Розділ Лінійні диференціальні рівняння першого порядку з частинними похідними



Скачати 132.8 Kb.
Дата конвертації29.12.2016
Розмір132.8 Kb.
Розділ 8. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку з частинними похідними

8.1 Однорідні лінійні диференціальні рівняння першого порядку з частинними похідними

8.1.1. Зв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь з частинними похідними та систем звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі

Рівняння з частинними похідними першого порядку має вигляд



. (8.1)

Означення 8.1. Розв’язком рівняння (8.1) називається функція

, (8.2)

яка визначена і неперервна разом з частинними похідними в деякій області змінних ,.., і перетворює в цій області рівняння (8.1) в тотожність. При цьому ,.., і значення лежать в області визначення функції .

Якщо в рівнянні (8.1) функція залежить лінійно від частинних похідних шуканої функції, то воно називається лінійним

. (8.3)

Розглянемо однорідне рівняння, тобто випадок коли , а функції , не залежать від



. (8.4)

Рівняння (8.4) має очевидний розв’язок



(c=const). (8.5)

Доведемо, що рівняння (8.4) має безліч розв’язків, відмінних від очевидних.

Для цього, разом з (8.4), будемо розглядати систему звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі

= =…= . (8.6)

Доведемо дві теореми, які встановлюють зв’язок між рівнянням (8.4) і системою (8.6). Припустимо, що коефіцієнти X ( ,.., ),…, X ( ,.., ) рівняння (8.4) неперервні разом з частинними похідними по x ,..,x в деякому околі точки ,.., і в цій точці вони одночасно не перетворюються в нуль (тобто точка ( ,.., ) не є особливою точкою системи (8.6)). Наприклад, припустимо, що



X ( ,.., ) 0. (8.7)

При цьому припущенні система (8.6) має рівно (n-1) незалежних інтегралів, визначених і неперервних разом з частинними похідними в околі точки ( ,.., ). Це випливає з того, що система (8.6) рівносильна нормальній системі розмірності (n-1)



,

, (8.8)

………….


для якої виконуються умови теореми про існування незалежних інтегралів нормальної системи.



Теорема 8.1. Довільний інтеграл системи (8.6) є неочевидним розв’язком рівняння (8.4).

Доведення. Припустимо, що ( ,.., ) – інтеграл системи (8.6) визначений в деякому околі точки ( ,.., ). Тоді повний диференціал від ( ,.., ), в силу (8.6) або (8.8), дорівнює нулю, тобто

. (8.9)

Враховуючи співвідношення ..., рівняння (8.9) перепишемо так



…+ . (8.10)

Скорочуємо на і домножуючи на , отримаємо



+ +...+ 0. (8.11)

Це означає, що функція є розв’язком рівняння (8.4).



Теорема 8.2. Довільний неочевидний розв’язок рівняння (8.4) є інтегралом системи (8.6).

Доведення. Нехай – неочевидний розв’язок рівняння (8.4). Тоді

+ +...+ 0. (8.12)

Обчислимо



= …+

=( + +...+ ) .

Це означає, що є інтегралом системи (8.6).



Приклад 8.1. Знайти розв’язки лінійного однорідного рівняння з частинними похідними

. (8.13)

Розв'язання. Запишемо для рівняння (8.13) систему в симетричній формі

. (8.14)

Для системи звичайних диференціальних рівнянь маємо інтеграли



(8.15)

Тому


(8.16)

є розв’язками рівняння (8.13).



8.1.2. Загальний розв’язок однорідного лінійного рівняння рівняння з частинними похідними. Розв’язування задачі Коші

Нехай


(8.17)

незалежні інтеграли системи (8.6). Тоді функція



, (8.18)

де – будь-яка диференційована функція, буде розв’язком рівняння (8.4)

Дійсно, підставимо (8.18) в (8.4)

+ +...+ =

= + +...+ =

= . (8.19)

Формулу (8.18) називають загальним розв’язком рівняння (8.4). На відміну від загального розв’язку звичайного диференціального рівняння в (8.18) входять не довільні сталі, а довільна функція.

Задача знаходження загального розв’язку рівняння (8.4) рівносильна задачі знаходження (n-1) незалежних інтегралів відповідної системи звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі.

Розглянемо випадок двох незалежних змінних



. (8.20)

Запишемо систему в симетричній формі



= . (8.21)

Якщо – інтеграл системи (8.21), то

(8.22)

загальний розв’язок рівняння (8.20). Тут довільна неперервно диференційована функція від .



Приклад 8.2. Знайти загальний розв'язок рівняння

+ +...+ =0. (8.23)

Розв'язання. Складемо систему звичайних диференціальних рівнянь

= =...= . (8.24)

Для системи (8.24) заходимо інтеграл



, ,..., . (8.25)

Тобто


, ,..., . (8.26)

Тоді


, (8.27)

де – неперервно-диференційована функція, буде загальним розв’язком системи (8.23).



Приклад 8.3. Розв’язати рівняння

+ + =0. (8.29)

Розв'язання. Складаємо систему звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі

= = . (8.30)

Легко визначити



, . (8.31)

Тому загальний розв’язок має вигляд



. (8.32)

Перейдемо до постановки і розв’язання задачі Коші для рівняння (8.4). Серед всіх розв’язків рівняння знайти такий



, (8.33)

який задовольняє початковій умові



при , (8.34)

або


= , (8.35)

де задана неперервно-диференційована функція від .

Для випадку двох змінних: знайти функцію

, (8.36)


яка задовольняє умові

при . (8.37)

Геометрично (8.36),(8.37) означає, що серед всіх інтегральних поверхонь знайти ту, яка проходить через задану криву (8.37) при . Ця крива лежить в площині , яка паралельна площині YOZ.

В загальному випадку розв’язування задачі Коші зводиться до визначення вигляду функції так , щоб

. (8.38)

Введемо позначення



. (8.39)

Тоді (8.38) перепишемо так



= . (8.40)

Розв’яжемо систему (8.39) в околі точок , відносно (це можливо так як – незалежні інтеграли)



. (8.41)

Тоді функцію вибираємо таким чином



= . (8.42)

Тоді умова (8.40) буде виконуватися



= = .

Тому функція



(8.43)

– шуканий розв’язок задачі Коші.



Приклад 8.4. Розв’язати задачу Коші

при умові при .



Розв'язання. Складаємо систему , звідси – інтеграл. Отже

.

Шуканий розв’язок .

Розглянемо частинні випадки:

а) . Тоді ,










Мал. 8.1
Розв’язок – конус, який отриманий обертанням прямої навколо осі OZ (мал. 8.1);

б) ,








Мал. 8.2
Розв’язок – параболоїд, який отриманий обертанням параболи навколо осі OZ (мал. 8.2).

8.2. Розв’язування неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними

Розглянемо неоднорідне рівняння



+...+ = . (8.44)

Розв’язок диференціального рівняння (8.44) шукаємо у вигляді



, (8.45)

де неперервно-диференційована функція по всім змінним і



в околі точки .

Припустимо, що в (8.45) залежить від . Продиференціюємо (8.45)

по

, k=1,2,…,n.

Звідси


, k=1,2,…,n. (8.46)

Підставивши (8.46) в (8.44), отримаємо



+...+ + =0. (8.47)

Рівняння (8.47) – це вже однорідне рівняння. Його розв’язуємо по відомій схемі:

а) складаємо систему звичайних диференціальних рівнянь в симетричній формі

=...= = ; (8.48)

б) знаходимо n незалежних інтегралів



,..., ; (8.49)

в) записуємо загальний розв’язок



. (8.50)

Приклад 8.5. Знайти загальний розв’язок рівняння

+...+ = .

Розв'язання. Складаємо систему в симетричній формі

=...= = .

Знаходимо інтеграли



, ,..., , .

Тоді


=0 (8.51)

– загальний розв’язок.

Якщо розв’язати (8.51) відносно , то отримаємо

–загальний розв’язок в явній формі.

Задача Коші ставиться та розв’язується для рівняння (8.44) аналогічно:

знайти таку функцію



, (8.52)

яка задовольняє початковій умові



при , (8.53)

де – задана неперервно-диференційована функція від .

Алгоритм для знаходження розв’язку задачі Коші:

а) перепишемо початкові умови (8.53) у вигляді



при ;

б) знаходимо n інтегралів і складаємо систему



; (8.54)

в) розв’язуємо систему (8.54) відносно ,



; (8.55)

г) записуємо розв’язок задачі Коші в вигляді



= . (8.56)

При цьому умова (8.53) буде виконуватися.



Приклад 8.6. Розв’язати задачу Коші

при .

Розв'язання. Складаємо систему в симетричній формі

= = .

Звідси .

При : , . Отже

.

Тому , – розв’язок задачі Коші. Остаточно маємо



.



База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка