Умовні позначення



Дата конвертації31.12.2016
Розмір0.82 Mb.


Передмова

При вивченні курсу фізики розв’язуванню задач приділяється велика увага. Розв’язування і аналіз задач дозволяє зрозуміти і запам’ятати основні закони і формули фізики, а також створити уявлення про їх характерні особливості і границі їх застосовності. Задачі розвивають навички при вирішенні конкретних питань, що мають практичне і пізнавальне значення. Це необхідно студенту в аудиторній та самостійній роботі, а також у формуванні раціонального підходу до розв’язання задач. Вміння розв’язувати задачі є напевно найкращим критерієм оцінки глибини вивчення теоретичного матеріалу та його засвоєння. Разом з тим, для розв’язання задач недостатньо формального знання фізичних законів. В окремих випадках необхідні знання спеціальних методів, прийомів, загальних для розв’язання окремих груп задач. При відсутності останніх головним стає здатність аналітичного мислення, вміння проявити інтуїцію, винахідливість тощо.

В наведених вказівках теоретичний матеріал, що використовується при розв’язанні задач подається в стислому вигляді, оскільки припускається, що студент більш повну інформацію отримує з підручників, конспекта лекцій тощо.

Усі розв’язання побудовані за планом: складання необхідних рівнянь, розв’язування їх у загальному вигляді, підставлення числових значень.

Оскільки при викладанні фізики нині дається перевага одиницям СІ, то задачі розв’язані саме в цій системі.

УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ

M0 – маса молекули, кгc – питома теплоємність речовини, Дж/(кгК)M – маса речовини, кгQ – кількість тепла, Дж – молярна маса, кг/мольUвнутрішня енергія, Джn – концентрація молекул, м3A12 – робота, Джp – тиск, Па – густина речовини, кг/м3V – об’єм, м3i – число ступенів вільності молекулиT – абсолютна температура, КC – молярна теплоємність речовини, Дж/(мольК)

Основні константи

NA = 6,0220451023  моль1 – число Авогадро;

= R NA = 1,3806621023  Дж/К – стала Больцмана;

=8,31441 Дж/(мольК) – універсальна газова стала.

У задачах часто стан газу порівнюють із станом його за нормальних умов: p0=1,01105 Па (760 мм рт.ст.); T0 = 273 К (00 С); V0=22,4103 м3  (об’єм 1 моля довільного газу за нормальних умов).



ОСНОВНІ ЗАКОНИ І ФОРМУЛИ

1. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії газів

,

де <Ek>=m02>/2 – середня кінетична енергія поступального руху молекули, – середня квадратична швидкість молекули.

З урахуванням того, що середня кінетична енергія <Ek> пропорційна абсолютній температурі T і у випадку одноатомної молекули визначається формулою:

<Ek>=3kT / 2,

рівняння для тиску можна подати у вигляді:



.

У загальному випадку <Ek>=ikT / 2.



Закон Дальтона. Тиск p суміші n газів дорівнює сумі парціальних тисків p, i=1,2,,n кожного із газів, що входять до суміші.

Парціальний тиск газу – це той тиск, який спричиняв би цей газ, якби тільки він знаходився у посудині, зайнятою сумішшю



.

Барометрична формула для обчислення тиску p в залежності від висоти над рівнем моря h:



,

де p0 тиск на рівні моря.



2. Енергія теплового руху молекул (внутрішня енергія) газу

,

де CV=i R/2 – молярна теплоємність газу при сталому об’ємі.

Молярна теплоємність газу при сталому тиску:

.

3. Перший закон термодинаміки

Кількість тепла Q, отримана системою, іде на збільшення її внутрішньої енергії U=U2  U1 і на виконання роботи A12 системою над зовнішнім середовищем

Q=U + A12 ,

де – робота системи при зміні об’єму газу від V1 до V2 .



4. Рівняння Менделєєва-Клапейрона для ідеального газу

.

Поділивши обидві частини рівняння на T маємо:



.

Якщо маса газу не змінюється m=const, то одержуємо формулу Клапейрона:



,

яку для двох станів газу з параметрами p1 , V1 , T1  та p2 , V2 , T2  можна записати у вигляді:



.

За умови незмінної маси m=const та у залежності від значень інших параметрів газу V, p, T розрізняють процеси ізохоричний, ізобаричний та ізотермічний. Вважаючи відповідний параметр сталим із формули Клапейрона одержуємо відомі із шкільного курсу фізики закони.



Ізохоричний процес (V=const). Виконується закон Шарля:

або .

Оскільки об’єм газу не змінюється, то робота системою не виконується A12=0. Перший закон термодинаміки має вигляд:



,

де T=T2  T1 .



Ізобаричний процес (p=const). Виконується закон Гей-Люссака:

або .

Робота при такому процесі:



.

Перший закон термодинаміки має вигляд:



.

Ізотермічний процес (T=const). Виконується закон Бойля–Маріотта:

або .

Оскільки температура, а відповідно і внутрішня енергія газу при ізотермічному процесі не змінюються, перший закон термодинаміки має вигляд:



Q= A12 .

Робота при ізотермічному процесі може бути обрахована за однією із поданих формул:







Адіабатичний процес (Q=0). Процес, що проходить без теплообміну із зовнішнім середовищем називається адіабатичним.

Перший закон термодинаміки має вигляд:



Q= U+A12 =0.

Стан газу описується рівнянням Пуассона:



або , або ,

де =Cp/CV = (i+2)/i – показник адіабати (коефіцієнт Пуассона).

Рівняння Пуассона можна подати ще в іншому вигляді:

або , або ;

або ,

або .

Робота, що виконується при адіабатичній зміні об’єму газу може бути знайдена за формулою.



Приклади розв’язування задач

Задача 1. Знайти масу m повітря в аудиторії висотою h=5 м і площею підлоги S=200 м2, Тиск повітря р=100 кПа, температура в приміщенні t=17 С. Молярна маса повітря µ= 29103 кг/моль.

Дано: h=5 м, S=200 м2, р=100 кПа, t=17 С, µ= 29103 кг/моль. Знайти m.

Розв’язок:

Із рівняння Менделєєва-Клапейрона знайдемо масу враховуючи, що об’єм приміщення дорівнює V=Sh, а абсолютна температура у шкалі Кельвіна дорівнює T=t+273,



кг.

Відповідь: m= 1203 кг.



Задача 2. У скільки разів густина 1 повітря в приміщенні взимку (t1 =7° С) більша за його густину 2 влітку (t2 =37° С)? Тиск газу вважати сталим.

Дано: t1 =7° С, t=37° С, p=const. Знайти 1/2.

Розв’язок:

Із рівняння Менделєєва-Клапейрона pV=mRT/, поділивши обидві його частини на об’єм:



,

знайдемо вираз для густини .

Записавши цей вираз для стану повітря взимку p1 , T1 , 1 і влітку p2 , T2 , 2 , та враховуючи умову p1= p2= p, маємо

, .

Поділивши перший вираз на другий, маємо:



.

Відповідь: 1/2 =1,1.

Задача 3. У закритому балоні об’ємом V=1 м3 знаходиться маса m1=1,6 кг кисню і маса m2=0,9 кг води. Знайти тиск p у балоні при температурі t=500C знаючи, що при цій температурі вся вода перетворилася на пару. Молярна маса кисню µ= µ(О2)= 32103 кг/моль, молярна маса водяної пари µ2 = µ(H2О)= 18103 кг/моль.

Дано: V=1 м3, m1=1,6 кг, m2=0,9 кг, t=500C, µ= µ(О2)= 32103 кг/моль, µ2 = µ(H2О)= 18103 кг/моль. Знайти p.

Розв’язок:

За законом Дальтона тиск p газу у балоні буде дорівнювати сумі парціальних тисків кисню p1 і водяної пари p2 ,



p=p1 + p2 .

Записавши для кожного газу окремо рівняння Менделєєва-Клапейрона з урахуванням того, що V=V1 V2 та T=T1 T2, маємо:



, ,



Па.

Відповідь:  640 кПа.



Задача 4. Знайти масу молекули кисню, масу атома кисню.

Дано: µ(О2)= 32103 кг/моль. Знайти m, m0 .

Розв’язок:

Оскільки молярна маса кисню становить µ(О2)= 32103 кг/моль, а у кожному молі речовини міститься однакова кількість молекул, а саме рівна числу Авогадро NA, то масу однієї молекули кисню О2 знайдемо за формулою:



кг.

Враховуючи, що молекула кисню складається із двох атомів кисню, маса атома кисню буде удвічі менша:



кг.

Відповідь: m= 5,551026 кг, m0  = 2,671026 кг.



Задача 5. Яке число молекул N знаходиться у кімнаті об’ємом V=8м3 при температурі t1=1С і тиску р= 100 кПа?

Дано: V=8м3, t1=1С, р= 100 кПа. Знайти N.

Розв’язок:

Із рівняння Менделєєва-Клапейрона знайдемо, скільки молів m/µ газу міститься у об’ємі кімнати:



.

Враховуючи, що кожен моль речовини складається із NA молекул, маємо:



молекул.

Відповідь: N=21027.



Задача 6. Знайти концентрацію молекул водню у балоні, якщо тиск р=266,6 Па, а середня квадратична швидкість його молекул .

Дано: р=266,6 Па, , µ(Н2)= 2103 кг/моль. Знайти n.

Розв’язок:

Із виразу для тиску



,

де маса однієї молекули; знайдемо концентрацію молекул:



м3.

Відповідь: м3.



Задача 7. Середня квадратична швидкість молекул деякого газу . Тиск газу р=50 кПа Знайти густину газу за таких умов.

Дано: р=50 кПа, . Знайти .

Розв’язок:

За означенням густина газу – це маса одиниці об’єму газу. Тому густину можна знайти знаючи масу однієї молекули m0  і кількість таких молекул у одиниці об’єму, тобто концентрацію n:

= m0 n.

Із рівняння для тиску



виведемо формулу для концентрацію молекул:



.

Отже, для густини знаходимо:



кг/м3.

Відповідь: кг/м3.



Задача 8. Знайти внутрішню енергію U маси m=20 г кисню при температурі t1=17 С. Яка частина цієї енергії припадає на поступальний рух молекул і яка – на обертальний?

Дано: m=20 г, t1=17 С, µ(О2)= 32103 кг/моль. Знайти U, Uпост, Uоберт  .

Розв’язок:

Внутрішню енергію кисню знайдемо за формулою:



.

Оскільки кисень – двохатомний газ, то кількість ступенів вільності i=5. Причому на поступальний рух припадає i=3, на обертальний i=2. Молярна маса кисню µ(О2)= 32103 кг/моль. Підставивши у формулу, маємо:



Дж.

На поступальний рух припадає



Дж,

на обертальний –



Дж.

Відповідь: Дж, Uпост = 2259 Дж, Uоберт  =1506 Дж.



Задача 9. Енергія поступального руху молекул азоту, що знаходиться у балоні об’ємом V=20 л, U=5 кДж, а середня квадратична швидкість його молекул . Знайти масу m азоту у балоні та тиск p, під яким він знаходиться.

Дано: V=20 л, U=5 кДж, , µ(N2)= 28103 кг/моль. Знайти m, p.

Розв’язок:

Енергія поступального руху – це кінетична енергія , звідки:

кг.

Енергію поступального руху можна також записати на основі загальної формули для внутрішньої енергії враховуючи, що поступальних ступенів свободи i=3:



.

Із рівняння Менделєєва-Клапейрона знайдемо тиск



.

Із формули для внутрішньої енергії .

Тоді Па.

Відповідь: кПа.



Задача 10. Знайти питому теплоємність кисню c для а) V=const; б) p=const.

Дано: µ(О2)= 32103 кг/моль. Знайти c.

Розв’язок:

Питома теплоємність – це кількість тепла, яку потрібно передати одному кілограму речовини, щоб збільшити її температуру на один градус. Питома теплоємність пов’язана з молярною теплоємністю виразом c=C/. При сталому об’ємі і сталому тиску цю формулу можна записати відповідно як



cV=CV/, cp=Cp/.

Оскільки кисень – двохатомний газ, то кількість ступенів вільності i=5. Молярні теплоємності дорівнюють:



, .

Тоді


Дж/(кгК),

Дж/(кгК).

Відповідь: c=650 Дж/(кгК), c=910 Дж/(кгК).



Задача 11. Знайти відношення cp/cV для газової суміші, що складається із маси m1=8 г гелію і маси m2=16 г кисню.

Дано: m1=8 г, m2=16 г, µ1(He)= 4103 кг/моль, µ2(О2)= 32103 кг/моль. Знайти cp/c.

Розв’язок:

Внутрішні енергії компонент суміші визначають за такими формулами:



, ,

де i1 i i2 – число ступенів вільності кожного компонента.

Запишемо формулу для визначення внутрішньої енергії суміші газів:

.

З іншого боку



,

де i, m = m1 + m2, – число ступенів вільності, маса і малярна маса суміші газів відповідно.

Порівнюючи праві частини двох попередніх виразів, визначимо число ступенів вільності i суміші газів:

,

,

.

При виведенні останньої формули був використаний той факт, що кількість речовини всієї суміші дорівнює сумі кількостей речовини кожного компонента:



.

Молярні теплоємності дорівнюють:



, .

Їхнє відношення



.

Відповідь: .



Задача 12. Маса m=10 г кисню знаходиться під тиском p=0,3 МПа і температурі t=10 С. Після нагрівання при p=const газ зайняв об’єм V2=10 л. Знайти кількість тепла Q, отриману газом, та енергію теплового руху молекул газу до U1 і після U2 нагрівання.

Дано: m=10 г, p=0,3  МПа, V2=10 л, p=const, t=10 С. Знайти Q, U1 і U2.

Розв’язок:

Кількість тепла, отриманого газом



,

де Cp=29,1 Дж/(мольК) – молярна теплоємність двохатомного газу (кисню) при сталому тиску.

Температуру T2 знайдемо із рівняння стану газу до і після нагрівання:

, ,

звідки . Але . Tому



К.

Таким чином:



Дж.

З урахуванням того, що для двохатомного газу i=5, внутрішня енергія газу до U1 і після U2 нагрівання обчислюється за формулами:



Дж,

Дж.

Відповідь: Дж, Дж, Дж.



Задача 13. У посудині об’ємом V=2 л знаходиться азот під тиском p=0,1  МПа. Яку кількість тепла Q треба передати азоту, щоб: а) при p=const об’єм збільшився вдвічі, б) при V=const тиск збільшився вдвічі?

Дано: V=2 л, p=0,1  МПа, а) при p=const, V2=2V1; б) при V=const, p2=2p1. Знайти Q.

Розв’язок:

а) При p=const маємо . Але , , звідки , або .

Звідки Дж.

б) При V=const маємо .

Але , , звідки

, або .

Звідки Дж.

Відповідь: а) Q=700 Дж; б) Q=500 Дж.

Задача 14. У закритому балоні об’ємом V=2 л знаходиться азот, густина якого =1,4 кг/м3. Яку кількість тепла Q треба передати азоту, щоб нагріти його на Т = 100 К?

Дано: V=2 л, =1,4 кг/м3, Т = 100 К, µ(N2)= 28103 кг/моль. Знайти Q.

Розв’язок:

Оскільки об’єм азоту не змінюється, кількість тепла можна знайти за формулою . Враховуючи, що m=V, маємо:



Дж.

Відповідь: Q=208 Дж.



Задача 15. Для нагрівання деякої маси газу на t1 =50 С при p=const необхідно витратити кількість тепла Q1=670 Дж. Якщо ту ж саму масу газу охолодити на t2 =100 С при V=const, то виділиться кількість тепла Q2=1005 Дж. Яке число ступенів свободи i мають молекули цього газу?

Дано: a) t1 =50 С, p=const, Q1=670 Дж; б)t=100 С, V=const, Q2=1005 Дж. Знайти i.

Розв’язок:

Число ступенів свободи однозначно пов’язане з відношенням молярних теплоємностей, а саме як:

,

тому .



Записавши формули для кількості тепла, що передається газу (чи відбирається від нього) при сталому тиску і сталому об’ємі:

, ,

і поділивши першу формулу на другу, маємо:



, .

Звідки:


.

Відповідь: .



Задача 16. Маса m=10 г азоту знаходиться у закритому балоні при температурі при t1 =7 С. Яку кількість тепла треба передати азоту, щоб збільшити середню квадратичну швидкість його молекул удвічі? У скільки разів при цьому зміниться температура газу? У скільки разів зміниться тиск газу на стінки балона?

Дано: m=10 г, µ(N2)= 28103 кг/моль, t1 =7 С, . Знайти Q, T2/T1, p2/p.

Розв’язок:

Оскільки процес проходить при сталому об’ємі, то все тепло іде на збільшення внутрішньої енергії. Тому:



.

Температура і середня квадратична швидкість однозначно зв’язані між собою формулою:



.

Записавши цю формулу для двох станів газу:



, ,

і враховуючи умову, що , маємо



, або .

Звідки:


Для ізохорного процесу:



,

тому:


, або .

Відповідь: Q=6240 Дж, T2/T1 4, p2/p1 = 4.



Задача 17. Обсерваторія розташована на висоті h=3250 м над рівнем моря. Знайти тиск p повітря на цій висоті. Температуру повітря вважати сталою і рівною t =5 С. Молярна маса повітря µ = 29103 кг/моль. Тиск повітря на рівні моря р0= 101,3 кПа.

Дано: h=3250 м, t =5 С, µ = 29103 кг/моль, р0= 101,3 кПа. Знайти p.

Розв’язок:

Скориставшись барометричною формулою:



Відповідь: p=67,9 кПа.



Задача 18. На якій висоті h густина газу вдвічі менша, ніж його густина на рівні моря? Температуру газу вважати сталою і рівною t =0 С. Задачу розв’язати для: а) повітря; б) водню.

Дано: а) µ = 29103 кг/моль, б) µ = 2103 кг/моль, t =0 С, 1=22 . Знайти h.

Розв’язок:

У барометричній формулі тиск виразимо через густину =m/V газу скориставшись рівнянням Менделєєва-Клапейрона:



, .

Одержаний вираз для тиску підставимо у барометричну формулу:



,

і після скорочення маємо формулу для залежності густини газу від висоти:



.

Оскільки за умовою , маємо:



.

Звідки: , або .

Тоді, для повітря (µ = 29103 кг/моль):

м,

для водню (µ = 2103 кг/моль):



м.

Відповідь: м, м.



Задача 19. Знайти середню довжину вільного пробігу , молекул повітря за нормальних умов. Діаметр молекул повітря d = 0,3 нм.

Дано: р =1,01.105 Па, Т = 273 K, d = 0,3.10-9 м. Знайти .

Розв’язок:

Середня довжина вільного пробігу знаходиться за формулою



.

Із формули для тиску р = n k T знайдемо концентрацію і, підставивши у формулу для , маємо



.

Відповідь: = 93 нм.



Задача 20. Знайти середню кількість зіткнень за одиницю часу молекул вуглекислого газу при температурі t =100С, якщо середня довжина вільного пробігy = 870 мкм.

Дано = 870 10-6м, Т = 273 + 100 = 373 К, µ = µ(С02 )= 44.10-3 кг/моль. Знайти .

Розв’язок:

Середня кількість зіткнень за одиницю часу знаходиться за формулою



,

де – середня арифметична швидкість. Тому



.

Відповідь: =4,9105 с1.



Задача 21. У скільки разів зменшиться число зіткнень за одиницю часу молекул двохатомного газу, якщо об'єм газу адіабатично збільшити у 2 рази?

Дано: V2 = 2V1, , і = 5 . Знайти .

Розв’язок:

Оскільки середня кількість зіткнень за одиницю часу знаходиться за формулою



,

де – середня арифметична швидкість, а – середня довжина вільного пробігу. Тому



.

Записавши цей вираз для двох станів газу



.

і взявши їх відношення, маємо



.

При адіабатичному розширенні зв'язок між температурами і об'ємами обчислюється за формулою



,

де  – показник адіабати, який для двохатомного газу (і = 5) дорівнює  = 1,4. Тому

.

Оскільки при збільшенні об’єму у два рази, концентрація молекул відповідно зменшиться у два рази, то n2= n1/2. У результаті маємо



.

Відповідь: 2,3 рази.



Задача 22. При деякомy тиску і температурі t= 0° С середня довжина вільного пробігу молекул кисню = 95 нм. Знайти середне число зіткнень за одиницю часу молекул кисню, якщо при тій же температурі тиск кисню зменшити у 100 разів?

Дано: = 9510-9 м, Т= 273 К, р2 = р1 /100. Знайти .

Розв’язок:

Оскільки середня кількість зіткнень за одиницю часу знаходиться за формулою



,

де – середня арифметична швидкість,

а – середня довжина вільного пробігу.

Тому для двох станів газу р1, р2 = р1 /100



.

Звідки


.

У результаті



с-1.

Відповідь: =4,5107 с-1.



Задача 23. Знайти середній час між двома послідовними зіткненнями молекул азоту при тиску р=133 Па і температурі t = 10С.

Дано: р= 133 Па, Т= 273 + 10 = 283 К, µ = µ(N2) = 

=28103 кг/моль. Знайти .

Розв’язок:

Знайдемо час, за який молекула подолає відстань, що дорівнює довжині вільного пробігу

,

довжина вільного пробігу,

– середня арифметична швидкість,

.

Звідки


.

Відповідь: =1,6107 с1.



Задача 24. Який тиск р треба створити всередині сферичної посудини, щоб молекули не зіштовхувапись між собою, якщо діаметр посудини: a) D = 1 см; б) D=10 см; в) D= 100 см. Діаметр молекул газу d = 0,3 нм. Температура Т= 273 К.

Дано: d=0,3109 м, Т= 273 К, а) D= 0,01 м; б) D= 0,1 м; в) D=1 м. Знайти р.

Розв’язок:

Щоб молекули не зіштовхувались між собою необхідно щоб довжина вільного пробігу була не меншою, ніж геометричні розміри посудини, тобто щоб виконувалась умова .

Тоді , звідки випливає, що

.

Відповідно для випадків а), б), в) маємо



;

Па;

.

Відповідь: а) p 943 мПа; б) p 94,3 мПа; в) p 9,43 мПа.



Задача 25. Маса m=10 г кисню знаходиться під тиском р= 300 кПа і температурі t1 =10° С. Після нагрівання при р = const газ зайняв об’єм V2 =10 л. Знайти кількість тепла Q, отриману газом, зміну внутрішньої енергії газу U та роботу А, виконану газом при розширенні.

Дано: m=10103кг, р= 3105 Па, Т1 = 273+10 = 283 К,



V2 =10103м3, µ= µ(О2)= 32103 кг/моль. Знайти Q, U, A.

Розв’язок:

Кількість тепла при ізобаричному процесі обчислюють за формулою

,

де Сp – молярна теплоемність газу при р=const, для двохатомного газу Сp = 29,1 Дж/(мольК).



Згідно з першим законом термодинаміки

Q=U+A,

де U зміна внутрішньої енергії,



А = pV – виконана робота.

Із рівняння Менделеєва-Клапейрона



.

Тоді


а .

Об'єм V, що займав газ на початку процесу знайдемо із рівняння Менделеєва-Клапейрона



.

Тоді




,



Перевірка: Q=U+A = 5,66103+2,27103 = 7,93103 Дж.

Відповідь: Q= 7,93 кДж, U = 5,66 кДж, А= 2,27 кДж.

Задача 26. У закритій посудині знаходиться маса m1 = 20 г азоту і маса m2 = 32 г кисню. Знайти зміну внутрішньої енергії суміші газів U при охолодженні її на Т = 28 К.

Дано: m1 = 20103кг, µ= µ(N2) = 28103 кг/моль, m2 = 32103кг, µ= µ(О2) = 32103 кг/моль. Т = 28 К. Знайти U.

Розв’язок:

Оскільки робота не виконується, то все тепло йде на збільшення внутрішньої енергії



Q=U=U1+U2 ,

де U1 і U2 – зміна внутрішньої енергії азоту і кисню відповідно. Тоді





.

Відповідь: .



Задача 27. Двохатомному газу надана кількість тепла Q= 2,093 кДж. Газ розширюється при р=const. Знайти роботу А, виконану газом при розширенні.

Дано: і= 5, Q= 2,093103 Дж. Знайти А.

Розв’язок:

Згідно з першим законом термодинаміки



Q=U+A,

де U зміна внутрішньої енергії,



А = pV – виконана робота,

–кількість тепла при ізобаричному процесі.

Із рівняння Менделеєва-Клапейрона



.

Тоді


,

а

.

Відповідь: А = 598 Дж.

Задача 28. У посудині під поршнем знаходиться маса m=1 г азоту. Яку кількість тепла Q треба витратити, щоб нагріти азот на Т = 10 К? На скільки при цьому підніметься поршень? Мaca поршня М=1 кг, площа його поперечного перерізу S=10 см2. Тиск над поршнем р= 100 кПа.

Дано: m = 1103кг, µ = µ(N2) = 28103 кг/моль, Т = 10 К, S=10104 м2, р= 105 Па. Знайти Q, h.

Розв’язок:

Кількість тепла при ізобаричному процесі обчислють за формулою



,

де Сp – молярна теплоємність газу при р=const, для двохатомного газу Cp = 29,l Дж/(мольК).



.

Згідно з першим законом термодинаміки частина цього тепла йде на збільшення внутрішньої енергії газу U, a частина – на виконання роботи А



Q=U+A.

Обчисливши U



знаходимо роботу



.

Необхідно врахувати, що робота А складається із роботи зі зміни об'єму А1 = pV та роботи проти сил тяжіння при підйомі поршня на висоту h, А2 = Fh.

Тому

.

Звідки



.

Відповідь: h = 2,7 cм.



Задача 29. Маса m=10,5 г азоту ізотермічно розширяється при температурі 23С, причому його тиск змінюється від р= 250 кПа до p2 =100 кПа. Знайти роботу А, яку виконує газ при розширенні.

Дано: m=10,5103 кг, µ = µ(N2) = 28103 кг/моль, 23 +273 = 250 К, р1= 2,5105 Па, р2= 105 Па. Знайти А.

Розв’язок:

При ізотермічному розширенні роботу обчислюють за формулою



Відомо, що пpи t=const



тому


Відповідь: А = 714 Дж.



Задача 30. При ізотермічному розширенні газу, який займав об’єм V1 = 2 м3, тиск його змінюється від р= 0,5 МПа до p2 =0,4 кПа. Знайти роботу А, яку виконує газ при розширенні.

Дано: V1 = 2103 м3, р1 = 0,5106 Па, р2=0,4106 Па. Знайти А.

Розв’язок:

При ізотермічному розширенні роботу обчислюють за формулою



Враховуючи рівняння Менделеєва-Клапейрона



маємо


Відповідь: А = 223 кДж.



Задача 31. До якої температури t2 охолоне повітря, яке знаходиться при t1 = 0С, якщо воно розширюється адіабатично від об’єму V1 до V2 = 2 V1?

Дано: Т1 = 273 К, V2 = 2V1. Знайти Т2 .

Розв’язок:

При адіабатичному процесі



де  = (і + 2)/і =1,4 – показник адіабати для двохатомного газу, і = 5 – число ступенів вільності.

Тому

Звідки T2=T1/20,4=20,4273=207 K.

Відповідь: Т2 = 207 К.

Задача 32. Газ розширюється адіабатично, причому його об'єм збільшується вдвічі, а термодинамічна температура спадає у 1,32 рази. Яку кількість ступенів вільності і мають молекули цього газу?

Дано: V2 = 2 V1 , Т2 = Т1/1,32. Знайти і.

Розв’язок:

Оскільки число ступенів вільності і однозначно пов’язане із показником адіабати формулою  = (і + 2)/і, спочатку знайдемо саме цей показник.

При адіабатичному процесі

Тому .

Враховуючи умову

,

маємо


або

Звідки


Знаходимо і



Відповідь: і = 5.



Задача 33. Один кіломоль азоту, який знаходиться при нормальних умовах, розширюється адіабатично від об'єму V1 до V= 5V1 . Знайти зміну внутрішньої енергії U газу і роботу А, яку виконав газ при розширенні.

Дано: = m/µ=1000, р1=1,01105 Па, T1 = 273 К, V2 = 5V1 . Знайти U, A.

Розв’язок:

При адіабатичному процесі Q=U+A = 0. Тому U = . Зміну внутрішньої енергії обчислимо за формулою



,

де СV = 20,8 Дж/(мольК) – молярна теплоємність двохатомного газу при сталому об'ємі. m/ = 1000 – кількість молів за умовою задачі.

Із рівняння адіабати у формі TV1 = const знайдемо Т2



Підставивши у формулу для внутрішньої енергії, маємо



Відповідно робота дорівнює



Відповідь: , .



Задача 34. Необхідно стиснути повітря від об'єму V10 л до V2 л. Як вигідніше його стискати (адіабатично чи ізотермічно)?

Дано: V10103 м3, V2103 м3. Знайти AQ=0 /АT=const .

Розв’язок:

Робота при ізотермічному стисканні



Робота при адіабатичному стисканні



Взявши відношення робіт у цих процесах та враховуючи, що для повітря = 1,4, маємо



Відповідь: ізотермічне стискання вигідніше, томy що робота у 1,4 рази менша, ніж при адіабатичному стисканні.



Задача 35. Масa m=10 г кисню, який знаходиться при нормальних умовах, стискаеться до об'єму V2 =1,4 л. Знайти тиск p2 і температуру t2 кисню після стискання, якщо кисень стискається: а) ізотермічно; б) адіабатично. Знайти роботу А стискання у кожному з цих випадків.

Дано: m=1010кг, µ = µ(О2) = 32103 кг/моль, T1=273 К, р1= 1,01105 Па, V1,4103 м3. Знайти р2, T2, А.

Розв’язок:

а) При ізотермічному процесі Т1 = Т2 = 273 К. Тиск після ізотермічного стискання знайдемо із рівняння Менделеєва-Клапейрона



Роботу обчислимо за формулою



б) Об’єм кисню до адіабатичного стискання знайдемо із рівняння Менделеева-Клапейрона



Тиск у кінці адіабатичного стискання знайдемо із рівняння адіабати



Температуру можна знайти із рівняння адіабати



,

або із рівняння Менделеєва-Клапейрона

Скориставшись останнім, маємо

Роботу обчислимо за формулою



Відповідь: а) T2 = 273 К, p2 = 506 кПа, 1142 Дж;

б) T2 = 518 К, p2 = 961 кПа, 1600 Дж.

Задача 36. У скільки разів збільшиться довжина вільного пробігу молекул двохатомного газу, якщо його тиск зменшиться вдвічі при розширенні газу: а) ізотермічно, б) адіабатично?

Дано: p2 = p1/2, і = 5. Знайти .

Розв’язок:

Довжина вільного пробігу обчислюється за формулою



яку з урахуванням рівняння для тиску p=nkT можна подати у вигляді



Для двох станів газу р1 , Т1 та р2 , Т2 довжини вільного пробігу відповідно мають значення



Взявши відношення цих довжин, отримаємо формулу



.

а) при ізотермічному процесі Т1 = Т2, тому





;

б) при адіабатичному процесі



або

Підставивши цю формулу у відношення довжин вільного пробігу і враховуючи, що для двохатомного газу (і=5) =1,4 остаточно знаходимо





.

Відповідь: а) ; б) .



Задача 37. Маса одного кіломоля вуглекислого газу m=44 кг. Визначити густину вуглекислого газу за нормальних умов. Визначити масу однієї молекули вуглекислого газу.

Дано: m=44 кг, V=22,4 м3, µ 44103 кг/моль. Знайти , m0 .

Розв’язок:

За нормальних умов один кіломоль вуглекислого газу CO2 займає об'єм V=22,4 м3. Тоді густина газу =m/V=44/22,4=1,96 кг/м3.

У одному молі міститься NA = 6,0220451023  молекул. У кіломолі відповідно у 1000 разів більше молекул. Отже на долю однієї молекули припадає маса:

кг.

Відповідь: кг/м3, кг.



Задача 38. Скільки молекул газу міститься у балоні місткістю V=60 л при температурі T=300 K і тиску р= 5103 Па?

Дано: м3, К, Па. Знайти N.

Розв’язок:

Число молекул в одиниці обєму газу при температурі T і тиску p визначається із формули p=nkT. Звідки n=p/kT. У обємі V число молекул:



.

Задачу можна розвязати іншим способом. Відомо, що у одному молі міститься число Авогадро молекул, тобто . Тому число молекул у балоні . Кількість молів визначимо із рівняння Менделеєва–Клапейрона , а врахувавши, що , маємо:



.

Відповідь: .



Задача 39. Оцінити наближено розмір атома ртуті. Молярна маса ртуті µ = 200,6103 кг/моль.

Дано: кг/моль. Знайти r.

Розв’язок:

Маса одного атома ртуті . Наближено об’єм одного атома



,

де кг/м3 – густина ртуті. Тоді наближений розмір атома:



м.

Відповідь: м.



Задача 40. Визначити середню квадратичну швидкість молекул газу, густина якого при тиску р=0,5105 Па, становить =4,1102 кг/м3.

Дано: р=0,5105 Па, =4,1102 кг/м3. Знайти .

Розв’язок:

Згідно з основним рівнянням кінетичної теорії тиск дорівнює:



.

Оскільки за означенням густина – це маса одиниці обєму, то можна записати, що =nm0 . Тоді .

Звідки м/с.

Відповідь: м/с.



Задача 41. У кімнаті обємом V=60  м3 випарували краплину парфумів, яка містила m=104 г пахучої речовини, молярна маса якої µ = 1 кг/моль. Скільки молекул пахучої речовини потрапляє у легені людини при кожному вдиханні (обєм легенів людини V0=1 л).

Дано: V=60 м3, m=104 г, µ = 1 кг/моль, V0=1 л. Знайти n.

Розв’язок:

У обємі V кімнати міститься N молекул пахучої речовини:



.

У обємі V0 легень людини міститься молекул пахучої речовини. Склавши пропорцію:



і розвязавши її відносно n маємо:



.

Відповідь: .



Задача 42. Балон з киснем під тиском р1=106 Па стояв у приміщенні при температурі T1=300 K. Потім балон винесли на вулицю і підключили до газозварювального апарату. Яку частину кисню витратили при зварюванні, якщо після закінчення роботи тиск у балоні дорівнює р2= 5105 Па, а температура на вулиці T2=250 K?

Дано: р1=106 Па, T1=300 K, р2= 5105 Па, T2=250 K. Знайти n.

Розв’язок:

Витрачена частина кисню x дорівнює , де – відповідно початкова і кінцева маси кисню в балоні. Відношення знайдемо записавши рівняння Менделєєва-Клапейрона для кінцевого і початкового станів кисню у балоні:



, .

Поділивши ці дві рівності почленно, знайдемо



.

Звідки .

Відповідь: .

Задача 43 Визначити густину суміші, яка містить m1 =4 г водню і m2 =32 г кисню при температурі T=280 K і загальному тиску р= 105 Па.

Дано: кг, кг, T=280 K, р= 105 Па. Знайти .

Розв’язок:

Густина суміші газів дорівнює .

Згідно до закона Дальтона:

,

де кг/моль, кг/моль – молярні маси водню і кисню відповідно.

Тоді знайшовши об'єм суміші газів:

,

для її густини маємо:



кг/м3.

Відповідь: кг/м3.



Задача 44. Водень, що зберігається у балоні об'ємом V=100 л під тиском р= 107 Па, використовують для заповнення метеорологічних куль-зондів, повинен мати підіймальну силу F=20 H. Скільки куль можна заповнити воднем з одного балона? Температура водню у балоні і кулях дорівнює температурі навколишнього повітря T=300 K. Молярна маса водню µ1= 2103 кг/моль, молярна маса повітря µ2= 29103 кг/моль.

Дано: V=0,1 м3, p=107 Па, F=20 Н, T=300 К, кг/моль, кг/моль. Знайти n.

Розв’язок:

При атмосферному тиску p0 водень займає об'єм V0 , а при тиску p=107 Па його об'єм V. Із рівняння p0 V0 pV знайдемо об'єм V0 водню при атмосферному тиску V0 pV/p0. Куля з таким об'ємом V0 мала б підіймальну силу:



,

де 1, 2 – густини водню і повітря відповідно.

Враховуючи рівняння Менделєєва-Клапейрона:

, ,

для густин і маємо:



, .

Тому підіймальна сила F0 дорівнює:



,

Н.

Кількість куль дорівнює n=F0/F=100/20=5.

Відповідь: n=5.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1-3. – М.: Наука, 1989.

2. Зисман Г. А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т. 1-3. – М.: Наука, 1994.

3. Дущенко В. П., Кучерук І. М. Загальна фізика. Фізичні основи механіки, молекулярної фізики і термодинаміки. – К.: Вища школа, 1993.

4. Богацька І. Г., Головко Д. Б., МаляренкоД. А., Ментковський Ю. Л. Загальні основи фізики. Т. 1-2. – К.: Либідь, 1995.

5. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 1990.




ЗМІСТ

Стор.


ПЕРЕДМОВА……..………………………………………………...
УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ……...……………………………….…
ОСНОВНІ КОНСТАНТИ……...……………………………….…
ОСНОВНІ ЗАКОНИ І ФОРМУЛИ……………………………....
ПРИКЛАДИ РОЗВЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ……………………..…
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ………………………………………….

3
4
4


5
8
37




База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка