Тема . Логарифми та їх властивості. Логарифмічна функція
Мета:
-
сформувати у студентів знання про логарифм, основні властивості логарифма, логарифмічної функції
-
формувати вміння на практиці використовувати властивості логарифмів, розпізнавати графіки логарифмічної функції при різних основах логарифма.
-
Виховувати акуратність записів, зацікавленість до вивчення теми
ХІД ЗАНЯТТЯ
І. Організаційний момент.
ІІ. Перевірка домашнього завдання.
ІІІ. Сприйняття й осмислення нового матеріалу.
Означення. Логарифмом числа за основою називають показник степеня, до якого треба піднести основу , щоб отримати число , і позначають .
Логарифмом числа за основою називають натуральним логарифмом і позначають .
Той факт, що число є логарифмом числа за основою записують так
Якщо і , , то степінь існує при довільному дійсному значенню .
Наприклад з рівності випливає
Завдання 1. Записати у вигляді логарифма
1) , ,
2) , ;
3) , .
Завдання 2. Знайти таке число, логарифм якого 3 за основою -
, , ;
, , ;
, , .
Завдання 3. Обчислити 1) ; 2)
1) ;
2) ;
Основна логарифмічна тотожність
Наприклад , ; .
Основні властивості логарифмів
Теорема 1. Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів
, , , , .
Теорема 2. Логарифм частки двох додатних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника
, , , , .
Теорема 3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня
, , , .
Теорема 4. Логарифм кореня додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу , поділеному на показник кореня
, , , .
Теорема 5. Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні, то й самі числа рівні. І навпаки, якщо два додатні числа рівні, то і їх логарифми за тією самою основою рівні.
До основних властивостей логарифмів належать ще й такі:
1. ;
2. ;
3. , ;
4. ;
5. ;
6. , ; формула переходу до іншої основи, множник називають модулем переходу
7. якщо , то ;
8. .
Зауваження 1.
-
Якщо , , числа і мають однаковий знак і , , то:
1. ;
2. .
Зауваження 2. Якщо , - парні, , , і , то:
Зауваження 3.
1. , 2. .
Про логарифмувати одночлен означає виразити його логарифми через логарифм додатних чисел, що входять до його складу.
Означення. Перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число ( вираз) називають потенціюванням.
Означення.
Функцію, обернену до показникової  , , називають логарифмічною функцією з основою і позначають .
Графік логарифмічної функції симетричний графіку показникової функції , , відносно прямої .
Властивості логарифмічної функції.
-
Область визначення: ;
-
Область значень
-
Монотонність: , зростає; спадає.
Властивості логарифмів чисел за основою
Властивості логарифмів чисел за основою
-
Якщо то ;
-
Логарифми чисел, більших за одиницю від’ємні, логарифми чисел, менших за одиницю , додатні.
-
Якщо число зростає необмежено, то і логарифм його спадає необмежено; якщо число, залишаючись додатним, прямує до нуля, то його логарифм необмежено зростає
ІV. Первинне закріплення нового матеріалу
Завдання.
1. Використовуючи знак логарифма, записати показник степеня з рівностей:
1) , ( )
2) ( )
-
Обчислити
1) ; 2) , 3) ; 4)
5) ;
6)
-
Пропотенціювати вираз
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
-
Знайти значення виразу
1) ; 2) ; 3)
5. Порівняти вирази
1) і ;
2) ) і
Розв’язання.
1) ; ; , звідси ) ;
2) Перейдемо в обох виразах до основи показниковою функції 5
, тоді ;
, тоді , звідси = .
Домашнє завдання.
№№202-206 (Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу 10кл)
1. Знайти значення виразу
1) = ;
2) ;
3) ;
4) ;
5)
2. Що більше
1) чи ; (>)
2) чи (>)
-
Пропотенціювати вираз
1) ;
2) ;
3)
3)
|