Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязяні відносно похідної



Скачати 224.16 Kb.
Дата конвертації29.12.2016
Розмір224.16 Kb.
Розділ 3. Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязяні відносно похідної

3.1. Основні поняття та означення. Теорема про достатні умови існування і єдиності розв’язку

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язане відносно похідної має вигляд



. (3.1)

Найбільш часто зустрічаються диференціальні рівняння першого порядку -ого степеня



. (3.2)

Означення 3.1. Функція , визначена і неперервно диференційовна на , називається розв’язком диференціального рівняння (3.1), якщо вона після підстановки в (3.1) перетворює це диференціальне рівняння в тотожність

.

Означення 3.2. Будемо говорити, що рівняння визначає розв’язок диференціального рівняння (3.1) в неявній формі, якщо воно визначає як функцію і вона є розв’язком диференціального рівняння (3.1).

Означення 3.3. Говорять, що співвідношенням , , , визначається розв’язок диференціального рівняння (3.1) в параметричній формі, якщо

.

Криві на площині , які відповідають розв’язкам, будемо називати інтегральними кривими.

Задача Коші – задача знаходження розв’язків, які задовольняють умові .

Означення 3.4. Говорять, що задача Коші для диференціального рівняння (3.1) з початковими умовами має єдиний розв’язок, якщо через точку в достатньо малому околі її проходить стільки інтегральних кривих, скільки напрямків поля визначає диференціальне рівняння в цій точці. В противному – не єдиний розв’язок.

Теорема 3.1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).

Якщо функція задовольняє наступним умовам:

а) є визначеною і неперервною разом зі своїми частинними похідними в деякому замкнутому околі точки ;

б) ;

в) ,

то диференціальне рівняння (3.1) має єдиний розв’язок , визначений і неперервно–диференційовний в околі точки , який задовольняє умові і такий, що .

(Теорема без доведення).

Припустимо, що розв’язуючи диференціальне рівняння (3.1) відносно , ми знайдемо дійсні розв’язки



, (3.3)

де визначені в області так, що ми маємо диференціальних рівнянь першого порядку, розв’язаних відносно . Припустимо, що в будь якій точці напрямки поля, визначені кожним диференціальним рівнянням (3.3), різні. Так що інтегральні криві різних рівнянь не можуть дотикатися один одного на .

Нехай кожне диференціальне рівняння (3.3) на має загальний інтеграл

. (3.4)

Означення 3.5. Сукупність інтегралів (3.4) будемо називати загальним інтегралом диференціального рівняння (3.1) в області .

Інколи замість співвідношення (3.4) записують



. (3.5)

Якщо поле на не задовольняє сказаному вище, тобто існує хоча б одна точка , в якій значення хоча б двох функцій співпадали, то інтегральні криві, які відповідають диференціальному рівнянню, дотикаються один одного в точці . Тому, крім інтегральних кривих диференціального рівняння (3.3), будуть ще склеєні інтегральні криві. Всі вони будуть входити в (3.4) або (3.5).

В загальному випадку диференціальне рівняння (3.1) не вдається розв’язати відносно в елементарних функціях. В цих випадках шукають однопараметричне сімейство інтегральних кривих у вигляді

, (3.6)


яке називається загальним інтегралом диференціального рівняння (3.1).

Якщо сімейство інтегральних кривих задано у вигляді

, (3.7)

то воно називається загальним розв’язком диференціального рівняння (3.1).



Зауважимо, що в (3.6) можуть входити і розв’язки диференціального рівняння виду (3.3), коли – комплексні. Ми таких диференціальних рівнянь не будемо розглядати, тому відповідні їм розв’язки треба виключати.

Сімейство інтегральних кривих, знайдене в параметричному вигляді



(3.8)

будемо називати загальним розв’язкам диференціального рівняння в параметричній формі.



Означення 3.6. Розв’язок диференціального рівняння (3.1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його точці задача Коші має єдиний розв’язок.

Означення 3.7. Розв’язок називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші.

Аналогічно диференціальним рівнянням, розв’язаним відносно , диференціальне рівняння (3.1) може мати розв’язки, які є ні частинними ні особливими.

Аналіз частинних і особливих розв’язків для цих рівнянь більш складний. Зауважимо, що в випадку (3.3) розв’язок буде особливим, якщо він буде особливим хоча б для одного з диференціальних рівнянь (3.3).

Приклад 3.1. Розв'язати диференціальне рівняння

. (3.9)

Розв'язання. З (3.9) маємо: . Тоді – загальний інтеграл. Його можна записати таким чином . Цей загальний інтеграл є накладка двох сімейств інтегральних кривих (мал. 3.1).

Мал. 3.1

Розв’язок задачі Коші для диференціального рівняння (3.9) в кожній точці площини є єдиним. В точці ми маємо два напрямки поля: . І через цю точку проходить дві інтегральні криві



, (3.10)

, якщо (3.11)

і та , якщо .

Розв’язки (3.10),(3.11) – частинні розв’язки при фіксованих . Особливих розв’язків немає.

3.2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок

Припустимо, що диференціальне рівняння (3.1) представлено в формі (3.3). При дослідженні на особливий розв’язок рівнянь виду (3.3) ми вище прийшли до висновку, що ці розв’язки можливі на тих кривих, на яких є необмеженою. Але переходити від диференціального рівняння (3.1) до рівнянь (3.3) – недоцільно при визначені особливих розв’язків, так як .

Дійсно, припустимо, що існують похідні та ,тоді

.

Звідки


. (3.12)

Припустимо, що , тоді буде необмеженою при умові



. (3.13)

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися з системи



. (3.14)

Розв’язком системи (3.14)

=0 (3.15)

є дискримінантна крива. Якщо вона задовольняє диференціальне рівняння (3.1) і в кожній точці порушується єдиність, то це буде особливий розв’язок.


Приклад 3.2. Дослідити на особливі розв'язки диференціальне рівняння

. (3.16)

Розв'язання. Знаходимо дискримінантну криву, розв'язуючи систему рівнянь

.

Маємо


. (3.17)

Співвідношення (3.17) – дискримінантна крива рівняння (3.16). А на ній ми маємо не два, а один напрямок поля . В той же час – через неї може проходити не одна інтегральна крива.



3.3. Загальний метод введення параметру

Розглянемо диференціальне рівняння (3.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію



(3.18)

так, що при всіх значеннях параметрів і .

Використовуючи (3.18) і співвідношення ми завжди диференціальне рівняння (3.1) можемо привести до диференціального рівняння, яке розв'язане відносно похідної

.

Тому


.

Візьмемо, наприклад, за незалежну змінну, – за залежну, тоді прийдемо до диференціального рівняння



. (3.19)

Якщо


(3.20)

– загальний розв'язок диференціального рівняння (3.19), то загальний розв'язок диференціального рівняння (3.1) можна отримати в параметричній формі



. (3.21)

Розглянемо деякі частинні випадки.



  1. Диференціальні рівняння, розв'язані відносно шуканої функції.

Це рівняння має вигляд

. (3.22)

За параметри і можна взяти і . Позначимо , тоді

. (3.23)

Маємо


.

Звідки


. (3.24)

Нехай – загальний розв'язок диференціального рівняння (3.24), тоді – загальний розв'язок диференціального рівняння (3.22).

Диференціальне рівняння (3.24) може мати особливий розв'язок , тоді диференціальне рівняння (3.22) може мати особливий розв'язок .


  1. Випадок, коли диференціальне рівняння розв'язане відносно незалежної змінної.

Це рівняння має вигляд

. (3.25)

Інтегрується воно аналогічно диференціальному рівнянню (3.22). Покладемо . Тоді

.

Використовуючи співвідношення , отримаємо



.

Звідки


. (3.26)

Якщо – загальний інтеграл диференціального рівняння (3.26), то



(3.27)

– загальний інтеграл диференціального рівняння (3.25).

Якщо – особливий розв'язок диференціального рівняння (3.26), то – може бути особливим розв'язком диференціального рівняння (3.25).

Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна проінтегрувати.



  1. Рівняння Лагранжа.

Це рівняння має вигляд

. (3.28)

Воно інтегрується в квадратурах. Покладемо . Тоді

. (3.29)

З (3.29) маємо



,

. (3.30)

Диференціальне рівняння (3.30) лінійне по



. (3.31)

Нехай – розв'язок диференціального рівняння (3.31). Тоді загальний розв'язок рівняння Лагранжа запишемо в параметричній формі



. (3.32)

Особливі розв'язки можуть бути там, де

, (3.33)

тобто


, (3.34),

де – корені рівняння (3.33).Розв'язок (3.34) може бути частинним або особливим.



  1. Рівняння Клеро.

Це рівняння – частинний випадок рівняння Лагранжа, коли

. (3.35)

Покладемо , тоді



. (3.36)

Використовуючи , отримаємо . Звідки



. (3.37)

Рівняння (3.37) розпадається на два



. (3.38)

Перше рівняння (3.38) дає , підставляючи його в (3.35) будемо мати загальний розв’язок

. (3.39)

Друге – , разом з (3.35) утворює параметричний розв’язок



. (3.40)

Розв’язок (3.40) є особливим, так як він співпадає з обвідною. Дійсно



,

звідки


. (3.41)

Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).


Приклад 3.3. Розв’язати рівняння Лагранжа

.

Розв'язання. Покладемо . Маємо , ,



, .

Отримали лінійне рівняння



.

Його розв’язок



, (3.42)

(3.43)

– загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі. Або, виключаючи , отримаємо



. (3.44)

Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають



.

Перший розв’язок – особливий, другий – частинний.


Приклад 3.4. Розв'язати рівняння

.

Розв'язання. Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок . Запишемо дискримінантну криву

.

Звідки – особливий розв’язок, так як через цей розв’язок проходить ще розв’язок, який міститься в загальному при .



3.4. Неповні рівняння

а) Диференціальні рівняння, які містять тільки похідну.

Це рівняння вигляду

. (3.45)

Рівняння (3.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних розв’язків



, (3.46)

де – деякі числа, які задовольняють рівняння .

Інтегруємо (3.46)

(3.47)

Так як , то



(3.48)

– загальний інтеграл диференціального рівняння (3.45).

Таким чином, при таких припущеннях інтегральні криві диференціального рівняння (3.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді (3.48). При цьому в (3.48) можуть входити комплексні розв’язки диференціального рівняння.

Приклад 3.5. Розв’язати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Згідно (3.48) – загальний інтеграл. Однак у нього, крім дійсного розв’язку , входять розв’язки комплексних диференціальних рівнянь .

б) Диференціальні рівняння, які не містять шуканої функції.

Такі рівняння мають вигляд

. (3.49)

Якщо (3.49) можна розв’язати відносно похідної



, (3.50)

то

(3.51)

є загальним інтегралом диференціального рівняння (3.49).

Якщо ж розв’язати відносно не можна, а допускається параметризація



, (3.52)

тобто


. (3.53)

Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі





. (3.54)

Якщо диференціальне рівняння (3.49) має вигляд



, (3.55)

тоді це рівняння легко параметризується . В частинному випадку . Загальний розв’язок запишеться в формі



. (3.56)

Приклад 3.6. Зайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв'язання. Вводимо параметризацію , тоді

, , .

Маємо


– загальний розв’язок в параметричній формі.

в) Диференціальні рівняння, які не містять незалежної змінної.

Це рівняння вигляду



. (3.57)

Якщо рівняння (3.57) розв’язане відносно , тобто



, (3.58)

то

(3.59)

є загальним інтегралом диференціального рівняння (3.57). Особливими розв’язками можуть бути криві , де корені рівняння (або ).

Якщо не можна диференціальне рівняння (3.57) розв’язати відносно , але воно допускає параметризацію



, (3.60)

то

(3.61)

– загальний розв’язок диференціального рівняння (3.57) в параметричній формі.

Приклад 3.7. Розв’язати диференціальне рівняння

.

Розв'язання. Введемо параметризацію ,

.

Звідки


– загальний розв’язок нашого рівняння в параметричній формі.

г) Узагальнено однорідні рівняння.

Диференціальне рівняння назвемо узагальнено однорідним, якщо ліва частина є однорідною функцією аргументів , яким відповідають величини -го, -го і виміру, тобто



. (3.62)

Зробимо заміну



, (3.63)

де – нова незалежна змінна, – нова шукана функція. Маємо



.

Тобто . З іншої сторони



. (3.64)

Підставимо (3.63),(3.64) в диференціальне рівняння (3.1)



.

Отримане рівняння



(3.65)

не містить незалежної змінної .





База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка