Програма курсу за вибором для учнів 10 класів історичного, історико-філологічного, літературного, філософського профілів



Скачати 177.93 Kb.
Дата конвертації05.11.2016
Розмір177.93 Kb.
ІСТОРІЯ ТРИГОНОМЕТРІЇ

Програма курсу за вибором для учнів 10 класів історичного, історико-філологічного, літературного, філософського профілів
Автор: Грицик Тетяна Андріївна, викладач математики ВНЗ «Надслучанський інститут» м. Березне Рівненської області
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Тригонометрія як галузь наукового знання має багату і цікаву історію, вивченню якої і присвячено цей курс. Історія тригонометрії налічує кіль­ка тисячоліть. Тригонометрія виникла в стародавності як один із розділів астрономії і в своєму розвитку пройшла декілька етапів, перш ніж набула сучасного вигляду. Кожен етап цього розвитку вирізняється своїми особли­востями, науковими пошуками та здобутками, іменами провідних учених, які зробили вагомий внесок у формування тригонометрії як науки. Курс присвячено розгляду історичних відомостей про виникнення та формуван­ня науки тригонометрії, основні етапи її розвитку, наукову діяльність з три­гонометрії математиків, астрономів, філософів та інших науковців різних часів і народів.

Вивчення історичних відомостей з тригонометрії сприяє збагаченню наукового світогляду учнів, закріпленню та розвитку інтересу до математи­ки. Для учнів, які планують пов'язати майбутню навчальну та професійну ді­яльність із гуманітарними науками, вивчення цього курсу доцільне з метою збагачення літературних, історичних, філологічних та філософських знань.

У процесі вивчення курсу особливу увагу слід звернути на питання, які розкривають походження тригонометричної символіки та терміноло­гії, роль*практичної діяльності людини в зародженні тригонометрії; порів­няльну характеристику різних етапів розвитку тригонометрії; інтеграцію та взаємозв'язок тригонометрії з різними галузями знань.

Вважаємо, що немає необхідності вимагати від учнів запам'ятовування всіх фактів, імен, дат тощо. Достатньо, щоб в результаті вивчення курсу учні вільно орієнтувалися в періодах розвитку тригонометрії, характеризували основні наукові здобутки та специфіку відповідного історичного періоду, на­зивали імена видатних учених, які розвивали тригонометрію, та їх основні наукові праці. При цьому важливо формувати в учнів навички та вміння самостійної та творчої роботи, наукового пошуку та дослідження.

Мета курсу — поглиблення та розширення уявлень учнів про тригономе­трію як складову загальнолюдської культури; демонстрація історії розвит­ку наукової думки на прикладі тригонометрії; розвиток творчих здібностей і навичок самостійної роботи учнів; виховання інтересу учнів до вивчення математики; інтеграція математичних і гуманітарних знань.

Під час вивчення курсу доцільно застосовувати різноманітні органі­заційні форми: доповіді учнів, бесіди, диспути, уроки-проекти, лекції. До провідних навчальних методів слід віднести самостійну роботу учнів та проблемно-пошукові методи. Форми контролю: доповіді, реферати, повідо­млення учнів; написання наукових робіт на запропоновані вчителем теми та

їх усний захист на підсумковому занятті. Засоби навчання: навчальна на на­укова література з історії тригонометрії, довідники, енциклопедії, портрети

вчених, реферати та наукові роботи учнів.

Курс призначений для учнів 10 класів гуманітарних профілів і розрахо­ваний на 8 годин.
РОЗПОДІЛ НАВЧАЛЬНОГО ЧАСУ

№з/п

Тема

Кількість годин

1

Вступ. Ранній період розвитку тригонометрії

1

2

Грецька тригонометрія

1

3

Індійська тригонометрія

1

4

Тригонометрія на Ближньому і Середньому Сході в Середні віки

1

5

Розвиток тригонометрії в Європі

2

6

Підсумкове заняття

2




РАЗОМ

8


ЗМІСТ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ


К-сть годин

Зміст навчального матеріалу





Тема 1. Вступ. Ранній період розвитку тригонометрії

Загальна характеристика тригонометрії як галузі знань. Значення тригонометричного матеріалу в сучасній науці. Причини заро­дження тригонометрії.

Потреби астрономії, землемірства, мореплавства, картографії у тригонометричних обчисленнях. Зачатки тригонометричних знань в Стародавньому Вавилоні та Єгипті. Папірус Аамеса.





«Начала» Евкліда. Праці Арістарха та Архімеда як джерела перших тригонометричних відомостей. Наука гномоніка. Астрономічні спо­стереження.




Тема 2. Грецька тригонометрія

Наука сферика. Батько грецької астрономії Гіппарх і його внесок у розвиток тригонометрії. Таблиці хорд Гіипарха і Клавдія Птолемея, способи їх складання. Менелай і його «Сферика». Праця Пто­лемея «Альмагест». Герон Александрійський. Особливості грецької тригонометрії.



1

Тема 3. Індійська тригонометрія

Тригонометричні знання в наукових трактатах індійців сіддхан-тах. Основні наукові праці: «Сур'я-сіддханта» («наука Сонця»), «Брахма-спхута-сіддханта» («Вдосконалена наука Брахми»). Ви­датні індійські астрономи і математики Брамагупта і Бхаскара. За­міна хорди синусом. Означення синуса. Таблиця синусів і спосіб її складання індусами. Лінія косинуса і лінія синус-верзуса. Плоска та сферична тригонометрія.



1

Тема 4. Тригонометрія на Ближньому і Середньому Сході в Середні віки

Виокремлення тригонометрії в самостійну науку. Уточнення три­гонометричних таблиць. Введення тангенса і обчислення таблиць тангенсів. Арабська тригонометрична термінологія. Збірники астрономічних і тригонометричних таблиць зіджи. Видатні на­уковці цього періоду, які займалися тригонометрією: Аль-Хорезмі, Аль-Батані, Абуль-Вафа, Біруні, Насіреддін Тусі, Масуд ал-Каші, Улугбек.



2

Тема 5. Розвиток тригонометрії в Європі

Формування тригонометрії європейськими вченими Середньо­віччя: Брадвардін, Регіомонтан, Ретікус, Пейрбах. Введення триго­нометричної символіки. Внесок Л. Ейлера в тригонометрію. Три­гонометрія і визначні російські математики М. І. Лобачевський та М. В. Остроградський. Автори тригонометричних формул. Триго­нометрія у зв'язку з розвитком вищої математики. Тригонометрія як шкільна дисципліна. Підручники з тригонометрії.



2

Підсумкове заняття


ВИМОГИ ДО НАВЧАЛЬНИХ ДОСЯГНЕНЬ УЧНІВ

Учень (учениця):

має уявлення:


  • про причини зародження тригонометрії;

  • способи складання математичних таблиць в різні часи;

  • історичні процеси формування основних тригонометричних по­нять (синус, косинус, тангенс, котангенс, тригонометрична функ­ція, радіан, одиничне коло, ліня синуса тощо);

знає:

  • особливості історичних періодів розвитку тригонометрії (грецької, індійської, європейської та інших);

  • видатних вчених, які зробили вагомий внесок у розвиток тригономе­трії, та зміст їх наукових здобутків у галузі тригонометрії;

  • основні історичні дати, які відображають формування науки триго­нометрії;

  • походження тригонометричної термінології та символіки;

уміє:

  • характеризувати в загальних рисах основні наукові праці з триго­нометрії різних часів та народів;

  • здійснювати порівняльну характеристику періодів розвитку триго­нометрії;

  • висловлювати власну точку зору щодо значення наукової події, яви­ща, процесу в розвитку тригонометрії;

  • самостійно знаходити та користуватися додатковими джерелами інформації з історії тригонометрії.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ВИКЛАДАННЯ КУРСУ

Тема 1. Вступ. Ранній період розвитку тригонометрії

Тригонометрія, як і будь-яка інша наука, виникла з потреб життя. В учнів слід сформувати уявлення про потреби в тригонометричних обчисленнях землемірів, моряків, астрономів та представників інших галузей практичної діяльності людини. До цього періоду належить виникнення терміна «три­гонометрія», що в перекладі з грецької означає вимірювання трикутників.

«Начала Евкліда» — найдавніша праця з геометрії, в якій закладено передумови науки тригонометрії. Так, 12-та і 13-та теореми цієї книги, по суті є теоремою косинусів.

Вагомий внесок в зародження тригонометрії зробили великі вчені древності Арістарх та Архімед. Слід назвати та охарактеризувати їх наукові праці, які заклали основу тригонометричних обчислень.

Вирішальну роль у формуванні тригонометрії відіграла сферична три гонометрія. Учні повинні мати уявлення про основні поняття, що характеризують небесну сферу та сферичну систему координат.

Наука гномоніка — одне із джерел-тригонометрії. З учнями слід роз­глянути поняття гномона, його практичні застосування в древності та взаємозв'язок з тригонометричними величинами..

Тема 2. Грецька тригонометрія

Найбільшу увагу античні вчені приділяли сфериці — науці, яка на ран­ньому етапі свого розвитку поєднувала практичну астрономію та геометрію на сфері. Сферика відіграла основоположну роль у процесі формування сфе­ричної тригонометрії. Основи старогрецької сферики викладені в працях Автоліка, Евкліда, Теодосія, Гіпсікла.

Значну роль в історії науки відіграла праця «Сферика» александрійського вченого І ст. н. е. Менелая, в якій вперше введено поняття сферичного трикутника, доведені базові теореми сферичної тригонометрії і створено теоретичну основу для тригонометричних обчислень. Важливе значення в історії тригонометрії має теорема Менелая, яка стала фундаментом усієї сферичної тригонометрії греків.

На цей період розвитку тригонометрії припадає життя і наукова діяль­ність видатного вченого древності, одного з основоположників астрономії Гіппарха. Щоб полегшити астрономічні обчислення, він склав таблиці хорд, виражених у частинах радіуса, які відігравали в той час роль сучасної та­блиці синусів. Після Гіппарха тригонометрією цікавився відомий грецький астроном і правитель Єгипта Птолемей. Доцільне ознайомити учнів з погля­дами Птолемея на побудову Всесвіту і його геоценітричною системою світу, зі способом складання математичних таблиць Птоліемея. Слід звернути увагу учнів на головний астрономічний трактат Птолемея «Альмагест», який вмі­щував основні на той час тригонометричні знання.

Важливо, щоб учні усвідомили специфіку грецької тригонометрії, яка полягає в тому, що: 1) в ній розглядалися хорди кола; 2) була відсутня будь-яка символіка; 3) тригонометрія складала допоміжний розділ астрономії.

Тема 3. Індійська тригонометрія

Особливе значення в історії математики має заміна хорди синусом. Синус був введений ще в «Сур'ї-сіддханті». У праціі «Аріабхатіам» індійського астронома і математика Аріабхати дано визначення синуса і наведена та­блиця 24-х його значень. Індійці також ввели відношення прилеглого кате­та до гіпотенузи, яке є косинусом. Заміна хорди синусом відбулася у зв'язку з тим, що індійські астрономи широко застосовували проективні методи, розроблені греками. Індійцям були відомі деякі співвідношення між триго­нометричними величинами. Так, наприклад, їм були відомі співвідношення sin2 а + cos2 а = r2, cos(90°-а) = sinа, sin ver2a = 2 sin2 а, а також вираз для синуса суми і різниці дуг.

Доцільно наголосити, що тригонометрія в Індії розвивалась, як і в Греції, у зв'язку з потребами астрономії, зокрема при вивченні переміщень Сонця і Місяця. Елементи тригонометрії були необхідні для обчислення відстаней і кутів під час спостережень за небесними тілами. Доцільно ознайомити учнів зі способом складання таблиць синусів, що використовувал індійці.

Важливо підкреслити здобутки індійців у розвитку тригонометричних знань порівняно з греками, які полягали у введенні півхорди (синуса) та косинуса, а також складанні тригонометричних таблиць замість таблиць хорд.

Тема 4. Тригонометрія на Ближньому і Середньому Сході в Середні віки

У VIII-XV ст. на розвиток тригонометрії вплинули народи сучасних територій Середньої Азії, Закавказзя, Ірану, Афганістану і Сирії. До кінця XI спільними зусиллями вчених Ближнього і Середнього Сходу були закладені основи тригонометрії як самостійної науки. Виділення тригонометрії в самостійну наукову галузь можна віднести до найвизначніших здобутків цього періоду її розвитку.

Особливу увагу слід приділити розгляду таких наукових здобутків цьо­го історичного відрізку часу:


  • у працях відомого астронома IX ст. Аль-Батані вводиться нова, не­відома досі тригонометрична величина, яку він назвав «тінню» і яка за сучасною термінологією є тангенсом або котангенсом;

  • наприкінці X ст. арабський геометр Абуль-Вафа запропонував метод складання таблиць синусів кутів через кожні 10', а також склав та­блицю тангенсів. Він використовував у своїх працях тригонометрич­ні величини, які тепер називаються секансом і косекансом;

  • Біруні уточнив і узагальнив результати, яких досягли його поперед­ники в тригонометрії. У праці «Канон Масуда» він виклав усі відомі на той час відомості з тригонометрії та суттєво їх доповнив;

  • азербайджанець Насіреддін Тусі вперше виділив тригонометрію як самостійну математичну науку. У своєму «Трактаті про повний чо-тирьохсторонник» Насіреддін довів теореми синусів і тангенсів і, по суті, завершив цикл основних ідей прямолінійної та сферичної три­гонометрії;

  • у першій половині XV ст. Масуд ал-Каші з великою точністю обчислив тригонометричні таблиці з кроком в 1', які протягом 250 років залишалися неперевершеними;

  • узбецький астроном і математик Улугбек склав тригонометричні та­блиці і вперше запропонував аналітичний метод обчислення синуса дуги одного градуса.

Підсумовуючи питання щодо розвитку тригонометрії в цей період, слід зазначити, що саме в цей час: 1) було введено нові тригонометричні величи­ни і складено для них таблиці; 2) знайдено значно точніші способи складання математичних таблиць, ніж ті, які застосовувалися до цього часу; 3) тригонометрія набула самостійного характеру; 4) араби вперше почали користувати­ся формулами, які містять тригонометричні величини.

Тема 5. Розвиток тригонометрії в Європі

З ХНІ ст. в Європі з'являються математичні праці, в яких значне міс­це відводиться тригонометрії. До них відносять наукові твори Леонардо Пізанського, Джона Пекхама, Джовані Кампано, Брадвардіна, Річарда з Ва-лінгфорда, Лінеріїса, Леві бен Герсона, Домініко де Клавазіо, Жана де Мер, Ніколая Кузанського.

Слід відзначити видатних учених цього періоду Брадвардіна та Регіо-монтана, які систематизували наявні тригонометричні відомості та суттє­во їх доповнили. Важливо повідомити про перший в Європі математичний твір, у якому тригонометрія розглядається окремо від астрономії,— «П'ять книг про трикутники всіх видів» Регіомонтана.

Історія плоскої та сферичної тригонометрії в XVI-XVII ст. пов'язана з іменами європейських учених Франческо Мавроліко, Христофа Клавія, Франсуа Вієта, Адріана ван Роумена, Бартоломея Пітіска.

На порозі XVII ст. в розвитку тригонометрії з'являється новий на­прям — аналітичний. Якщо до цього часу головною метою науки тригономе­трії вважалося розв'язування трикутників, то в XVII-XIX ст. тригонометрія поступово стає одним із розділів математичного аналізу.

Доцільно розглянути застосування тригонометрії в механіці, фізиці, техніці, особливо при вивченні коливальних рухів та інших періодичних процесів. У зв'язку з вивченням гармонічних коливань та інших коливаль­них рухів слід повідомити про видатного французького вченого Ж. Фур'є.

Важливо детально розглянути питання, що стосуються введення та вивчення тригонометричних функцій, побудови аналітичної теорії триго­нометричних функцій. Слід підкреслити абстрактність поняття тригономе­тричної функції, яке у процесі історичного розвитку набувало все ширшого застосування в теоретичних дослідженнях як у самій математиці, так і в її практичних застосуваннях. Бажано, щоб учні знали, коли й ким вперше були побудовані синусоїда, косинусоїда, тангенсоїда; хто й коли займався дослі­дженням тригонометричних функцій та їхніх графіків. Так, термін «триго­нометричні функції» запровадив у 1770 р. Г. Є. Кюгель у праці «Аналітична тригонометрія».

Більше часу слід приділити вивченню творчого та життєвого шляху ви­датного вченого Л. Ейлера, у працях якого тригонометрія набула сучасного вигляду. Він розглядав тригонометричні функції як певний клас аналітич­них функцій з дійсними та комплексними аргументами, з'ясував питання Про знаки тригонометричних функцій, відкрив зв'язок між тригонометрич­ними та показниковими функціями. Теорію тригонометричних функцій Ейлер вмістив у першому томі своєї книги «Вступ в аналіз нескінченних».
На основі праць Ейлера були складені.підручники тригонометрії. Один із перших — підручник тригонометрії М. Є. Головіна.

У XIX ст. питаннями тригонометрії та її викладання займалися видатні російські вчені М. І. Лобачевський і М. В. Остроградський. У праці М. І. Лобачевського «Алгебра або обчислення скінченних» тригонометрія розгляда­ється як область математичного аналізу.



До основних здобутків європейського періоду розвитку тригонометрії слід віднести розвиток аналітичної теорії тригонометричних функцій, значне удосконалення тригонометричної символіки та обґрунтувань, розгляд тригонометричних функцій не тільки кута і дуги, а й і довільних дійсних чисел.

ТЕМИ ДОСЛІДНИЦЬКИХ РОБІТ УЧНІВ З ІСТОРІЇ ТРИГОНОМЕТРІЇ

  1. Історія тригонометричних таблиць.

  2. Тригонометрія у працях Аль-Фарабі та Ібн Сіни.

  3. Початки тригонометрії на сфері.

  4. Астрономічна школа Улугбека та її внесок у розвиток тригонометрії.

  5. Наукові праці з тригонометрії IX-XV століть.

  1. Видатний європейський учений Йоган Мюллер (Регіомонтан) і його на­укова діяльність з тригонометрії.

  1. Історичні віхи розвитку сферичної тригонометрії.

  2. Наукові доробки з тригонометрії Насіреддіна Тусі.

  3. Тригонометрія і видатний математик Мухаммад ібн Муса аль-Хорезмі.

  4. Про методи визначення синуса одного градуса.

  5. Життя і наукова діяльність з тригонометрії Абу Райхана аль Біруні.

  1. Плоска та сферична тригонометрія як дві складові єдиної науки триго­нометрії.

  1. Наукова діяльність Леонарда Ейлера з тригонометрії.

  1. Тригонометрія як навчальний предмет у загальноосвітній середній школі.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.— М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1959.— 459 с.

  2. Выгодский М. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире.— М.: Наука, 1967.— 367 с.

  3. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столе­тия.— М.: Изд-во физ.-мат. лит., 1960.— 467 с.

  4. Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской матема­тики.— М.: Наука, 1977.— 181 с.

  5. Глейзер Г. И. История математики в школе. VII—VIII классы.— М.: Про­свещение, 1982.— 128 с.

  6. Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. — М.: Просве­щение, 1983.— 350 с.

  7. История математики: В 3 т.— Т. 1. С древнейших времен до начала ново­го времени. / Под ред. А. П. Юшкевича.— М.: Наука, 1970.— 350 с.

  8. История математики: В 3 т.— Т. 2. Математика XVII столетия / Под ред. А. П. Юшкевича.— М.: Наука, 1970.— 300 с.

  9. История математики: В 3 т.— Т. 3. Математика XVIII столетия / Под ред. А. П. Юшкевича.— М.: Наука, 1972.— 494 с.

  10. Кэджори Ф. История элементарной математики.— Одесса, 1917.

  11. Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии.— Ташкент: Фан, 1990.— 160 с.

  12. Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности.— 2-е изд.— Са­ранск: Мордовское книжное изд-во, 1977.— 370 с.

  13. Рыбников К. А. История математики.— М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974.— 454 с.

  14. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века.— М.—Л.: Гостехтеориздат, 1932.— 230 с.

  15. Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках.— М.—Л.: ОНТИ, 1938.—456 с.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка