Розділ Особливі точки диференціальних рівнянь на площині. Елементи теорії стійкості



Скачати 447.44 Kb.
Дата конвертації31.12.2016
Розмір447.44 Kb.
Розділ 7. Особливі точки диференціальних рівнянь на площині. Елементи теорії стійкості

7.1. Особливі точки диференціальних рівнянь на площині

Розглянемо скалярне диференціальне рівняння



. (7.1)

Якщо в околі точки задовольняє умовам теореми Пікара, то через точку проходить лише одна інтегральна крива диференціального рівняння (7.1).

Припустимо, що функція в точці не є неперервною, то можливі випадки:

а) (А – деяке число);

б) ;

в) f(x,y) – невизначена в точці .

Тоді перші два випадки зводяться до випадку, який розглядає теорема Пікара:

а) можна довизначити – ;

б) замість диференціального рівняння (7.1) розглядати рівняння

(7.2)

і прийнявши знаходимо єдиний розвязок з вертикальною дотичною в точці .

У випадку в) точка називається ізольованою особливою точкою.

Дослідження особливих точок проведемо для диференціального рівняння



, (7.3)

де a , b , c , d – дійсні числа : ad - bc 0 , так як в противному диференціальне рівняння (7.3) приводиться до рівняння .

Нас цікавить поведінка інтегральних кривих в околі точки . Перепишемо диференціальне рівняння (7.3) у вигляді

і перейдемо до системи



. (7.4)

Запишемо характеристичне рівняння .

Нехай – корені характеристичного рівняння. Розглянемо наступні випадки.


  1. Корені дійсні , різні і одного знаку , тобто > 0, . Тоді система диференціальних рівнянь (7.4) має жорданову форму

. (7.5)

Звідси і, отже



. (7.6)

Якщо , тоді і всі криві (7.6) примикають до точки (0,0), тобто



коли і розвязок дотичний в цій точці до осі (мал. 7.1).
Мал. 7.1

В цьому випадку інтегральні криві дотичні тієї осі, якій відповідає мінімальне по абсолютній величині власне значення. Особлива точка – вузол.

Крім інтегральних кривих до особливої точки примикають дві полуосі осі , тобто .


  1. Припустимо, що < 0. Тоді в даному випадку тільки чотири інтегральні корені примикають до особливої точки (0,0). Останні інтегральні криві мають вигляд, представлений на мал. 7.2.

Мал. 7.2


Особлива точка – сідло.

  1. – комплексні корені.

В цьому випадку, в силу довільності матриці перетворення до жорданової форми, елементи цієї матриці можна вибрати так, що , де u, w – дійсні змінні. Отже,

, (7.7)

.

Прирівнюючи дійсні і уявні частини, отримаємо диференціальне рівняння:

дійсні: ;

уявні: .

З останньої рівності маємо

. (7.8)

Диференціальне рівняння (7.8) перепишемо у вигляді



.

Звідки ,



. (7.9)

В (7.9) покладемо , тоді



. (7.10)

Формулою (7.10) задається сімейство логарифмічних спіралей (мал. 7.3).


Мал. 7.3


В даному випадку всі інтегральні криві примикають до точки (0,0), роблячи нескінчену кількість оборотів. Така ж картина буде і в площині XOY. Особлива точка – фокус.

  1. Корені уявні , тобто .Тоді криві (7.10) будуть замкнені, в площині (u,w) – будуть концентричні кола (мал. 7.4).

Особлива точка – центр.

Мал. 7.4



  1. Розглянемо випадок кратних коренів .

В цьому випадку жорданова форма матриці залежить від кратності елементарних дільників:

а) кореню відповідає два простих елементарних дільника, тобто =0. Тоді a=d=0 , b=c= . Отже



(7.11)

і y=cx (x 0), x=0 (y 0).

Ми отримали сімейство напівпрямих, які примикають до точки (0,0) (мал. 7.5).

Мал. 7.5


Особлива точка – дикретичний вузол;

б) кореню відповідає елементарний дільник кратності 2, тобто =1 і матриця Жордана має форму . Отже, маємо систему диференціальних рівнянь



. (7.12)

Звідки


. (7.13)

Розвязок диференціального рівняння (7.13) запишемо у вигляді



. (7.14)

Крім (7.14) треба додати два розвязки ( ), ( ).

З (7.14) випливає, що інтегральні криві примикають до точки (0,0), кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює (мал. 7.6).

Мал. 7.6


Особлива точка – вироджений вузол.

7.2. Стійкість розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь. Перший метод Ляпунова

7.2.1. Основні поняття і визначення стійкості по Ляпунову

Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь



, (7.15)

де n – вимірний вектор стану обєкта, – вектор -функція розмірності n, яка задовольняє умовам теореми існування і єдиності.

Без обмеження на загальність міркувань припустимо, що – розрахунковий розвязок (незбурений рух). Дійсно, якщо незбурений рух ненульовий , то заміною ми приходимо до розглянутого випадку

. (7.16)

Для системи диференціальних рівнянь (7.16) незбурений рух , .

Розвязок , який досліджується на стійкість називається незбуреним, інші розвязки будемо називати збуреними.

Означення 7.1. Незбурений розвязок системи диференціальних рівнянь (7.15) будемо називати стійким по Ляпунову, якщо для будь-якого існує , що , лише тільки .

Означення 7.2. Незбурений розвязок називають асимптотично стійким по Ляпунову, якщо він стійкий по Ляпунову, тобто виконується означення 7.1 і при .

Множину будемо називати множиною асимптотичної стійкості.

Якщо означення 7.1 не виконується, то незбурений розвязок будемо називати нестійким по Ляпунову.

Для дослідження питання стійкості існує два методи Ляпунова. Суть першого методу полягає в тому, що для аналізу стійкості знаходиться загальний розвязок системи диференціальних рівнянь (7.15). По його виду можна судити про стійкість або не стійкість розвязку системи диференціальних рівнянь (7.15). Знайти загальний розвязок системи диференціальних рівнянь (7.15) важко, тому і не завжди можна використати цей метод.



Приклад 7.1. Дослідити на стійкість розв’язки в залежності від параметра такого рівняння:

.

Розв'язання. Загальний розв'язок нашого рівняння запишемо в формі Коші .

Тому розв'язок при .

В другому методі для дослідження стійкості використовуються спеціальні функції, які називаються функціями Ляпунова. В цьому випадку загального розвязку можна не знати.

7.2.2 Перший метод Ляпунова. Дослідження стійкості лінійних нестаціонарних систем

Розглянемо лінійну систему однорідних диференціальних рівнянь



, (7.17)

де , .

Тоді розвязок однорідного диференціального рівняння (7.17) можна записати у формі Коші

, , (7.18)

де – фундаментальна матриця розв'язків, нормована по моменту



. (7.19)

Питання про стійкість розвязується шляхом аналізу властивостей матриці . Розглянемо наступні випадки:

а) матриця обмежена при

, .

В цьому випадку при . Тобто при цих умовах незбурений розв'язок є стійким;

б) припустимо , що . В цьому випадку матриця обмежена при і розвязок , є стійким. Крім цього з формули Коші випливає, що при . Таким чином, незбурений розвязок є асимптотично стійким;

в) нехай – необмежена при , тобто існує зростаюча послідовність чисел така, що .

В цьому випадку, серед функцій знайдеться хоча б одна , для якої .

Розглянемо розвязок з початковими умовами



.

Тоді розв'язок (координата ) буде зростати при , які б малі по модулю початкові умови ми не взяли. Це означає, що незбурений розв'язок буде нестійким.

Це ми показали достатні умови стійкості. Покажемо, що ці умови являються необхідними.

Дійсно, припустимо, що незбурений розвязок є стійким. Тоді

(7.20)

при , лише тільки . Нерівність (7.20) означає, що величини



(7.21)

є обмеженими. Поклавши в (7.21)



отримаємо



. (7.22)

Звідки


, , (7.23)

тобто, матриця є обмеженою при .

Якщо незбурений розвязок асимптотично стійкий, то , і з (7.22) випливає

.

Якщо незбурений розв'язок нестійкий, то необмежена матриця при , так як в противному з її обмеженості випливає стійкість незбуреного розвязку . Таким чином, ми довели наступну теорему.



Теорема 7.1. Для стійкості незбуреного розвязку лінійної однорідної системи диференціальних рівнянь (7.17) необхідно і достатньо, щоб фундаментальна матриця цієї системи була обмежена при ;

для асимптотичної стійкості – необхідно і достатньо, щоб ;

для нестійкості – необхідно і достатньо, щоб фундаментальна матриця була необмеженою при .

Зауваження 7.1. Так як фундаментальна матриця не залежить від початкових умов , то всі розвязки системи (7.17) будуть стійкими або нестійкими.

7.2.3. Стійкість розвязку лінійних систем з сталими коефіцієнтами. Критерій Гурвіца

Припустимо , що в системі (7.17) матриця має постійні елементи, тоді = і умови стійкості можна виразити через матрицю .

Відомо, що в цьому випадку лінійно незалежні розвязки системи диференціальних рівнянь (7.17) мають вигляд:

а) для випадку, коли корені відповідного характеристичного рівняння дійсні і різні;

б) , , – коли характеристичне рівняння має пару комплексно спряжених коренів ;

в) , – коли корінь характеристичного рівняння кратності m.

Аналіз розвязків приводить до твердження.

Теорема 7.2. Незбурений розвязок системи диференціальних рівнянь (7.17) з постійними коефіцієнтами тоді і тільки тоді є:

а) стійким, якщо дійсні частини характеристичного рівняння



(7.24)

недодатні, причому характеристичним числам з нульовими дійсними частинами відповідають одномірні клітки Жордана. Тобто такі характеристичні числа мають прості елементарні дільники;

б) асимптотично стійким, якщо дійсні частини коренів характеристичного рівняння (7.24) всі відємні;

в) нестійким, якщо хоча б один з коренів характеристичного рівняння (7.24) має додатну дійсну частину, або хоча б одному кратному кореню з нульовою дійсною частиною відповідала неодномірна клітка Жордана (таке число має непростий елементарний дільник).

Розглянемо характеристичне рівняння:

. (7.25)

Складемо матрицю Гурвіца розмірності :



,

де при i>n.

Розглянемо послідовність головних мінорів

. (7.26)

Критерій Гурвіца. Для того, щоб всі корені характеристичного рівняння (7.24) мали відємні дійсні частини необхідно і достатньо, щоб послідовність (7.26) була додатньою, тобто .

Приклад 7.2. Записати умови асимптотичної стійкості для такого характеристичного рівняння

.

Розв'язання. Згідно критерію Гурвіца запишемо умови асимптотичної стійкості .

Приклад 7.3 Записати умови асимптотичної стійкості для такого характеристичного рівняння

.

Розв'язання. Запишемо умови асимптотичної стійкості

, , , ,

.

7.2.4. Дослідження стійкості за першим наближенням

Лема Гронуолла Беллмана. Нехай функції і – неперевні при , – стала і при виконується нерівність

. (7.27)

Тоді при справедлива нерівність



. (7.28)

Доведення. Помножимо обидві частини нерівності (7.27) на

і позначимо . Тоді з останньої нерівності отримаємо



.

Так як , то , .

Отже,

. (7.29)

Використовуючи, (7.27) і (7.29) отримаємо (7.28). Лема доведена.

Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь

( – незбурений розвязок), . (7.30)

Проводимо лінеаризацію системи диференціальних рівнянь (7.30) в околі точки



, , (7.31)

де , .

Стійкість системи диференціальних рівнянь (7.30) в деяких випадках можна проаналізувати за допомогою дослідження стійкості лінеаризованої системи (7.31). Припустимо, що

, , (7.32)

де постійна в достатньо малому околі нуля .

Теорема 7.3. Якщо фундаментальна матриця однорідної системи при будь-якому і задовольняє нерівність

(7.33)

з додатними і незалежними від константами і , то незбурений розвязок асимптотично стійкий при будь-якому виборі функції , яка задовольняє умові (7.32), якщо , причому для будь-якого розв'язку системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь (7.30) для якого виконується нерівність



при . (7.34)

Доведення. Запишемо розвязок системи звичайних диференціальних рівнянь (7.31) у вигляді

.

Звідки


,

.

Позначимо , , , . Тоді, згідно леми



.

Отже,


.

Теорема доведена.

Розглянемо автономну систему звичайних диференціальних рівнянь

. (7.35)

Лінеаризуємо систему (7.35) ( , )



. (7.36)

Критерій стійкості автономної системи за першим наближенням:

а). Якщо корені характеристичного рівняння (7.24) задовольняють умові , , то незбурений розвязок системи диференціальних рівнянь (7.35) асимптотично стійкий;

б). Якщо серед коренів характеристичного рівняння (7.24) знайдеться хоча б один з додатною дійсною частиною, то незбурений розвязок системи диференціальних рівнянь (7.35) нестійкий;

в). Якщо лінійна система стійка, тобто серед коренів характеристичного рівняння (7.24) знайдуться деякі з нульовими дійсними частинами, то незбурений розвязок системи диференціальних рівнянь (7.35) може бути як стійкий так і не стійкий.



Приклад 7.4. Дослідити на стійкість незбурений розвязок x=y=0 системи

, .

Розв'язання. Розглянемо два підходи, які описані вище.

а). , .

Згідно критерію система стійка.

б). Знайдемо фундаментальну матрицю. Загальний розвязок системи має вигляд



.

Тоді фундаментальну матрицю запишемо таким чином



.

Оскільки ця матриця обмежена, то незбурений розвязок x=y=0 є стійким.



7.3. Другий метод Ляпунова

7.3.1. Функції Ляпунова

Будемо розглядати автономну систему звичайних диференціальних рівнянь



, , (7.37)

де , n-вимірна вектор-функція, яка задовольняє умовам теореми існування та єдиності.

Припустимо, що , – розв'язок системи диференціальних рівнянь (7.37), який досліджується на стійкість. Його будемо називати незбуреним або програмним розв'язком. Якщо досліджуваний на стійкість розв'язок є ненульовим , то заміною переходимо до нульового.

Означення 7.3. Будемо говорити, що незбурений розв'язок системи диференціальних рівнянь (7.37) є стійким по Ляпунову, якщо для будь-якого існує таке, що , лиш тільки .

Означення 7.4. Незбурений роз'язок системи диференціальних рівнянь (7.15) будемо називати асимптотично стійким по Ляпунову, якщо:

а) виконується означення 7.3;

б) при справджуються граничні співвідношення .

Множина тих , для яких виконується означення 7.4 називається множиною асимптотичної стійкості.

Для дослідження властивості стійкості існують два методи Ляпунова.

Перший метод передбачає знання загального розв'язку системи диференціальних рівнянь (7.37), але його не завжди можна знайти.

В другому методі аналіз стійкості або нестійкості проводиться за допомогою спеціальних функцій, які називаються функціями Ляпунова і позначаються .

Якщо означення 7.3 не виконується, то незбурений розв'язок називається нестійким. В цьому випадку для будь-якого в будь-якому околі початку координат знайдуться точки відповідні розв'язки для яких виходять з – околу.

Означення 7.5. Функцію будемо називати додатньо визначеною (від'ємно визначеною) в області , якщо вона в цій області приймає додатні (від'ємні) значення при і .

Означення 7.6. Функція називається знакопостійною на множині , якщо вона приймає недодатні або невід’ємні значення і може дорівнювати нулю не лише в одній точці . (В першому випадку функція називається від'ємно постійною, в другому – додатньо постійною).

Означення 7.7. Функція називається знакозмінною в області , якщо вона в цій області приймає як від’ємні так і додатні значення.

Приклад 7.5. Визначити типи вказаних функцій:

а) ;

б) ;

в) .

Відповідь: а)– додатньо визначена; б)– додатньо постійна; в) – знакозмінна функція.

Дуже часто функції Ляпунова будують у вигляді квадратичної форми , де – додатньо визначена симетрична квадратна матриця. Сформулюємо критерій додатньої визначеності.



Критерій Сільвестра. Для того, щоб квадратична форма була додатньо визначена необхідно і достатньо, щоб всі головні мінори

, , … , (7.38)

були додатні.

Для від'ємної визначеності необхідно і достатньо, щоб головні мінори міняли по черзі свій знак починаючи з від'ємного.

Приведемо геометричну інтерпретацію знаковизначених функцій. Без обмежень на загальність розглянемо додатньо визначену функцію трьох змінних і поверхню



. (7.39)

Якщо , то співвідношення (7.39) задовольняє тільки одна точка . Покажемо, що при досить малих поверхня (7.39) є замкнутою.

Дійсно, нехай – точна нижня грань функції на множині , тобто на кулі . Розглянемо неперервну криву, яка виходить з початку координат і другим кінцем лежить на поверхні . Так як , а на поверхні , то при в деякій точці кривої функція приймає значення в силу неперервності. Звідси випливає замкненість поверхні і те, що точка входить в цю поверхню.

Ця властивість характерна тільки для знаковизначених функцій, для знакопостійних ці поверхні розімкнені.



7.3.2. Геометрична інтерпретація умов стійкості

Обчислимо повну похідну по t від функції в силу системи диференціальних рівнянь (7.37)



. (7.40)

Виберемо на поверхні будь-яку точку М і обчислимо в ній





Мал. 7.7


Такий вектор направлений по нормалі в точці М до поверхні V(x)=c. Причому нормаль буде зовнішньою, якщо V(x) додатньо визначена і цей вектор направлений всередину при умові, що V(x) від'ємно визначена. Геометрично вектор f(x) – це вектор швидкості. Знаком скалярного добутку (7.40) аналізується стійкість незбуреного розв'язку .

Припустимо, що в деякий момент t динамічна траєкторія визначається точкою М. Проведемо через нею поверхню V(x)=c. Розглянемо три випадки:

а). Якщо (мал. 7.7), то це означає, що кут між векторами f(x) і тупий. А це свідчить про те, що траєкторія входить в поверхню . Якщо така властивість буде виконуватися для будь-якої точки траєкторії, то спостерігатиметься асимптотична стійкість;

Мал. 7.8


б). Якщо в точці М виконується умова , то кут між векторами та 90 і траєкторія дотикається поверхні . Відмітимо, якщо вказане співвідношення виконується для будь-якої точки траєкторії, то точка рухається по поверхні ;

в). Якщо (мал. 7.8), то траєкторія виходить з поверхні .



Приклад 7.6. Вказати при яких с лінії рівня замкнені:

а) ;

б) .

Розв'язання. а) Функція є додатньо визначеною і при . Лінії рівня є еліпсами і вони є замкненими для будь-якого ; б) співвідношення можна переписати в такому вигляді . З нього випливає, що лінії рівня замкнені при .



7.3.3. Теореми Ляпунова про стійкість і асимптотичну стійкість

Теорема 7.4 (Ляпунова про стійкість). Якщо для системи диференціальних рівнянь (7.37) знайдеться додатньо визначена функція , повна похідна від якої по t, взята в силу системи (7.37), є функцією від'ємно постійною, то розв'язок стійкий по Ляпунову.



Доведення. Виберемо і розглянемо сферу (мал. 7.9).

Мал. 7.9


Побудуємо поверхню , яка лежить всередині сфери . Це можна зробити так як є неперервною функцією і . Виберемо таке, щоб куля лежала всередині поверхні .

Покажемо, що зображаюча точка М, починаючи свій рух із -околу (точки ), не дійде сфери . Дійсно, так як , то . Звідки



. (7.41)

З (7.41) випливає, що зображаюча точка або знаходиться на поверхні або йде всередину поверхні . Це і доводить теорему.



Приклад 7.7. Дослідити на стійкість нульовий розв’язок системи

. (7.42)

Розв'язання. Дослідимо на стійкість незбурений рух за допомогою функції . Обчислимо . Тобто, згідно теореми 7.4, незбурений розв'язок стійкий.



Теорема 7.5 (Ляпунова про асимптотичну стійкість). Якщо для системи диференціальних рівнянь (7.37) знайдеться додатньо визначена функція Ляпунова така, що є функцією від'ємно визначеною, то незбурений рух – асимптотично стійкий.

Доведення. Так як умови теореми 7.5 сильніші ніж умови теореми 7.4, то зображаюча точка в динаміці не вийде з поверхні (мал. 7.9). Причому вона залишатися на поверхні не може і строго входить в неї. З умови випливає, що функція V(x), залишаючись додатньою, монотонно спадає. Це значить, що вона має границю , тобто . Як видно з мал. 7.8 зображаюча точка М прямує до граничної поверхні .

Покажемо, що , тобто поверхня вироджується в точку – початок координат.

Припустимо, що . Тоді в замкнутій області функція строго від’ємна. Якщо є неперервною на , то вона має точну верхню та нижню грань. Таким чином, з відношення , випливає нерівність



. (7.43)

З (7.43) випливає, що з часом функція стає від'ємною, що суперечить умові теореми. Значить , тобто зображаюча точка асимптотично прямує в початок координат. Теорема доведена.

Мал. 7.10
7.3.4. Теореми Четаєва і Ляпунова про нестійкість

Теорема 7.6 (Четаєва про нестійкість). Якщо для системи диференціальних рівнянь (7.37) можна знайти функцію , для якої в як завгодно малому околі точки х=0 існує область , а у всіх точках області , то незбурений розв'язок – нестійкий.

Доведення. Припустимо, що функція – визначена на множині . Візьмемо як завгодно мале і побудуємо кулю . Для того, щоб виявити нестійкість достатньо знайти в як завгодно малому околі точки хоч би одну траєкторію, яка виходить за сферу радіуса .

Візьмемо початкове положення точки М в області . Причому, така точка може бути вибрана як завгодно близько до точки х=0, але не співпадати з нею.

Так як в області виконується , то функція монотонно зростає, отже

, (7.44)

де .

Динамічна точка М, з початком в точці , в процесі руху не може перетинати границю області (на границі V=0, a i V – зростає).

Припустимо, що точка М не вийде за сферу , тобто знаходиться в середині замкненої області (мал. 7.11).


Мал. 7.11


Оскільки функція неперервна на G, то

. (7.45)

На G функція також є неперервною. Тому



. (7.46)

Звідки


. (7.47)

З (7.47) випливає, що функція при t необмежено зростає. Що суперечить (7.45). Отже наше припущення, що траєкторія не вийде з -околу неправильне. Теорему доведено.

Сформулюємо теорему Ляпунова про нестійкість, яка є чаcтинним випадком теореми Четаєва.

Теорема 7.7 (перша теорема теорема Ляпунова про нестійкість). Якщо система диференціальних рівнянь (7.37) така , що існує функція , для якої , а сама функція в околі точки х=0 приймає значення , то незбурений розв'язок є нестійким.

Теорема 7.8 (друга теорема Ляпунова про нестійкість). Якщо для системи диференціальних рівнянь (7.37) існує функція така, що

, (7.48)

де , a W(x) або тотожньо дорівнює нулю, або ж є додатньо постійною функцією і при цьому не є від'ємно постійною, то незбурений розв'язок системи диференціальних рівнянь (7.37) є нестійким.

Доведення. Оскільки W(x) додатна, то з (7.48) маємо . Припустимо, що траєкторія для системи диференціальних рівнянь (7.37) не виходить з -сфери, тобто

. (7.49)

Тоді на (7.49) обмежена

. (7.50)

Оскільки залишається додатньою на траєкторії, то



.

Звідки


, (7.51)

що суперечить умові (7.50). Тобто розв'язок виходить з -сфери. Теорема доведена.



7.3.5. Побудова функцій Ляпунова для лінійних стаціонарних систем

Для лінійних стаціонарних систем



, (7.52)

де А – деяка асимтотично стійка матриця, функцію Ляпунова можна побудувати у вигляді квадратичної форми . Симетрична додатньо визначена матриця В знаходиться з умови



, (7.53)

де D – задана додатньо визначена матриця.

Для знаходження симетричної матриці В користуються матричним рівняння Ляпунова

, (7.54)

яке легко отримується з умови (7.53).

При розв'язуванні прикладних задач часто користуються співвідношенням Релея

, (7.55)

де – мінімальне і максимальне власні значення симетричної додатньо визначеної матриці В.



7.3.6. Оцінка часу регулювання перехідного процесу в системах автоматичного керування за допомогою функцій Ляпунова

Припустимо, що для системи диференціальних рівнянь (7.52) ми побудували функцію Ляпунова у вигляді квадратичної форми згідно умови



, (7.56)

тобто


.

З співвідношення (7.55) маємо



, (7.57)

або .

Використовуючи (7.56) запишемо

, .

Інтегруючи записану нерівність отримаємо



, .

Використовуючи (7.57) прийдемо до нерівностей



. (7.58)

Нам потрібно знайти такий момент , в який траєкторія системи диференціальних рівнянь (7.52) задовольнятиме умові . Оцінити час перехідного процесу можна з нерівності (7.58)



, .

З останньої нерівності маємо



. (7.59)

Формулою (7.59) представлена оцінка часу перехідного процесу.






База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка