Тема. Основн



Скачати 179.36 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір179.36 Kb.


Лекція 3.

Тема. Основні поняття квантової механіки.



Мета. Розглянути принцип невизначеності та ознайомитися з поняттями: хвильова функція, оператори та їх властивості.
План.

  1. Принцип невизначеності.

  2. Хвильова функція.

  3. Поняття про оператори.

  4. Власні функції і власні значення операторів.


Вступ.

Глибоке протиріччя класичної механіки з експериментальними даними (при вивченні мікросвіту) свідчить про те, що побудова теорії, яку б можна використовувати до атомних явищ, а саме явищ, що відбуваються з частинками дуже малої маси в дуже малих ділянках простору, - вимагає фундаментальних змін в основних класичних уявленнях і законах. Навіть вимірювання властивостей об’єктів мікросвіту повинні бути принципово новими. Визначаючи масу деякого фізичного тіла, ми врівноважуємо силу, з якою тіло діє на чашку вагів, з силою тяжіння різноважки, що діє на другу чашку. При взаємодії тіла з приладом (вагами) саме тіло і його властивості залишаються незмінними. Дія вимірювального пристрою на квантовий об’єкт завжди больша кванту дії, при цьому властивості вимірюваної частинки змінюються, що робить беззмістовну саму процедуру. Наприклад, визначити траєкторію руху мікрочастинки, якщо будь-яка енергетична дія на неї змінює характер руху цієї частинки, а значить і траєкторію?!




  1. Принцип невизначеності.

Квантова механіка, якій підпорядковуються атомні явища, повинна ґрунтуватися на уявленнях про рух, що принципово відрізняється від уявлень класичної механіки. В квантовій механіці не існує поняття траєкторїі частинок (тобто сокупності визначених значень координати і швидкості фізичного об'єкта). Ці обставини є змістом так званого принципу невизначеності (або співвідношення невизначеності) - одного з основних принципів квантової механіки, відкритого Гейзенбергом.

Один з найпоширеніших математичних виразів принципу невизначеності можна записати так:



де під невизначеностями Δр та Δх розуміють середньоквадратичне відхилення імпульсу p=mv і координати від їх середніх значень.

Фізична інтерпретація цього співвідношення полягає в тому, що не існує такого стану, в якому координата та імпульс частинки мають одночасно точні значення. Масштаб цих невизначеностей задається сталою Планка h.

Дане твердження, очевидно, застосовують тільки для мікрочастинок. Наприклад, для об’єкту з абсолютно точно відомою массою (точність вимірювання найсучасніших аналітичних ваг ~ міліонної частки грама), що рухається зі швидкістю, виміряною з високою точністю (припустим, 1 мм/с), невизначеність розміщення в просторі складає 3,3∙10-21 мм. Це настільки мала величина, що можна говорити про абсолютно точне місцезнаходження об’єкта. Приведений приклад показує, що класична механіка є окремим випадком квантової механіки.

Принцип невизначеності має важливе значення, тому що багато задач, які розглядаються у квантовій механіці, можуть бути отримані та зрозумілі на основі комбінації законів класичної механіки та принципу невизначеності. Як приклад розглянемо проблему стійкості атома Гідрогену. Нехай електрон рухається довкола ядра (протону) по круговій орбіті радіусу r зі швидкістю v. За законом Кулона, сила притягання електрону до ядра равна Fкул = е2/r2, где е - заряд электрона. Сила притягання зрівноважується відцентровою силою mv2/r, де m - маса електрону. За другим законом Ньютона, Fкул = Fвідц. , отже, радіус орбіти r = е2/mv2 = mе22. Якщо припустити невизначеність положення електрону в межах половини радіусу його орбіти Δх = e/2, а невизначеність швидкості в межах v, тобто Δр = mv, то співвідношення невизначеності прийме вигляд mvr  ħ. Звідки, v e2/ħ і r ħ2/ me2. Відповідно, рух атома по орбіті r < r0 = h2/me2 = (1.054589-10-27 ерг-с)2/(9.109534-10-28 г)(4.803242-10-10 один. СГСЕ)2 = 0.52918-10-8 см = 0.52918 Å неможливий: електрон не може впасти на ядро, тобто атом стійкий. Величина r0 і є радіусом атома Гідрогену (радіусом першої борівської орбіти).

Повний опис стану фізичної системи в класичній механіці здійснюється заданням в даний момент часу всіх її координат і швидкостей; за цими початковими даними рівняння руху повністю визначають поведінку системи в усі майбутні моменти часу. В квантовій механиці такий опис принципово не можливий, оскільки координати і відповідні їм швидкості не існують одночасно. Отже, опис стану квантової системи здійснюється меншим числом величин, ніж у класичній механіці, тобто є менщ детальним, ніж класичний.

Звідки випливає дуже важливий наслідок відносно характеру передбачень, що здійснюються в квантовій механіці. В той час, як класичного опису достатньо для того, щоб точно передбачати динаміку системи, менш детальний опис в квантовій механіці, очевидно, не може бути достатнім для цього. Це означає, що якщо електрон знаходиться в найповніше описаному стані, то, тим не менше, його поведінка в наступні моменти часу принципово неоднозначна. Задача квантової механіки полягає тільки у визначенні ймовірності отримання того або іншого результату при вимірюванні. Звичайно, в деяких випадках ймовірність деякого результату вимірювання може бути рівною одиниці, тобто перейти в достовірність. Вимірювання такого роду, які можна назвати передбачуваними, відіграють в квантовій механіці основну роль. Якщо в деякому стані вимірювання дає з достовірністю однозначний результат, то ми будемо говорити, що в цьому стані відповідна фізична величина має визначене значення.

2. Хвильова функція.

Радикальна зміна фізичних уявлень про рух у квантовій механіці в порівнянні з класичною вимагає, такої ж радикальної зміни математичного апарату теорії. В зв’язку з цим виникає питання про спосіб опису стану в квантовій механіці.

Нехай q - всі координати квантової системи, а dq – добуток дифференціалів цих координат, що називають елементом об’єму конфігураційного простору. Для однієї частинки q є набір х, у, z, а dq = dxdydz=dV - елемент об’єму звичайного простору. Основою математичного апарату квантової механіки є твердження, що стан системи може бути описаний визначеною (комплексною) функцією координат ψ(q), що називається хвильовою функцією системи. Вона була вперше введена в квантову механіку Шредінгером в 1926 році.

Хвильова функція - величина, що повністю описує стан мікрооб’єкта (електрона, протона, атома, молекули) і взагалі будь-якої квантової системи.

Таким чином, хвильова функція є функцією стану квантової системи. Опис стану з допомогою хвильової функції має статистичний, тобто ймовірнісний, характер: квадрат модуля хвильової функції дає значення ймовірності тих величин, від яких залежить хвильова функція. Наприклад,



Є ймовірністю знаходження частини в момент часу t в точці простору з координатами х, у, z. Сукупність ймовірностей знаходження частини в деякій закінченій області простору називається густиною ймовірності. Наприклад, відомо зі шкільного курсу хімії електронна хмара, що відповідає атомній або молекулярній орбіталі, з математичної точки зору є функцією густини ймовірності, тобто |ψ|2. Хвильова функція описує не тільки розподіл ймовірностей знаходження мікрооб’єкту в просторі, але і дозволяє отримати максимально повну, сумісну з принципами квантової механіки інформацію про будь-які фізичні величини, що характеризують ці мікрооб’єкти.

Функція стану (хвильова функція) повинна задовільняти умови однозначності, закінченості і неперервності в усьому просторі змінних. Вона повинна бути, як мінімум двічі диференційована. Крім того, сума ймовірностей всіх можливих значень координат системи повинна, за визначенням, бути рівна одиниці, тобто:





Де ψ* - функція, комплексно спряжена з ψ. Ця рівність є так званою умовою нормування хвильових функцій. Шляхом вибору відповідного постійного коефіцієнту функція ψ завжди може бути, як кажуть, нормована.



3. Поняття про оператори.

Під описом законів руху квантової системи розуміють можливість визначення її динамічних змінних (координата, імпульс, енергія). Хвильова функція дає максимально повний опис квантової системи, тобто знання ψ дозволяє вирахувати набір динамічних змінних. Це досягається деякою дією (англ. - operate) на хвильову функцію. Опис дії на хвильову функцію вимагає введення поняття оператора - одного із ключових понять математичного апарату квантової механіки. Введем визначення оператора.



Оператором Ấ є закон, за яким одній функції f ставиться у відповідність інша функція g. Оператор визначає, яку дію треба провести над функцією f щоб перевести її у функцію g. Ẩf = g

Наприклад, нехай = d/dx і f = 5x2. Тогда



Інші приклади: оператор піднесення до квадрату, множення на змінну x або просто на число (наприклад = 10). Тоді, g = 25x , 5x и 50x відповідно.

Детальніше розглянемо основні властивості операторів. Багато з них є очевидними:


  1. Сума і різниця двох операторів Ā і Ĉ:

I

  1. Добуток двох операторів: Ā Ĉ∙f = Ā (Ĉ∙f);

Приклад:





  1. Коммутативний закон для операторів виконується не завжди! Коммутатором називають оператор, складений із двох операторів Ā і Ĉ наступним чином:

Оператори Ā і Ĉ коммутують, тобто результуючий оператор S = 0

якщо для будь-якої функції f виконується співвідношення:



Так в розглянутому вище прикладі оператори Ā = sin x і Ĉ = d/dx не коммутують, оскільки





  1. Для операторів виконується асоціативний закон:



  1. N-ий ступінь оператора Āп означає п послідовних прийомів використання оператора Ā, наприклад:



  1. Експонента оператора еА визначається рядом:



  1. Важливу роль в квантовій механіці відіграють нелінійні оператори, що задовольняють наступні правила:



с и d - коефіцієнти. Як приклад розглянемо оператори диференціювання і піднесення до квадрату:



Отже, оператор диференціювання є лінійним, а оператор піднесення до квадрату - нелінійним.



4. Власні функції і власні значення операторів.

Для чего у квантовій механиці необхідні оператори? Вони використовуються для опису фізичних величин, що характеризують квантовий об’єкт. У класичній механиці будь-яка фізична величина (наприклад, енергія) є змінна або функція, або має конкретне числове значення, або змінюється за відомим законом. В квантовій механіці ситуація принципово інша: кожній фізичній величині відповідає строго визначений оператор, який може містити «умовну» частину або взагалі не мати числового значення як, наприклад, оператор диференціювання. Конкретне значення даної фізичної величини розраховується в результаті дії відповідног оператора на хвильову функцію за умови, що хвильова функція є власною функцією даного оператора. Значення фізичної величини є власне значення оператора. Введемо визначення цих понять.

Власною функцією оператора Ā є така функція f , що при дії Ā на неї отримують знова функцію f, помножену на постійне числоде k - власне значення оператора Ā. Наприклад, нехай Ā = d2/dx2 і f = sin(bx). Тоді

Af = d2/dx2(sin(bx)) = b⋅d/dx (cos(bx)) = -b2⋅sin(bx),

Тобто власним значенням оператора d2/dx2 є постійна - b2.

За власними значеннями операторів динамічних змінних в квантовій механіці визначають очікувані значення цих змінних. При цьому власною функцією оператора вимірюваної фізичної величини повинна бути хвильова функція квантової системи. Тобто, якщо

то очікуване значення <А> визначається як



В останньому рівнянні передбачається, що хвильова функція є нормованою (інтеграл від |ψ|2 рівний одиниці). В більшості випадків умова нормування виконується, інакше очікуване значення фізичної величини розраховують за рівнянням







4.1. Самосопряжені або ермітові оператори.

В квантовій механіці дуже важливу роль відіграють самоспряжені оператори, або так звані ермітові.



Самоспряжений або ермітовий оператор - це оператор, для якого справедливе співвідношення:

где Ā* отримують із Ā зміною знаку перед умовною частиною.

Дане рівняння виглядає абстрактною математичною конструкцією. Для чого воно потрібне, і чому ермітові оператори такі важливі для квантової механіки? Щоб відповісти на це запитання, зазначимо просту річ: значення фізичних величин, що визначаються за власним значенням операторів цих величин, повинні бути завжди дійсними, тобто не містити умовної частини. Але немає гарантія, що власне значення будь-якого оператора не виявиться уявних і відповідно, не буде мати фізичного змісту? Цю гарантію якраз і дає наведене вище рівняння. Ермітові оператори володіють чудовою властивістю: їх власні значення завжди дійсні. Докажемо це з допомогою простих міркувань.

Нехай f і g – власні функції оператора Ā, тобто Ā f = а f та Ā g = ag. Тоді, використовуючи приведене вище рівняння, отримаємо:

Два інтеграли в правій частині обох рівнянь ідентичні і в загальному випадку не рівні нулю, тому а = а*. Остання рівність можлива тільки в тому випадку, коли власне значення не має уявної частини, тобто воно весь час є дійсним. Таким чином, операторами фізичних величин квантової механіки є лінійні самоспряжені оператори, за власним значенням яких з допомогою хвильової функции можливий повний опис квантової системи.


Висновок.

В даній лекції подані основні поняття квантової механіки, а саме введено поняття: хвильва функція, електронна густина, ймовірність, оператори та їх значення і властивості. Детально розглянуто принцип невизначеності Гейзенберга та його важлива роль у квантовій хімії.


Література:

1. Слета Л.А., Иванов В.В. Квантовая химия. – Харьков: Фолио, 2007. - 476 с.

2. Боженко К.В. Основы квантовой химии - М.: Российский университет дружбы народов, 2010. - 128 с.

3. Вакарчук I. О. Квантова механiка : пiдручник / I. О. Вакарчук. - 4-те вид., доп.- Львiв : ЛНУ iменi Iвана Франка, 2012. - 872 с.

4. Черановський В.О., Іванова К.Ф. Основи будови речовини. Навчальний посібник для студентів хімічного факультету – Харків: ХНУ, 2003. -121 с.

5. Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. - К.: Либідь, 1995 – 352 с.


Контрольні запитання.

  1. В чому суть принципу невизначеності? Наведіть математичний вираз.

  2. В чому полягає основна задача квантової механіки?

  3. Що таке хвильова функція? Як її позначають?

  4. Що таке густина ймовірності? Як її позначають?

  5. Наведіть умову нормування хвильової функції.

  6. Що розуміють під поняттям «оператор» в квантовій механіці?

  7. Що таке власне значення оператора? Наведіть приклад

  8. Які оператори називаються ермітовими?

  9. В чому суть різниці при вимірюванні властивостей макро- і мікрочастинок?

  10. Що таке стала Планка? Наведіть її значення.



База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка