Урок № Тема Аналітична геометрія Тема Скалярний, векторний і мішаний добуток векторів



Скачати 35.39 Kb.
Дата конвертації22.04.2017
Розмір35.39 Kb.

Урок №_____________

Тема 2. Аналітична геометрія


Тема 2.2. Скалярний, векторний і мішаний добуток векторів.

Мета уроку. Познайомити учнів з поняттями скалярного, векторного і змішаного добутку векторів та властивостями цих добутків; тренувати увагу, пам'ять, розвивати логічне та професійне мислення, удосконалювати навики використання математичної термінології та символів, розвивати свідому трудову дисципліну, створювати ситуації зацікавленості та позитивні емоції по відношенню до вищої математики; виховувати професійну увагу (зосередженість, активність, стійкість), старанність, зацікавленість дисципліною, прагнення отримувати нові знання самостійно, викликати почуття гордості, інтересу, відповідальності, співпереживання, співчуття, радості, поваги.

План

  1. Скалярний, векторний і мішаний добуток векторів.

1. Скалярний, векторний і змішаний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже:


,

де  — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:



.

Властивості скалярного добутку:

1. . 4. .

2. . 5. якщо і навпаки,

3. . якщо



.

Нехай вектори і задано за допомогою (2.6), тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови маємо:



(3.4)

Отже,

З рівності (2.7) випливає, що:

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є ах bх + ау bу + аz bz = 0.

2. Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:

.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , якщо:

1) довжина вектора , де  — кут між двома векторами;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і


Рис. 3.2
3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.

Властивості векторного добутку:

1. , якщо і — колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:



Знайдемо координати вектора , якщо , .



(3.5)

або


.

Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто .


Рис. 3.3
Розглянемо геометричний зміст змішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 2.9).

Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 2.9). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

. (3.6)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (2.9) маємо умову компланарності трьох векторів .



.

Ураховуючи формули (2.7) і (2.8) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо:



або


.
Властивості мішаного добутку:

1. .



2. .

Закріплення нового матеріалу за змістом лекції

Підсумок уроку

Повідомлення д/з: вивчити конспект, підготуватись до практичної роботи, підручник Клепко В.Ю. Голець В.Л. «Вища математика» § 1.6. – § 1.8.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка