Розділ Елементи варіаційного числення 1 Основні поняття варіаційного числення 1 Функціонали і деякі їх властивості



Скачати 208.39 Kb.
Дата конвертації01.01.2017
Розмір208.39 Kb.
Розділ 9. Елементи варіаційного числення

9.1 Основні поняття варіаційного числення

9.1.1. Функціонали і деякі їх властивості

а) Означення функціоналу

Нехай М деякий клас функцій у(х).



Означення 9.1. Якщо для будь-якої функції у(х) ? М по деякому закону поставлено у відповідність деяке число, то говорять, що на класі М визначений функціонал і пишуть . Тут М область визначення функціоналу.

Приклад 9.1. Нехай у(х) – плоска крива, яка з’єднує точки (а,А) та (b,B). Її довжина є функціонал (мал. 9.1)

.
Мал. 9.1

Приклад 9.2. Площа криволінійної трапеції, яка показана на мал. 9.1 також є функціонал

.

б) Функціонали в лінійних нормованих (банахових) просторах.

Поняття неперервності функціоналу вводиться так само як і для функції.

Означення 9.2. Функціонал називається неперервним в точці , якщо для будь-якого існує такі, що лише тільки .

Приведемо основні банахові простори, які ми будемо розглядати.



І. Простір – неперервних на [a,b] функцій з нормою

. (9.1)

Збіжність по нормі в просторі – це рівномірна збіжність функцій на [a,b].



ІІ. Простір – це простір всіх неперервно диференційованих на [a,b] функцій з нормою

. (9.2)

Якщо послідовність по нормі , тобто . Тоді при .

Справедливе і обернене твердження.

ІІІ. Простір – простір функцій, які n-разів неперервно-диференційовані на [a,b]. Норма в цьому просторі вводиться наступним чином

. (9.3)

Близькість функцій в просторі означає близькість як самих функцій так і їх похідних до n-го порядку включно.

Аналогічно вводиться поняття неперервності (означення 9.2) в смислі близькості будь-якого порядку.

Наведемо декілька означень для кращого розуміння матеріалу.



Означення 9.3. Лінійним простором називається сукупність елементів довільної природи для яких визначені операції додавання та множення на число з такими умовами (аксіомами):

1) х+у=у+х;

2) (х+у)+z=х+(у+z);

3) існує ненульовий елемент 0: х+0=х, для всіх ;

4) існує для всіх елемент – такий, що х+(-х)=0;

5) 1*х=х;

6) ?(?х)=(??;

7) (?+?)х=?х+?х;

8) ?(х+у)=?х+?у.

Означення 9.4. Лінійний простір називається нормованим, якщо кожному елементу х?R, поставлено у відповідність невід’ємне число (норма елементу) так, що

1) тільки при х=0;

2) ;

3) .

Під відстанню в нормованому просторі розуміють між елементами х та у;



Означення 9.5. Функціонал називається лінійним на банаховому просторі В, якщо він неперервний на просторі В і

для будь-яких і будь-яких чисел .



Приклад 9.3. Наведемо приклади лінійних функціоналів:

а) , . Це лінійний функціонал у просторі ;

б) , . Це лінійний функціонал у просторі .

9.1.2. Приклади і класифікація задач варіаційного числення

Великий вплив на розвиток варіаційного числення дали наступні три задачі.

І. Задача про брахістохрону

В 1696 році Іоган Бернуллі розглянув задачу про знаходження лінії найшвидшого спуску – брахістохрони.

Необхідно визначити лінію, яка зв’язує дві точки А та В, які не лежать на одній вертикальній прямій. Лінія має ту властивість, що матеріальна точка скочується під дією сили тяжіння за мінімальний час (мал. 9.2).

Мал. 9.2


Нехай , – швидкість руху матеріальної точки, де g – прискорення вільного падіння. Звідки:

.

Отже


, (9.4)

. (9.5)

– крайові умови.



ІІ. Задача про геодезичні лінії

Необхідно визначити лінію найменшої довжини, яка з’єднує дві задані точки А і В на поверхні (мал. 9.3). Такі лінії називаються геодезичними.


Мал. 9.3

Це є типова варіаційна задача на умовний екстремум. Нехай точки на поверхні . Необхідно мінімізувати



(9.6)

при умовах



, (9.7)

. (9.8)

Ця задача була поставлена в 1698 р. Бернуллі а розв’язана Ейлером та Лагранжом.



ІІІ. Ізопериметрична задача

Необхідно знайти замкнену лінію заданої довжини , яка обмежує максимальну площу S (ще в стародавній Греції було відомо що цією лінією буде коло).

Тут необхідно обчислити екстремум функціоналу S при такому обмеженні

, (9.9)

де – постійна.

Загальний метод для розв’язання цієї задачі запропонував Ейлер.

Класифікацію задач варіаційного числення можна проводити по різному. Ми будемо дотримуватись тої, згідно якої будемо розглядати в подальшому матеріал.

І. Вид функціоналу:

а) ;

б) ;

в)

г) .

Тут функції є аргументами відповідних функціоналів.

ІІ. Вид граничних умов:

а) варіаційні задачі з фіксованими умовами, наприклад, для функціоналу а) ;

б) варіаційні задачі з вільними кінцями – та не фіксуються;

в) варіаційні задачі з рухомими границями (кінцями) та можуть належати деяким лініям чи поверхням.

При цьому та – можуть бути як фіксованими так і не фіксованими.

ІІІ. Додаткові умови:

а) безумовний екстремум – не задаються додаткові умови;

б) умовний екстремум – задаються додаткові обмеження.



9.1.3. Перша варіація функціоналу

З допомогою поняття лінійного функціоналу введемо поняття першого диференціалу (першої варіації функціоналу).

Під варіацією або приростом аргументу будемо називати різницю між та : .

З курсу математичного аналізу відомо означення.



Означення 9.6. Функція f(x) називається диференційованою в точці , якщо її приріст можна представити у вигляді

, (9.10)

де – лінійна функція, яка називається диференціалом функції f(x) в точці .

По аналогії дамо означення диференційованого функціоналу.

Означення 9.7. Функціонал називають диференційованим у точці , якщо його приріст можна представити у вигляді

, (9.11)

де – лінійний функціонал, який називають першою варіацією (або першим диференціалом) функціоналу в точці і позначають



Функціонал визначається єдиним чином.



Твердження 9.1. Якщо функціонал диференційований в точці , то його першу варіацію можна обчислити за формулою

. (9.12)

Доведення. Дійсно, нехай , де – фіксований елемент. Тоді, в силу (9.11), маємо , , тобто (9.12) справджується.

Приклад 9.4. Обчислити першу варіацію функціоналу

. (9.13)

Розв'язання. Скористаємося формулою (9.12)

(9.14)

Очевидно, що функціонал (9.13) являється диференційованим у всіх точках простору .



9.1.4. Необхідні умови екстремуму

Означення 9.8. Говорять, що функціонал досягає на кривій максимума, якщо на будь-якій близькій до кривій виконується нерівність .

Якщо , причому тільки на кривій , то говорять, що на кривій досягається строго максимум.

Якщо , то на кривій досягається мінімум.

Якщо близькість кривих розуміємо в смислі нульового порядку , то говорять, що на кривій досягається сильний максимум (мінімум).

Якщо близькість кривих розуміємо в смислі 1-го порядку , то говорять, що на кривій досягається слабий максимум (мінімум).

Це локальні мінімуми та максимуми. Вони називаються локальними екстремумами.

Будь-який сильний екстремум є і слабким але не навпаки.

Екстремум на всій множині називається абсолютним. Визначення локального екстремума можна подати і на мові .



Теорема 9.1. Нехай функціонал диференційований в точці . Якщо в цій точці досягається екстремум, то перша варіація функціоналу в цій точці дорівнює нулю

. (9.15)

(Співвідношення (9.15) виконується для будь-яких приростів ).



Доведення. Для визначеності нехай – точка мінімума. Нехай . Тоді існує елемент такий, що . Маємо при малих :

. (9.16)

Знак останнього виразу при малих співпадає зі знаком числа . Тут t можна вибирати таким чином, щоб це число було від’ємним. Отримане протиріччя і доводить теорему.



9.1.5. Основна лема варіаційного числення

Лема 9.1. Нехай f(x) неперервна на [a,b] функція і

(9.17)

для будь-якої функції з умовами



, (9.18)

то f(x)?0, х?[a,b].



Доведення. Припустимо, що . Тоді існує така, що . Це означає, що існує окіл такий, в якому , причому ?-окіл лежить в інтервалі (a,b). Побудуємо :

. (9.19)

Фунція (9.19) задовольняє всім умовам леми. В силу побудови



(9.20)

так як . Це протиріччя і доводить лему.



Зауваження 9.1 Лема залишається справедливою, якщо умови (9.17) виконуються для більш вузького класу функцій , які мають n?1 неперервні похідні на [a,b] і . Для цього достатньо в відповідній лемі побудувати n-раз неперервно-диференційовану функцію у вигляді:

. (9.21)

9.2 Рівняння Ейлера для різних типів функціоналів

9.2.1. Рівняння Ейлера для найпростішої задачі варіаційного числення

Теорема 9.2. Нехай у(х) – екстремаль задачі з закріпленими кінцями

, (9.22)

. (9.23)

Тоді у(х) задовольняє рівняння Ейлера



. (9.24)

Доведення. Якщо у(х) – екстремаль, то для будь-яких допустимих приростів h(x). Згідно рівності (9.14) перша варіація функціоналу має вигляд





.

В силу леми маємо необхідні умови (9.24). Теорема доведена.

Рівняння Ейлера – це диференціальне рівняння другого порядку

. (9.25)

9.2.2. Рівняння Ейлера для функціоналів, залежних від декількох функцій

Розглянемо функціонал



(9.26)

з закріпленими умовами



. (9.27)

Тут , , .

Нехай функція двічі неперервно диференційована за своїми змінними в області . Будемо шукати екстремум функціоналу (9.26) в класі . Нехай –допустимий приріст з , який задовольняє крайовим умовам

. (9.28)

Теорема 9.3 Якщо – екстремаль функціоналу (9.26) при умові (9.27), то вона задовольняє системі рівнянь Ейлера

, . (9.29)

Доведення. Розглянемо варіацію функціоналу

=

(інтегруємо по частинам враховуючи умови , )

.

Але кожна з – довільна функція .Вибираючи одну з них довільно , а останні , , отримуємо в силу основної леми



, . (9.30)

Систему рівнянь (9.30), кожне з яких другого порядку, розглядаємо з крайовими умовами (9.27).



9.2.3. Принцип найменшої дії

Нехай матеріальна точка маси в 3-вимірному просторі рухається в потенціальному силовому полі. Введемо функцію Лагранжа



, (9.31)

де кінетична енергія, – потенціальна.

Таким чином

. (9.32)

Інтеграл



(9.33)

називається дією. Дія є функціонал



.

Нехай


, . (9.34)

Принцип найменшої дії: матеріальна точка рухається по такій траєкторії, яка відповідає найменшій дії, тобто

. (9.35)

Для виводу диференціального рівняння руху з цього принципу необхідно записати рівняння Ейлера



. (9.36)

Рівняння (9.36) – це класичне рівняння Ньютона. Аналогічне рівняння можна записати для систем точок.



9.2.4. Рівняння Ейлера для функціоналів, залежних від функції багатьох змінних

Розглянемо функціонал



. (9.37)

Тут , , ,– обмежена область з гладкою границею .

Припустимо, що – двічі неперервно диференційована по сукупності всіх змінних при , а змінні змінюються в границі .

Екстремум шукаємо в класі неперервно диференційованих функцій при .

Обчислимо варіацію

+. (9.38)

Так як і для одномірного випадку справедлива лема.

Лема 9.2. Нехай функція неперервна при і

(9.39)

для довільної – неперервно диференційованої функції при такої, що



. (9.40)

Тоді в області .



Доведення. Дійсно, припустимо, що в деякій точці функція , наприклад, .

Тоді вона є додатною і в деякому – околі радіуса з області . Побудуємо



. (9.41)

Тоді інтеграл (9.41) зводиться до обчислення інтегралу по кругу і буде додатнім. Це протиріччя і доводить лему.



Теорема 9.4. Якщо екстремаль функціоналу (9.37) при умові

, (9.42)

де – відома на функція, тоді задовольняє в D рівнянню Ейлера



. (9.43)

Доведення. Перетворимо вираз (9.38), інтегруючи по частинам і враховуючи

=

(використовуємо формулу Остроградського



)



.

Так як на Г, то варіацію функціоналу запишемо у вигляді



0.

В силу леми (9.2) отримаємо (9.43). Теорема доведена.



9.2.5. Необхідні умови екстремуму для функціоналів, які залежні від похідних порядку вище першого

Розглянемо функціонал вигляду



(9.44)

і задачу з закріпленими кінцями



. (9.45)

Припустимо, що функція n раз неперервно диференційована по сукупності своїх змінних в області



.

Запишемо варіацію функціоналу (9.44)



+. (9.46)


Так як функціонал задовольняє крайовим умовам (9.45), то

. (9.47)

Інтегруючи (k+1)-ий вираз k раз по частинам в (9.46) і враховуючи (9.47), отримаємо



.

Тому варіацію функціоналу (9.46) перепишемо так





. (9.48)

Якщо – екстремаль функціоналу (9.44), то =0 для довільних допустимих приростів . З (9.48), в силу зауваження 9.1, отримаємо рівняння Ейлера



+...+=0. (9.49)

Рівняння (9.49) – це диференціальне рівняння порядку , яке розглядається разом з крайовими умовами (9.45).



9.3. Про достатні умови екстремуму функціоналів

Для прикладу розглянемо найпростішу варіаційну задачу для функціоналу (9.22) з крайовими умовами (9.23).



Достатні умови Веєрштраса. Функцією Веєрштраса називається функція, яка визначається рівністю

, (9.50)

де – нахил поля екстремалей розглянутої варіаційної задачі (9.22), (9.23) в точці .



Достатні умови слабкого екстремуму. Крива доставляє слабкий екстремум функціоналу (9.22), якщо:

  1. крива є екстремалью функціоналу (9.22) і задовольняє граничним умовам (9.23), тобто є розв'язком рівняння Ейлера для функціоналу (9.22), який задовольняє умовам (9.23);

  2. екстремаль може бути включена в поле екстремалей (в частинному випадку це буде, коли виконується умова Якобі);

  3. функція Веєрштраса повинна зберігати знак в усіх точках , які близькі до екстремалі , і для близьких до значень . Функціонал буде мати максимум на , якщо і мінімум, якщо .

Достатні умови сильного екстремуму. Крива доставляє сильний екстремум функціоналу (9.22), якщо:

  1. крива є екстремалью функціоналу (9.22), яка задовольняє граничним умовам (9.23);

  2. екстремаль може бути включена в поле екстремалей;

  3. функція Веєрштраса зберігає знак в усіх точках близьких до екстремалі і для довільних значень . При буде максимум, а при – мінімум.

Зауваження 9.2. Умова Веєрштраса необхідна для наявності екстремума в наступному розумінні – якщо в точках екстремалі для деяких значень функція має протилежні знаки, то сильний екстремум не досягається. Якщо ця властивість має місце при як завгодно близьких до значеннях , то не досягається і слабкий екстремум.

Приклад 9.3. Дослідити на екстремум функціонал

.

Розв'язання. Рівняння Ейлера для даного функціоналу має вигляд , так що екстремалями будуть прямі . Екстремалью, яка задовольняє заданим граничним умовам, є пряма . Нахил поля в точках цієї екстремалі . Очевидно, що дана екстремаль включається в центральне поле екстремалей з центром в точці . Неважко перевірити, що в даному випадку виконується умова Якобі. Рівняння Якобі в даному випадку має вигляд , в силу рівняння екстремалі маємо . Таким чином рівняння Якобі прийме вигляд , звідки отримаємо . З умови отримаємо . Так як цей розв'язок при , крім точки , в нуль не перетворюється, то умова Якобі виконана. Запишемо функцію Веєрштраса



.

Перший множник завжди додатній для будь-яких , а другий додатній при значеннях близьких до 2. Тобто, виконуються всі умови існування слабкого мінімуму. Якщо , то функція буде від'ємною і достатні умови сильного екстремуму не виконуються. Для даного випадку сильного екстремуму не має.

Достатні умови Лежандра. Нехай функція має неперервну частинну похідну , а екстремаль включена в поле екстремалей.

Якщо на екстремалі має місце умова , то на кривій досягається слабкий мінімум, якщо на екстремалі , то на ній досягається слабкий максимум функціоналу (9.22). Ці умови називаються підсиленими умовами Лежандра.

У випадку, коли в точках близьких до екстремалі при довільних значеннях , то маємо сильний мінімум, а у випадку, коли для вказаних значень аргументів , маємо сильний максимум.

Приклад 9.4. Дослідити на екстремум функціонал



.

Розв'язання. В даному прикладі екстремалями є наступні прямі . Екстремаллю, яка задовольняє граничні умови, є пряма . Вона може бути включена в центральне поле екстремалей . В даному випадку при будь-яких значеннях . Тобто, на екстремалі функціонал має сильний мінімум.








База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка