Тема. Постулат и квантово



Скачати 157.67 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір157.67 Kb.

Лекція 3.

Тема. Постулати квантової механіки.



Мета. Освоїти поняття оператори основних фізичних величин. Вивчити основні закони (постулати) квантової механіки.

План.

  1. Оператори основних фізичних величин.

  2. Комутація операторів і узагальнений вираз невизначеностей Гейзенберга.

  3. Постулати квантової механіки.


1. Оператори основних фізичних величин.

Подібно до того, як у класичній механіці властивості системи можуть бути виражені заданням координат та імпульсів всіх частинок, так і в квантовій механіці оператори різних фізичних величин виражають з домогою операторів координат та імпульсів. Оператор координати є просто координата, і його дія на будь-яку функцію полягає в множенні її на вектор r, що визначається координатами х, у і z, тобто:



або

Оператор імпульсу р визначається через оператори його проекцій (наприклад, на декартові осі координат):







Функція від будь-яких динамічних змінних А(р, q) замінюється на оператор Ấ(р, q), який отримують із класичного виразу цієї функції заміною р, q на відповідні оператори:

Наприклад оператор кінетичної енергії електрона легко отримати, замінивши в класичному виразі:



компоненти імпульсу рх, ру, рz відповідними операторами:



Або ввівши позначення Δ - оператор Лапласа:

Отримаємо:


Потенціальна енергія V(q, ґ) є функцією тільки координат і часу, внаслідок чого оператор V виражають через оператори координат за тими ж формулами, що і потенціальна енергія в класичній механіці. Наприклад, оператор потенціальної енергії взаємодії електрона з ядром заряду Z рівний:


Повна енергія Е класичної системи рівна сумі кінетичної Т і потенціальної V енергій. Аналогічно, в квантовій механіці оператор повної енергії Н (оператор Гамільтона або гамільтоніан системи) сума операторів кінетичної і потенціальної енергій. Наприклад, для одноелектронного атома:





Із правил побудови операторів динамічних змінних видно, що квантовій механіці принципово необхідна класична для своєї побудови і обгрунтування.


2. Комутація операторів і узагальнений вираз невизначеностей Гейзенберга.

Уявимо, що квантова система знаходиться в деякому стані, що характеризується хвильовою функцією ψ. Припустимо також, що в цьому стані можливе одночасне вимірювання фізичних величин А і G. З чого випливає, що обом операторам Ā і Ĝ відповідає одна і та ж власна функція ψ та власні значення а і g відповідно:



Подіємо на ліве рівняння оператором G, а на праве А:



Врахуємо, що ψ є власною функцією для обох операторів:



Віднімемо від лівого рівняння праве:



Вираз в дужках є коммутатор операторів Ā і Ĝ. Оскільки хвильова функція відмінна від нуля, равність виконується тільки в тому випадку, якщо коммутатор рівний нулю: [Ā Ĝ] = 0. Звідки можна зробити важливий висновок:



дві фізичні величини можуть бути виміряні одночасно з будь-яким наперед заданим ступенем точності в тому випадку, якщо їх оператори коммутують.

Розглянемо, для яких операторів квантової механіки виконується коммутаційне співвідношення. Очевидно, що



і т.д.




Оператори імпульсу р і координати r не є коммутуючими. Дійсно:



Аналогично,

Відсутність коммутації операторів p и r між собою відображає саме ті обставини, що координата та імпульс однієї і тієї ж частини не можуть бути одночасно виміряні з будь-яким наперед заданим ступенем точності. Таким чином, дані співвідношення є другою математичною формою принципу невизначеності.

В загальному випадку можна записати, що якщо [Ā Ĝ] = iĈ, то невизначеності у величинах A і G, що задають як ΔA = 2> - 2 і ΔG = 2> -2 , задовольняють співвідношення:

ΔA ΔG (1/2) <С>

Цей вираз, суть загального формулювання співвідношення невизначеностей Гейзенберга, з якого легко отримати як традиційну (Δp Δx > ħ/2), так і інші форми відомої нерівності.

Відмітимо одну цікаву обставину. Навіть якщо оператори Ā і Ĝ не коммутують, очікуване значення оператора Ĉ, що визначається за рівнянням:

може дорівнювати нулю. В цьому випадку дві фізичні величини виміряні з будь-яким ступенем точності. Таким чином, умова коммутації двох операторів достатня, але не необхідна ознака можливості точного і одночасного вимірювання відповідних цим операторам фізичних величин.




3. Постулати квантової механіки.

Постулат I. Про хвильову функцію.

Будь-який стан системи повністю описується деякою функцією ψ(q1, q2, ..., qn, t) від координат всіх частин, що утворюють систему і часу, що називається функцією стану системи або її хвильовою функцією.

Постулат II. Про спосіб опису фізичних величин. Кожній динамічній змінній (координата, імпульс, енергія і т.д.) ставиться у відповідність лінійний самоспряжений оператор. Всі функціональні співвідношення між
величинами класичної механіки в квантовій механіці замінюються відношеннями між операторами.

Постулат III. Про основне рівняння квантової механіки. Функція стану повинна задовільняти рівняння




Це рівняння не може бут виведене, воно постульоване Шредінгером (1926) і відоме як рівняння Шредінгера.

В звичайних задачах структурної хімії і молекулярної фізики, при інтерпретації реакційної здатності і фізичних властивостей молекул важливі тільки так звані стаціонарні стани системи, тобто стани, що не залежать від часу. При їх описанні вважається, що гамільтоніан не залежить від часу. Тоді в приведеному рівнянні можна розділити змінні, показавши хвильову функцію ψ(q,t) у вигляді добутку координатної ψ(q) і часової Ф(t) частин: ψ(q,t) = ψ(q)∙Ф(t)





Неважко помітити, що обидві частини рівняння рівні постійній величині, що є власним значенням оператора Гамільтона, тобто повній енергії квантової системи. Звідки отримаємо знамените стаціонарне рівняння Шредінгера:



Це лінійне дифференціальне рівняння другого порядку.



Друге рівняння має розв’язок Ф(t) = Ф0∙ехр(-iEt/ħ).

В рівнянні Шредінгера для стаціонарних станів гамільтоніан - лінійний самоспряжений оператор - завжди має повну систему власних функцій ψ(q1), кожній із яких відповідає власне значення Еі. Якщо одне власне значення відповідає декільком (m) власним функціям, то даний стан називають виродженим з кратністю виродження, рівною т. (Забігаючи вперед, можна навести приклад: 3р- орбіталі атома азоту мають одну і ту ж енергію, тобто кратність виродження даного стану рівна 3).

Функції ψі і ψJ, що відносяться до різних власних значень Е1 и Ej, ортогональні, тобто виконується співвідношення:



Умова одночасної ортогональності і нормованості (або, як кажуть, ортонормованості) функцій ψі (і = 1, 2, ...,) записується наступним чином:










Постулат IV. Про можливі значення фізичних величин.



Єдино можливими значеннями, які можуть бути отримані при вимірюванні динамічної змінної А, є власні значення Ā операторного рівняння:

Постулат V. Про середнє значення фізичної величини.



Среднє значення фізичної величини <А>, що має квантово-механічний оператор Ā, в стані ψ визначається співвідношенням:

Среднє значення повної енергії системи в стані ψ рівне:



Нехай набір ортонормованих функцій ψі (і = 1, 2, ...,) утворює повну систему власних функцій оператора Ĥ, тобто



Розкладемо ψ в ряд за функціями цієї системи:



де cі=∫Ψ*Ψdq. Враховуючи ортонормованість системи, отримаємо вираз для очікуваного середнього значення Ē:



Аналогічно для будь-якого оператора Ā, у якого система власних функцій співпадає з системою власних функцій гамільтоніана, тобто ψі є рішеннями рівняння



середнє значення Ā рівне:



Для коефіцієнтів ci виконується співвідношення:



Що означає умову нормування ψ при розкладі за ортонормованим базисним набором. Це дозволяє інтерпретувати |cі|2 як ймовірність того, що в результаті окремого вимірювання величини А, буде отримане значення Аі, що відповідає власні функции ψі. Якщо ψі співпадає з одною із функцій ψі, тоді






З цього випливають два важливі висновки:

1) в квантовій механіці фізична величина має визначене значення в даному стані ψ тільки в тому випадку, коли хвильова функція, що описує стан системи, є власною функцією оператора, що відповідає даній фізичній величині;

2) якщо два оператори (в нашому випадку Ĥ і Ā) мають однакову систему власних функцій, то вони можуть одночасно мати визначенні значення, тобто бути одночасно виміряними з будь-якою заданою точністю.

Постулат VI. Принцип суперпозиції.



Якщо система може знаходитися в станах, що описуються хвильовими функціями ψ1 і ψ2, то вона може знаходиться і в стані:

де С1 і С2 - довільні константи, які за умови ортонормованості ψ1 і ψ2 знаходять із співвідношення



Цей постулат відомий під назвою принципу суперпозиції. З постулату V випливає, що функція ψ описує такий стан, при якому система знаходиться або в стані ψ1 з ймовірністю, рівною С12, або в стані ψ2 з ймовірністю С22 .

Постулат VII. Про антисиметричність хвильової функції.

Хвильова функція системи частинок з половинним спіном (електронів) повинна бути антисиметрична відносно перестановки координат будь-яких двох частин:






Література:

1. Слета Л.А., Иванов В.В. Квантовая химия. – Харьков: Фолио, 2007. - 476 с.

2. Боженко К.В. Основы квантовой химии - М.: Российский университет дружбы народов, 2010. - 128 с.

3. Вакарчук I. О. Квантова механiка : пiдручник / I. О. Вакарчук. - 4-те вид., доп.- Львiв : ЛНУ iменi Iвана Франка, 2012. - 872 с.

4. Черановський В.О., Іванова К.Ф. Основи будови речовини. Навчальний посібник для студентів хімічного факультету – Харків: ХНУ, 2003. -121 с.

5. Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. - К.: Либідь.


Запитання для самоконтролю.

  1. В чому суть поняття невизначеності?

  2. Які постулати квантової хімії пам’ятаєте?

  3. В чому суть принципу суперпозиції?

  4. Як виводиться стаціонарне рівняння Шредінгера і коли застосовується?


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка