Програма навчальної дисципліни Диференціальні рівняння



Скачати 163.8 Kb.
Дата конвертації01.01.2017
Розмір163.8 Kb.


Міністерство освіти і науки України
Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна
Кафедра прикладної математики

ЗАТВЕРДЖУЮ


Перший проректор

професор Александров В.В.
“______”_______________2015р

Програма навчальної дисципліни


Диференціальні рівняння

(назва навчальної дисципліни)


напрям __________________6.040302 – Інформатика____________

(шифр, назва напряму)

спеціальність _______________________________________________

(шифр, назва спеціальності)

спеціалізація_________________________________________________

(шифр, назва спеціалізації)

факультет ___математики і інформатики__________________________

2015/2016 навчальний рік

Програму рекомендовано до затвердження Вченою радою факультету математики і інформатики
“_______”__________________ 2015 року, протокол № ___

РОЗРОБНИКИ ПРОГРАМИ: Сморцова Тетяна Іванівна, кандидат фізико-математичних наук,



доцент кафедри прикладної математики факультету математики і

інформатики
Програму схвалено на засіданні кафедри прикладної математики
Протокол від “____”________________ 2015 року № ___

Завідувач кафедри прикладної математики _______________________ ( Коробов В. І. )

(підпис) (прізвище та ініціали)

“_____”___________________ 2015р.


Програму погоджено методичною комісією факультету математики і інформатики
Протокол від “____”________________2015 року № ___

Голова методичної комісії _______________________ ( Анощенко О.О. )

(підпис) (прізвище та ініціали)

Вступ
Програма навчальної дисципліни “Диференціальні рівняння” складена відповідно до освітньо-професійної програми підготовки “Бакалавр” (заочно) напряму “6.040302 – Інформатика”.


Предметом вивчення навчальної дисципліни є сучасна теорія диференціальних рівнянь.
Програма навчальної дисципліни складається з таких розділів:

1. Основи теорії диференціальних рівнянь.

2. Лінійні рівняння та системи диференціальних рівнянь, властивості розв’язків систем диференціальних рівнянь
1. Мета та завдання навчальної дисципліни
1.1. Метою викладання навчальної дисципліни “Диференціальні рівняння” є надання майбутнім спеціалістам знань в галузі сучасної теорії диференціальних рівнянь та використання її методів при дослідженні прикладних задач.
1.2. Основними завданнями вивчення дисципліни “ Диференціальні рівняння ” є: навчити студентів інтегрувати диференціальні рівняння, розв’язувати лінійні системи диференціальних рівнянь, досліджувати стійкість розв’язків систем диференціальних рівнянь.
1.3. Згідно з вимогами освітньо-професійної програми “Бакалавр” (заочно) студенти повинні:

знати:


  • умови існування та єдиності розв’язку;

  • умови існування непродовжуваних розв’язків;

  • методи інтегрування рівнянь першого порядку;

  • методи інтегрування лінійних рівнянь;

  • методи інтегрування лінійних систем диференціальних рівнянь;

  • умови стійкості за Ляпуновим розв’язку ДР, системи ДР;

вміти:

  • розв’язувати основні типи диференціальних рівнянь;

  • розв’язувати лінійні системи диференціальних рівнянь;

  • досліджувати стійкість розв’язків ДР та систем ДР.

2. Опис навчальної дисципліни


Найменування показника

Галузь знань (предметна область), напрям, спеціальність, рівень вищої освіти / освітньо-кваліфікаційний рівень

Характеристика навчальної дисципліни

денна форма навчання

заочна форма навчання

Кількість кредитів – 4.0

Галузь знань



0403 системні науки та кібернетика
Напрям:

6.040302 – інформатика
Спеціальність:

Рівень вищої освіти



Бакалавр


Нормативна

Рік підготовки




1-й

Індивідуальне завдання


Семестр

Загальна кількість годин – 144




2-й

Лекції

Тижневих годин для денної форми навчання:

аудиторних:



14 год.

самостійної роботи студента:



130 год.




7 год.

Практичні, семінарські




7 год.

Лабораторні






Самостійна робота




130 год.

Індивідуальні завдання:



Вид контролю:




екзамен


3. Виклад змісту навчальної дисципліни
Розділ 1. Основи теорії диференціальних рівнянь
Тема 1. Вихідні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь (ДР).

  • Фізичні задачі, які призводять до диференціальних рівнянь.

  • Основні поняття та означення теорії ДР.

  • Лема про еквівалентність рівняння n-го порядку нормальній системі.

  • Лема про еквівалентність задачі Коші інтегральному рівнянню.

  • Лема Гронуолла-Беллмана.

Тема 2. Інтегровні класи диференціальних рівнянь першого порядку.

  • Рівняння з відокремлюваними змінними.

  • Однорідні рівняння.

  • Узагальнені однорідні рівняння.

  • Лінійні рівняння першого порядку.

  • Рівняння Бернуллі, рівняння Ріккаті.

  • Рівняння, що допускають зниження порядку.

Тема 3. Теорема Пікара існування та єдиності та продовження розв’язків.

  • Наслідки з теореми Пікара для систем ДР.

  • Наслідки з теореми Пікара для ДР n-го порядку.

  • Продовження розв’язків нормальних систем.


Розділ 2. Лінійні рівняння та системи диференціальних рівнянь, властивості розв’язків систем диференціальних рівнянь
Тема 1. Лінійні системи ДР із змінними коефіцієнтами.

  • Властивості розв’язків однорідних лінійних систем.

  • Фундаментальна система розв’язків та фундаментальна матриця, їх застосування.

  • Властивості розв’язків неоднорідних лінійних систем.

  • Матриця Коші та її застосування.

Тема 2. Лінійні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами.

  • Властивості розв’язків однорідних лінійних рівнянь n-го порядку.

  • Фундаментальна система розв’язків та її застосування.

  • Властивості розв’язків неоднорідних лінійних рівнянь n-го порядку.

  • Функція Коші та її застосування.

  • Двоточкова крайова задача та функція Гріна.

Тема 3. Лінійні ДР n-го порядку та лінійні системи ДР із сталими коефіцієнтами.

  • Фундаментальна система розв’язків однорідних лінійних ДР n-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

  • Метод невизначених коефіцієнтів для розв’язання неоднорідних лінійніх ДР n-го порядку зі сталими коефіцієнтами та квазіполіноміальною правою частиною.

  • Методи розв’язання лінійних систем ДР із сталими коефіцієнтами.

Тема 4. Стійкість за Ляпуновим розв’язків систем ДР.

  • Стійкість розв’язків лінійних систем із змінними коефіцієнтами.

  • Стійкість розв’язків лінійних систем із сталими коефіцієнтами.

  • Стійкість розв’язків нелінійних систем. Теореми Ляпунова про стійкість, асимптотичну стійкість та нестійкість.


4. Структура навчальної дисципліни

Назви модулів і тем



Кількість годин

Заочна форма

Усього

у тому числі

л

п

лаб

інд

ср

1

2

3

4

5

6

7

Розділ 1

Тема 1. Вихідні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь.

11

1










10

Тема 2. Інтегровні класи диференціальних рівнянь першого порядку.

49

1

3







45

Тема 3. Теорема Пікара існування та єдиності та Продовження розв’язків.

6

1










5

Разом за розділом 1

66

3

3







60

Розділ 2

Тема 1. Лінійні системи ДР із змінними коефіцієнтами.

16

1










15

Тема 2. Лінійні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами.

16

1










15

Тема 3. Лінійні ДР n-го порядку та лінійні системи ДР із сталими коефіцієнтами.

34

1

3







30

Тема 4. Стійкість за Ляпуновим розв’язків систем ДР.

12

1

1







10

Разом за розділом 2

78

4

4







70

Усього годин

144

7

7







130


5. Теми семінарських (практичних, лабораторних) занять


з/п


Назва теми

Кількість

Годин


1

Інтегровні класи рівнянь першого порядку

3

2

Лінійні однорідні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами

1

3

Лінійні неоднорідні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами

1

4

Методи розв'язання лінійних систем ДР зі сталими коефіцієнтами

1

5

Стійкість розв’язків ДР за Ляпуновим

1




Усього годин

7


6. Самостійна робота


з/п


Назва теми

Кількість

годин


Форма контролю

1

Вивчення матеріалу лекцій

45

Екзамен

2

Підготовка до практичних занять, виконання домашніх завдань

45

К.р.

3

Підготовка до контрольних робіт

20

К.р.

4

Підготовка до екзамену

20

Екзамен




Разом

130




7. Індивідуальні завдання
8. Методи навчання

  • лекції,

  • практичні заняття,

  • контрольні роботи,

  • консультації.


9. Методи контролю


  • проведення та перевірка контрольних робіт,

  • проведення екзамену.


10. Розподіл балів, які отримують студенти


Поточний контроль та самостійна робота

Разом

Екзамен

Сума

Розділ 1

Розділ 2

60

40

100

Т1

Т2

Т3

Т1

Т2

Т3

Т4

5

20

5

5

5

15

5


Шкала оцінювання


Сума балів за всі види навчальної діяльності протягом семестру

Оцінка за національною шкалою

для екзамену

для заліку

90-100

відмінно

зараховано



70-89

добре

50-69

задовільно

1-49

незадовільно

не зараховано


11. Рекомендоване методичне забезпечення
Базова література

  1. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

  2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

  3. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958.

  4. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

  5. Ляшко І.І. та ін. Диференціальні рівняння. К.: Вища школа, 1981.

  6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1979.


Допоміжна література

  1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

  2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

  3. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: Высш. шк. , 1989.

Вопросы к экзамену по курсу “Дифференциальные уравнения”

для студентов 2 курса ММФ (специальность информатика).


  1. Исходные понятия, связанные с одним уравнением, системой уравнений, замена уравнения n-го порядка системой дифференциальных уравнений.

  2. Лемма Гронуолла-Беллмана, лемма об эквивалентности задачи Коши интегральному уравнению.

  3. Теорема Пикара существования и единственности решения задачи Коши.

  4. Следствия из теоремы Пикара для систем уравнений, для уравнений n-го порядка.

  5. Продолжение решений. Теорема существования непродолжаемого решения.

  6. Свойства решений (5 свойств) линейных однородных систем дифференциальных уравнений.

  7. Теорема о существовании фундаментальной системы решений. Критерий фундаментальности матрицы, следствия. Теорема об общем решении линейной однородной системы.

  8. Свойства решений (4 свойства) линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений. Теорема об общем решении линейной неоднородной системы.

  9. Матрица Коши, её свойства, теорема о применении, следствия.

  10. Свойства решений (5 свойств) линейных однородных уравнений n-го порядка.

  11. Теорема о существовании фундаментальной системы решений. Теорема об общем решении линейного однородного уравнения n-го порядка.

  12. Свойства решений (4 свойства) линейных неоднородных уравнений n-го порядка. Теорема об общем решении линейного неоднородного уравнения n-го порядка.

  13. Функция Коши, её применение к решению неоднородного уравнения n-го порядка.

  14. Теорема о структуре фундаментальной системы решений линейных однородных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, следствие (о действительных решениях).

  15. Метод неопределённых коэффициентов, примечание.

  16. Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем с переменными матрицами.

  17. Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем с постоянными матрицами.

  18. Теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости.

  19. Определение функции Грина для линейного уравнения n-го порядка, теорема о её существовании.

  20. Краевая задача для уравнения n-го порядка, свойства её решений.

  21. Функция Грина краевой задачи, теорема о её существовании и единственности.

Затверджено на засіданні кафедри прикладної математики


Протокол № 15 від 19 листопада 2015 р.

Варианты контрольной работы № 1


№ 1
1.

2.

3.

4.




№ 2
1.

2.

3.

4.



№ 3
1.

2.

3.

4.

№ 4
1.

2.

3.

4.

№ 5
1.

2.

3.

4.

№ 6
1.

2.

3.

4.

№ 7
1.

2.

3.

4.

№ 8
1.

2.

3.

4.

№ 9
1.

2.

3.

4.

№ 10
1.

2.

3.

4.

№ 11
1.

2.

3.

4.

№ 12
1.

2.

3.

4.

№ 13
1.

2.

3.

4.

№ 14
1.

2.

3.

4.

№ 15
1.

2.

3.



4.





Варианты контрольной работы № 2


№ 1
1.
2.
3.
4.


№ 2
1.
2.
3.
4.


№ 3
1.
2.
3.
4.


№ 4
1.
2.
3.
4.






База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка