Тема. Логарифми та їх властивості. Логарифмічна функція Мета

Скачати 85.76 Kb.

Дата конвертації	06.04.2017
Розмір	85.76 Kb.

Тема . Логарифми та їх властивості. Логарифмічна функція

Мета:

сформувати у студентів знання про логарифм, основні властивості логарифма, логарифмічної функції
формувати вміння на практиці використовувати властивості логарифмів, розпізнавати графіки логарифмічної функції при різних основах логарифма.
Виховувати акуратність записів, зацікавленість до вивчення теми

Тип заняття: лекція

ХІД ЗАНЯТТЯ

І. Організаційний момент.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.
ІІІ. Сприйняття й осмислення нового матеріалу.

Означення. Логарифмом числа

за основою

називають показник степеня, до якого треба піднести основу

, щоб отримати число

, і позначають

Логарифмом числа за основою називають натуральним логарифмом і позначають .

Той факт, що число є логарифмом числа за основою записують так

Якщо і , , то степінь існує при довільному дійсному значенню .

Наприклад з рівності випливає

Завдання 1. Записати у вигляді логарифма

1) , ,

2) , ;

3) , .

Завдання 2. Знайти таке число, логарифм якого 3 за основою -

;

.
Завдання 3. Обчислити 1)

; 2)

;

2) ;

Основна логарифмічна тотожність

Наприклад , ; .

Основні властивості логарифмів

Теорема 1. Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів

.
Теорема 2. Логарифм частки двох додатних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника

.

Теорема 3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня

.
Теорема 4. Логарифм кореня додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу , поділеному на показник кореня

.

Теорема 5. Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні, то й самі числа рівні. І навпаки, якщо два додатні числа рівні, то і їх логарифми за тією самою основою рівні.
До основних властивостей логарифмів належать ще й такі:

1. ;

2. ;

3. , ;

4. ;

5. ;

6. , ; формула переходу до іншої основи, множник називають модулем переходу

7. якщо , то ;

8. .

Зауваження 1.

Якщо , , числа і мають однаковий знак і , , то:

;

2. .

Зауваження 2. Якщо

- парні,

, і

, то:
Зауваження 3.

1. , 2. .

Про логарифмувати одночлен означає виразити його логарифми через логарифм додатних чисел, що входять до його складу.
Означення. Перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число ( вираз) називають потенціюванням.

Означення.

Функцію, обернену до показникової , , називають логарифмічною функцією з основою і позначають .

Графік логарифмічної функції симетричний графіку показникової функції , , відносно прямої .

Властивості логарифмічної функції.

Область визначення: ;
Область значень
Монотонність: , зростає; спадає.

Властивості логарифмів чисел за основою

Якщо то і ;
Логарифми чисел, більших за одиницю додатні, логарифми чисел, менших за одиницю , від’ємні.
Якщо число зростає необмежено, то і логарифм його зростає необмежено; якщо число, залишаючись додатним, прямує до нуля, то логарифм його стає від’ємним і як завгодно великим за модулем.

Властивості логарифмів чисел за основою

Якщо то ;
Логарифми чисел, більших за одиницю від’ємні, логарифми чисел, менших за одиницю , додатні.
Якщо число зростає необмежено, то і логарифм його спадає необмежено; якщо число, залишаючись додатним, прямує до нуля, то його логарифм необмежено зростає

ІV. Первинне закріплення нового матеріалу

Завдання.

1. Використовуючи знак логарифма, записати показник степеня з рівностей:

1), ( )

2) ()

Обчислити

1); 2) , 3); 4)

5);

6)

Пропотенціювати вираз

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Знайти значення виразу

1); 2); 3)

5. Порівняти вирази

1) і ;

2) ) і

Розв’язання.

1); ; , звідси );

2) Перейдемо в обох виразах до основи показниковою функції 5

, тоді ;

, тоді , звідси = .

Домашнє завдання.

№№202-206 (Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу 10кл)

1. Знайти значення виразу

1) =;

2) ;

3) ;

4) ;

2. Що більше

1) чи ; (>)

2) чи (>)

Пропотенціювати вираз

1) ;

2) ;