Програма для вступників до аспірантури за спеціальністю 01. 01. 05 "Теорія ймовірностей та математична статистика"



Скачати 74.91 Kb.
Дата конвертації01.05.2017
Розмір74.91 Kb.
Програма

для вступників до аспірантури за спеціальністю 01.01.05

“Теорія ймовірностей та математична статистика”

Загальна частина


1.Математичний аналіз

1)Неперервні та рівномірно неперервні функції. Типи розривів. Неперервність елементарних функцій.

2)Похідна та диференціал функцій однієї та кількох змінних. Необхідні й достатні умови диференційовності функцій кількох змінних. Достатні умови локального екстремуму функції кількох змінних.

3)Формула Тейлора з різними формами залишкових членів. Основні розклади.

4)Інтеграл Рімана, умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца.

5)Числові та функціональні ряди. Сума ряду, ознаки збіжності. Абсолютна збіжність. Рівномірна збіжність.

6)Властивості суми функціонального ряду: теореми про неперервність, інтегровність, диференційовність.

7)Ряд Тейлора. Умови розкладу функції в ряд Тейлора. Основні розклади.

8)Формула заміни змінних у кратному інтегралі.

9)Формули Гріна, Гаусса-Остроградського, Стокса.

10)Теорема Банаха про стискаючі відображення.

2.Теорія міри та інтеграла

1)Алгебри та сигма-алгебри, монотонні класи. Міри, зовнішні міри, продовження мір.

2)Міри та заряди, сигма-скінченні міри.

3)Конструкція міри Лебега.

4)Вимірні функції. Критерій вимірності.

5)Збіжність за мірою та збіжність майже всюди.

6)Конструкція інтеграла Лебега.

6)Теорема про граничний перехід під знаком інтеграла Лебега.



3.Функціональний аналіз

1)Гільбертів простір. Ортонормовані базиси.

2)Лінійні, неперервні, обмежені оператори. Норма оператора.

3)Теорема Гана-Банаха.

4)Теорема Банаха про обернений оператор.

5)Принцип рівномірної обмеженості.

6)Компактні оператори та теореми Фредгольма.

4.Лінійна алгебра

1)Матриці та дії над ними. Обернена матриця.

2)Лінійні перетворення. Ранг і дефект лінійного перетворення.

3)Визначники, їх властивості та застосування.

4)Жорданова нормальна форма лінійного оператора (матриці).

5.Диференціальні рівняння

1)Теореми Пікара та Пеано для нормальної системи.

2)Теорема про існування ФСР ЛОР і ЛОС.

3)Теорема про залежність розв’язку задачі Коші для нормальної системи від початкових даних і параметрів.

4)Теорема про існування повного набору перших інтегралів для нормальної системи.

5)Теорема про стійкість за першим наближенням.

6)Теорема Ляпунова про стійкість і асимптотичну стійкість.

6.Варіаційне числення

1)Теореми про апроксимацію в нормованих і гільбертових просторах.

2)Принцип максимуму Понтрягіна в задачах Больца та оптимальної швидкодії.

7.Рівняння математичної фізики

1)Гармонічні функції та їх властивості.

2)Поняття фундаментального розв’язку для рівняння теплопровідності.

3)Функція Гріна неоднорідної крайової задачі Діріхле в крузі.



8.Теорія ймовірностей

1)Незалежні випадкові величини, критерій незалежності, перетворення незалежних величин.

2)Збіжність за ймовірністю та її властивості.

3)Теорема Леві про збіжність функцій розподілу та їх характеристичних функцій.

4)Теореми Ліндеберга і Ляпунова для загальних послідовностей.

5)Процес Пуасона та його розподіл.

6)Основні властивості математичного сподівання.

7)Нормальні випадкові вектори, їх сумісна щільність та параметри, нормальні вектори на площині.

8)Перехід до границі під знаком математичного сподівання.

9)Збіжність майже напевне, лема Бореля-Кантеллі.

10)Характеристична функція випадкової величини та її властивості.

9.Математична статистика

1)Критерій оптимальності Крамера-Рао для векторного параметра.

2)Теорема Рао-Блекуелла-Колмогорова.

3)Критерій для поліноміальної схеми Бернуллі.

4)ОМВ та ефективні, достатні статистатики. Інваріантність ОМВ.

5)Спектральне зображення стаціонарного процесу.

6)Варіаційний ряд, розподіл порядкових та рангових статистик.

7)Достатні статистики, умовний розподіл вибірки, приклади.

8)Статистики від нормальних виборок, їх сумісний розподіл.

9)Критерій однорідності, незалежності.

10)Квадратично інтегровані процеси. Лема про продовження ізометрії підпросторів.

9.Компьютерна статистика

1)Дискримінантний аналіз як реалізація баєсового підходу до задачі класифікації.


Спеціальна частина


1.Загальні поняття теорій ймовірностей

  1. Побудова ймовірнісних просторів на прямій, у скінченновимірному та нескінченновимірному просторах.

  2. Теорема Колмогорова про продовження узгодженої системи скінченновимірних розподілів.

  3. Випадкові величини та елементи, породжені розподіли та сигма-алгебри. Лема про вимірність.

  4. Незалежні системи подій, незалежні системи випадкових величин та їх перетворення. Закони нуля та одиниці Колмогорова, Хьюітта-Севіджа.

  5. Багатовимірний нормальний розподіл, гауссівські системи.

  6. Математичне сподівання, лема про апроксимацію. Означення та властивості.

  7. Перехід до границі під знаком математичного сподівання. Рівномірна інтегровність та її властивості.

  8. Збіжність випадкових величин майже напевне, за ймовірністю та в середньому, співвідношення між ними. Фундаментальність.

  9. Умовне математичне сподівання для скінченних сигма-алгебр. Загальне означення умовного сподівання, існування та єдиність. Властивості умовного сподівання.

  10. Умовне математичне сподівання відносно систем випадкових величин, властивості, обчислення та приклади. Функція регресії, лінійна регресія.

  11. Умовні ймовірності, існування регулярних умовних розподілів.

  12. Нерівність Колмогорова. Теореми Колмогорова про один, два та три ряди. Посилений закон великих чисел.

  13. Ергодична теорема для строго стаціонарних послідовностей.

  14. Закон повторного логарифму для стандартної гаусової послідовності.

2.Граничні теореми теорії ймовірностей

  1. Збіжність в основному та її властивості.

  2. Слабка збіжність та її властивості.

  3. Теорема Хеллі. Теорема Прохорова.

  4. Характеристична функція випадкової величини та її властивості.

  5. Теорема Леві.

  6. Загальна гранична теорема для стандартних послідовностей серій випадкових величин.

  7. Теореми Ліндеберга та Ляпунова для загальних послідовностей серій випадкових величин.

  8. Центральна гранична теорема для випадкових векторів.

  9. Формула обертання для характеристичних функцій.

  10. Розклад Еджворта у ЦГТ.

  11. Теорема Беррі-Ессеєна.

  12. Безмежно подільні розподіли, зображення Леві-Хінчина.

3.Елементи теорії випадкових процесів

  1. Випадковий процес Пуассона. Означення, розподіл та застосування.

  2. Вінерівський процес. Означення, розподіл процесу, властивості траєкторій та застосування.

  3. Цілочисельне блукання на прямій, негратчатість. Моменти досягнення та повернення. Критерії рекурентності.

  4. Мартингали, суб- та супер мартингали. Марковські моменти та їх перетворення.

  5. Теорема Дуба про випадкову зупику мартингала.

  6. Нерівності для числа перетинів смуги та для інших функціоналів від мартингалів.

  7. Теореми про збіжність мартингалів.

  8. Розклад Дуба-Мейєра.

  9. Оптимальна зупинка випадкової послідовності.

  10. Марковські процеси з неперервним часом. Рівняння Колмогорова-Чепмена. Напівгрупи операторів, генератор.

  11. Стрибкуваті процеси, час перебування та розподіл стрибка.

  12. Сильно неперервні напівгрупи, резольвента.

  13. Теорема Хілле-Іосіда.

4.Основні поняття математичної статистики

  1. Статистичний простір, вибірка. Кратна вибірка, функція вірогідності. Поняття статистики як функції від спостережень та статистичної оцінки. Властивості оцінок, незміщеність, конзистентність. Основні задачі математичної статистики.

  2. Оцінювання невідомої ймовірності події в схемі Бернуллі.

  3. Емпірична функція розподілу, її властивості.

  4. Порядкові статистики, варіаційний ряд, вектор рангів. Теоретичні та емпіричні квантилі.

  5. Вибіркові моменти. Вибіркові середні та дисперсії, їх властивості. Оцінювання параметрів розподілу методом моментів. Приклади застосувань методу моментів.

  6. Незміщені оцінки з мінімальною дисперсією. Кількість інформації за Фішером, функція впливу. Нерівність Крамера-Рао. Ефективність та асимптотична ефективність.

  7. Оцінювання параметрів в схемі Бернуллі, нормального розподілу. Достатні статистики. Достатність та оптимальність.

  8. Рівняння максимальної вірогідності. Співвідношення з оптимальними та ефективними оцінками. Оцінки максимальної вірогідності параметрів нормального розподілу, лог-нормального розподілу.

  9. Властивості оцінок максимальної вірогідності. Приклади.

  10. Сумісний розподіл для вибіркових середнього та дисперсії нормальної випадкової величини. Статистика Стьюдента. Інтервальні оцінки параметрів нормальної вибірки.

  11. Постановка задач перевірки гіпотез, статистична гіпотеза та альтернатива, статистичний критерій, критична область. Похибки першого та другого роду, рівень та потужність критерію. Незміщений, конзистентний критерій.

  12. Непараметричні критерії Колмогорова, Смірнова.

  13. Рангові критерії однорідності, незалежності. Рандомізація.

  14. Перевірка гіпотез про параметри нормальних спостережень.

  15. Статистика хі-квадрат для поліноміальної схеми випробувань.

  16. Критерій хі-квадрат для простих та складних гіпотез.

  17. Групування, гістограма. Критерії хі-квадрат для перевірки узгодженості з функцією розподілу, перевірки однорідності, незалежності факторів.

  18. Найбільш потужні критерії. Лема Неймана-Пірсона.

  19. Рандомізовані критерії. Рівномірно найбільш потужні критерії з монотонним відношенням вірогідностей. Приклади для нормальних виборок. Поняття про послідовний аналіз.

  20. Метод найменших квадратів для лінійної регресії. Рівняння методу, розклад суми квадратів відхилень.

  21. Теорема Гаусса-Маркова. Поліноміальна регресія.

  22. Гільбертів простір квадратично інтегрованих величин. Спектральне зображення коваріаційної функції стаціонарної послідовності.

  23. Стохастичний інтеграл за мірою з ортогональними значеннями.

  24. Теорема Карунена.

  25. Спектральний розв’язок задачі оптимального лінійного прогнозу. Процеси авторегресії та рухомого середнього.

Література


1.Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла – Киев, Вища школа, 1989

2.Дороговцев А.Я. Математичний аналіз, у двох частинах – Київ, Вища школа, 1993

3.Ядренко М.Й. Дискретна математика – Київ, Експрес, 2003.

4.Ширяев А.Н. Вероятность – Москва, МЦНМО, 2004, 1-2тт.

5.Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика – Киев, Вища школа, 1988

6.Скороход А.В. Елементи теорії ймовірностей та випадкові процеси – Київ, Вища школа, 1975

7.Скороход А.В. Лекції з теорії випадкових процесів – Київ, Либідь, 1990

8.Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика – Москва, Высшая школа, 1984

9.Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ – Киев, Вища школа, 1990

10 Гихман И.И., Скороход А.В., Теория случайных процессов, в 3 т., Москва, Наука, 1980

11.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей – Москва, Наука, 1988

12.Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики – Москва, Наука, 1982

13.Боровков А.А. Теория вероятностей – Москва, наука, 1987

14.Коваленко И.Н., Гнеденко Б.В. Теория вероятностей –Киев, Виша школа, 1990

15.Розанов А.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статитстика – Москва, наука, 1985

16.Лоев М. Теория вероятностей - Москва, ИЛ, 1962

17.Неве Ж. Математические основы теории вероятностей –Москва, 1969

18. Ламперти Дж. Вероятность – Москва, Наука, 1973

19.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В двух томах – Москва, Мир, 1984

20.Уиттл П. Вероятность -Москва, Наука, 1982

21.Карташов М.В. Теорія ймовірностей та математична статистика – Київ, Твімс, 2004

22.Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов – Москва, Физматгиз, 2003









База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка