора, що він задається матрицею в деякому базисі. Знаходити власні числа і власні вектори оператора. Відповідати на питання про діагоналізування оператора.

– Ортогоналізувати систему векторів за методом Грама-Шмідта.

– Приводити квадратичну форму над дійсним або комплексним полем до канонічного вигляду за методом Лагранжа.

Визначати, чи буде дана квадратична форма додатно визначеною.

– Приводити матрицю самоспряженого оператора до канонічного вигляду.

– Приводити матрицю унітарного оператора до канонічного вигляду (у комплексному та дійсному випадках).

– Знаходити мінімальний многочлен лінійного оператора.

– Знаходити жорданову форму лінійного оператора.



На вивчення навчальної дисципліни відводиться 378 години / 10.5 кредитів ECTS (1кр.-36 г.)


2. Інформаційний обсяг навчальної дисципліни
Змістовий модуль 1. Дії з комплексними числами.
Комплексні числа, додавання та множення комплексних чисел, властивості цих операцій. Тригонометрична форма комплексного числа. Множення комплексних чисел в тригонометричній формі. Формула Моавра. Добування коренів довільного ступеня із комплексного числа. Корні із одиниці. Рівняння третього ступеня із комплексними коефіцієнтами, метод Кардано.
Змістовий модуль 2. Многочлени і раціональні функції від однієї змінної над полем. Многочлени від декілька змінних над полем.
Многочлени від однієї змінної над полем, додавання та множення многочленів. Ступінь многочлена, її властивості. Ділення многочленів із остачею. НСД многочленів. Алгоритм Евкліда знаходження НСД. Лінійне представлення НСД. Взаємно прості многочлени, їх властивості. Розкладення многочлена на незвідні множники. Корені многочленів. Кратні корені. Теорема Безу. Похідна многочлена, її властивості. Зв’язок кратних коренів многочлена із похідною. Формула Тейлора. Основна теорема алгебри, її наслідки. Поле раціональних функцій від однієї змінної. Канонічний вид раціональної функції над полями дійсних та комплексних чисел. Кільце многочленів від декілька змінних над полем. Старший член многочлена в лексикографічному порядку. Старший член добутку многочленів. Симетричні многочлени. Основна теорема про симетричні многочлени. теорема Вієта.

Змістовий модуль 3. Дії з матрицями і визначниками.
Група підстановок із n елементів. Парність підстановки. Зміна парності при множенні на транспозицію. Знак підстановки. Розкладання підстановки в добуток незалежних циклів. Розкладання підстановки в добуток транспозицій. Означення і властивості визначника. Теорема Лапласа. Розкладання визначника по рядку. Визначник блочно-діагональної та блочно-трикутної матриць. Множення матриць, його властивості. Теорема про визначник добутку матриць. Обернена матриця. Правило Крамера.
Змістовий модуль 4. Лінійні простори. Системи лінійних рівнянь.
Означення і властивості лінійних просторів. Лінійна залежність (незалежність) системи векторів, їх властивості. Максимальні лінійно незалежні системи векторів. Теорема о максимальних лінійно незалежних системах. Базис та вимірність лінійного простору. Координати вектора у базисі. Зміна координат при зміні базису. Підпростір лінійного простору. Лінійна оболонка системи векторів, вимірність лінійної оболонки. Сума лінійних підпросторів лінійного простору. Формула Грасмана. Пряма сума підпросторів. Доповнення до підпростору, пряме доповнення. Системи лінійних рівнянь. Правило Крамера. Теорема Кронекера-Капеллі. Загальна теорія систем лінійних рівнянь. Зв’язок між рішеннями неоднорідної та відповідної однорідної системами лінійних рівнянь.
Змістовий модуль 5. Власні числа і вектори лінійних операторів.
Лінійні оператори. Ядро та образ лінійного оператора. Матриця лінійного оператора. Приклади. Зміна матриці оператора при зміні базису. Власні вектори і власні числа лінійного оператора. Інваріантність характеристичного многочлена при зміні базису. Слід та детермінант лінійного оператора.
Змістовий модуль 6. Лінійні оператори в скінченовимірних евклідових просторах.
Евклідів простір. Нерівність Коши-Буняковського. Норма вектора і її властивості. Матриця Грама скалярного добутку. Зміна матриці Грама при зміні базису. Ортонормовані базиси. Процес ортогоналізації Грама-Шмідта. Загальний вигляд лінійного функціонала в евклідовому просторі. Спряжений оператор. Ядро та образ спряженого оператора. Самоспряжені оператори в евклідових просторах. Унітарні оператори в комплексному та дійсному евклідовому просторі.
Змістовий модуль 7. Квадратичні форми.
Квадратичні форми. Матриця квадратичної форми, її зміна при зміні базису. Метод Лагранжа приведення квадратичної форми до діагонального вигляду. Канонічний вид квадратичної форми в дійсному просторі. Закон інерції квадратичних форм. Розпадаючи квадратичні форми. Додатно визначені квадратичні форми. Критерій Сільвестра.

Змістовий модуль 8. Приведення матриці лінійного оператора до жорданового вигляду.
Мінімальний многочлен лінійного оператора. Критерій діагоналізуємості лінійного оператора. Теорема Жордана.

3. Рекомендована література
1. А.Г.Курош, Курс высшей алгебры, Москва, Наука, 1975.
2. И.М.Гельфанд, Лекции пространство линейной алгебре, Москва-Ленинград, Гостехиздат, 1943.
3. В.А.Ильин, Э.Г.Поздняк, Линейная алгебра, Москва, Наука, 1984.
4. А.И.Кострикин, Ю.И.Манин, Линейная алгебра и геометрия, Москва, Наука, 1986.

4. Форма підсумкового контролю успішності навчання: іспит


5. Засоби діагностики успішності навчання: контрольні роботи та колоквіуми




База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка