Програма для студентів спеціальності математика, статистика, механіка Затверджено



Скачати 132.18 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір132.18 Kb.
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
механіко-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу

Назва кафедри



Укладач(і):канд. фіз.-мат. наук. Нагорний В.Н.

вчене звання, прізвище та ініціали



Математичний аналіз

назва дисципліни



РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
для студентів спеціальності математика, статистика, механіка
Затверджено

на засіданні кафедри

Протокол № _______

від «___» ____ ____

Зав. кафедри

_____________ Шевчук І.О.


Декан факультету

____________ Городній М.Ф.

Робоча навчальна програма з дисципліни «Математичний аналіз».
Укладач(і):канд. фіз.-мат. наук. Нагорний В.Н.

вчене звання, прізвище та ініціали

Лектори: канд. фіз.-мат. наук., доц. Нагорний В.Н.,

канд. фіз.-мат. наук., доц. Назаренко М.О.

канд. фіз.-мат. наук, доц. Петрова Т.О.

Викладачі: докт. фіз.-мат. наук, проф. Шевчук І.О.,

канд. фіз.-мат. наук, ас. Бондаренко А.В.,

ас. Мітін Д.Ю.




Погоджено

з науково-методичною комісією

«_____» ______________ 2007 р.

___________________________

Змістовий модуль 1
Тема 1. Кратні інтеграли.


  1. Бруси. Діаметр і міра бруса. Розбиття і підрозбиття бруса. Верхні, нижні суми Дарбу та інтегральні суми і їх властивості. – 2 год.

  2. Інтегровні по брусу функції. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної на брусі функції. – 2 год.

  3. Зведення -кратного інтегралу по брусу до однократних інтегралів. Приклади. – 2 год.

  4. Множини вимірні за Жорданом. Міра Жордана, критерій вимірності. –

2 год.

  1. Властивості вимірних за Жорданом множин. – 2 год.

  2. Циліндричні множини та теорема про їх вимірність. - 2 год.

  3. Інтеграл по вимірним множинам і його властивості. Теорема про обчислення інтегралів по циліндричним множинам. – 2 год.

  4. Відображення спеціального виду та теорема про вимірність образу при відображенні спеціального виду. – 2 год.

  5. Формула заміни змінних в кратних інтегралах при відображенні спеціального виду. – 2 год.

  6. Формула заміни змінних в кратних інтегралах. – 2 год.

  7. Поняття про невласні кратні інтеграли. – 2 год.

Лабораторна робота 1. Рівномірна збіжність невласних інтегралів. –

2 год.

Лабораторна робота 2. Властивості невласних інтегралів як функції параметра. – 2 год.



Лабораторна робота 3. Властивості функцій, що визначаються невласними інтегралами. – 2 год.

Лабораторна робота 4. Ейлерові інтеграли. – 2 год.

Лабораторна робота 5. Властивості Ейлерових інтегралів. – 2 год.

Лабораторна робота 6. Бруси. Розбиття і підрозбиття брусів. Суми Дарбу та інтегральні суми. – 2 год.

Лабораторна робота 7. Обчислення інтегралів по брусу. – 2 год.

Лабораторна робота 8. Множини вимірні за Жорданом. Інтеграли по вимірним множинам. – 2 год.

Лабораторна робота 9. Обчислення інтегралів по циліндричним множинам в . – 2 год.

Лабораторна робота 10. Обчислення інтегралів по циліндричним множинам в . – 2 год.

Лабораторна робота 11. Формула заміни змінних. Полярні координати. – 2 год.

Лабораторна робота 12. Обчислення площ. Узагальнені полярні координати. – 2 год.

Лабораторна робота 13. Сферичні координати і формула переходу до сферичних координат. – 2 год.

Лабораторна робота 14. Невласні подвійні і потрійні інтеграли. – 2 год.

Самостійна робота – 40 год. (Опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань).
Контрольні запитання і завдання.


  1. Невласні інтеграли що залежать від параметру.

  2. Рівномірна збіжність. Ознаки рівномірної збіжності Вейєрштраса, Діріхле та Абеля.

  3. Властивості функцій що визначаються невласними інтегралами залежними від параметру.

  4. Обчислення інтегралів Ейлера-Пуасона та Діріхле.

  5. -функція Ейлера. Основна теорема теорії -функції.

  6. Основні формули для -функції.

  7. - функція Ейлера. Зв’зок із -функцією.

  8. Поняття бруса, розбиття і підрозбиття бруса. Верхньої та нижньої суми Дарбу, інтегральної суми.

  9. Поняття - кратного інтегралу. Критерій інтегровності.

  10. Зведення - кратного інтегралу до повторних.

  11. Множини вимірні за Жорданом. Інтеграли по вимірним множинам.

  12. Циліндричні множини та теорема про вимірність циліндричної множини.

  13. Обчислення - кратного інтегралу по циліндричній множині.

  14. Формула заміни змінних в кратних інтегралах при відображенні спеціального виду.

  15. Формула заміни змінних в кратних інтегралах при загальних відображеннях.

  16. Полярні, циліндричні та сферичні координати.

  17. Поняття про невласні кратні інтеграли.

Змістовий модуль 2.


Тема 2. Інтегрування по многовидам і загальна теорема Стокса.

  1. Регулярні перетворення. Допустимі координатні простори і орієнтація. Диференціальні форми степеня в , та їх властивості. – 2 год.

  2. Поняття многовиду вимірності в просторі і орієнтація многовиду. Орієнтовна крива та орієнтовна поверхня в . – 2 год.

  3. Диференуціальні форми степеня в і їх властивості. Визначення інтегралу від диференціальної форми степеня по -вимірному орієнтованому многовиді в . – 2 год.

  4. Криволінійний інтеграл 2-го роду. Криволінійний інтеграл 2-го роду як границя інтегральних сум. – 2 год.

  5. Поверхневий інтеграл 2 –го роду. – 2 год.

  6. Загальна формула Стокса в спеціальному випадку. Формула Ньютона-Лейбніца, формула Гріна, формула Острошрадського-Гауса. – 2 год.

  7. Загальна формула Стокса. Наслідки. – 2 год.

  8. Криволінійний інтеграл 2-го роду від диференціалу. Однозв’язні множини. – 2 год.

  9. Незалежність криволінійного інтегралу другого роду від шляху інтегрування. – 2 год.

Лабораторна робота 15. Криволінійні інтеграли другого типу. – 2 год.

Лабораторна робота 16. Поверхневі інтеграли другого типу. – 2 год.

Лабораторна робота 17. Формула Гріна. Обчислення площ. – 2 год.

Лабораторна робота 18. Формула Остроградського-Гауса та формула Стокса. – 2 год.

Лабораторна робота 19. Умови незалежності криволінійного інтегралу

2-го роду від шляху інтегрування. – 2 год.


Самостійна робота – 40 год. (Опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань).
Контрольні запитання і завдання.

  1. Регулярні відображення.

  2. Допустимі координатні простори і орієнтація.

  3. Диференціальні форми степеня в .

  4. Многовиди вимірності в . Орієнтовані многовиди.

  5. Орієнтовані криві і поверхні в .

  6. Диференціальні форми степеня в . Визначення інтегралу від диференціальної форми степеня по -вимірному орієнтованому многовиду в .

  7. Криволінійний інтеграл 2-го роду.

  8. Криволінійний інтеграл 2-го роду як границя інтегральних сум.

  9. Загальна формула Стокса в спеціальному випадку.

  10. Формула Ньютона-Лейбніца, формула Гріна та формула Остроградського-гауса.

  11. Загальна формула Стокса.

  12. Формула Гріна, та формула обчислення площ в загальному випадку.

  13. Формула Остроградського-Гауса та формула обчислення об’ємів в загальному випадку.

  14. Формула Стокса в .

  15. Криволінійний інтеграл 2-го роду від диференціалу.

  16. Однозв’язні множини. Однозв’язність зіркової множини.

  17. Незалежність криволінійного інтегралу другого роду від шляху інтегрування.

Змістовий модуль 3.


Тема 3. Міра на многовидах. Інтеграли 1-го роду по -вимірному многовиді в .

  1. Міра на гіперплощині. Означення міри на многовиді. – 2 год.

  2. Довжина дуги кривої. Інтеграл 1-го роду по многовиду вимірності в . Криволінійний інтеграл 1-го роду. – 2 год.

  3. Площа поверхні. Поверхневий інтеграл 1-го роду. – 2 год.

  4. Елементи теорії поля.- 2 год.

Лабораторна робота 20. Довжина дуги кривої. Криволінійні інтеграли першого роду. – 2 год.

Лабораторна робота 21. Площа поверхні. Поверхневі інтеграли 1-го роду. – 2 год.

Лабораторна робота 22. Зв’язок між інтегралами 1-го та 2-го родів. –

2 год.

Лабораторна робота 23. Основні поняття теорії поля. – 2 год.


Тема 4. Ряди Фур’є та інтеграл Фур’є.

  1. Скалярний добуток в та його властивості. Ортогональність функцій. Ортонормовані набори функцій. Лінійно незалежні на функції. – 2 год.

  2. Замкнені послідовності функцій в . Коефіцієнти Фур’є і ряд Фур’є. – 2 год.

  3. Ряди Фур’є по тригонометричній системі функцій. – 2 год.

  4. Поточкова збіжність ряду Фур’є. Принципи локалізації рядів Фур’є. – 2 год.

  5. Ознаки Діні та Ліпшіца поточкової збіжності ряду Фур’є. Рівномірна збіжність ряду Фур’є. – 2 год.

  6. Почленне інтегрування та диференціювання рядів Фур’є. – 2 год.

  7. Ряд Фур’є для функцій з довільним періодом. – 2 год.

  8. Поняття про інтеграл Фур’є. – 2 год.

  9. Ознаки Діні та Ліпшіца поточкової збіжності інтегралу Фур’є. – 2 год.

  10. Перетворення Фур’є та цого властивості. – 2 год.

Лабораторна робота 24. Простір з віддаллю в середньому квадратичному. – 2 год.

Лабораторна робота 25. Скалярний добуток функцій із , норма функції, ортогональність, лінійна залежність. – 2 год.

Лабораторна робота 26. Задача про найкраще наближення в середньому квадратичному. – 2 год.

Лабораторна робота 27. Повні і замкнені послідовності функцій. – 2 год.

Лабораторна робота 28. Розклад функцій в ряд Фур’є по тригонометричній послідовності функцій. – 2 год.

Лабораторна робота 29. Ознаки поточкової збіжності Діні та Ліпшиця ряду Фур’є. – 2 год.

Лабораторна робота 30. Розклад в ряд Фур’є функцій з довільним періодом. – 2 год.

Лабораторна робота 31. Почленне інтегрування та диференціювання рядів Фур’є.

Лабораторна робота 32. Рівність Парсеваля для тригонометричної системи функцій на , та . – 2 год.

Лабораторна робота 33. Інтеграл Фур’є та ознаки його збіжності. – 2 год.

Лабораторна робота 34. Перетворення Фур’є. – 2 год.


Самостійна робота – 40 год. (Опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань).
Контрольні запитання і завдання.

  1. Міра на гіперплощині в .

  2. Міра на многовиді в .

  3. Інтеграли першого роду по -вимірному многовиді в .

  4. Довжина дуги кривої в .

  5. Криволінійний інтеграл першого роду в .

  6. Площа поверхні в .

  7. Поверхневий інтеграл першого роду.

  8. Зв’язок між криволінійними інтегралами першого та другого роду.

  9. Зв’язок між поверхневими інтегралами першого та другого роду.

  10. Криволінійні та поверхневі інтеграли першого роду як границі інтегральних сум.

  11. Основні поняття теорії поля.

  12. Скалярний добуток в . Ортогональність.

  13. Лінійно незалежні на набори функцій. Ортонормовані набори функцій.

  14. Повні та замкнені послідовності функцій в .

  15. Коефіцієнти Фур’є і ряди Фур’є. Збіжність ряду Фур’є в середньому квадратичному.

  16. Ряди Фур’є по тригонометричній послідовності функцій.

  17. Поточкова збіжність ряду Фур’є.

  18. Ознаки Діні та Ліпшіца поточкової збіжності ряду Фур’є.

  19. Рівномірна збіжність ряду Фур’є.

  20. Почленне інтегрування та диференціювання ряду Фур’є.

  21. Ряд Фур’є для функцій з довільним періодом.

  22. Інтегральна формула Фур’є. Інтеграл Фур’є.

  23. Ознаки Діні та Ліпшіца поточкової збіжності інтегралу Фур’є.

  24. Перетворення Фур’є.

Список рекомендованої літератури:




  1. Дороговцев А.Я., Математичний аналіз, т. ІІ, Київ, Либідь, 1994.

  2. Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. ІІ, т.ІІІ., М., Наука, 1969.

  3. Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1968.

  4. Дороговцев А.Я., Кукуш А.Г., Задания к лабораторным работам по курсу «математический анализ», Киев, КГУ, 1986.

НАВЧАЛЬНО-ТАМЕТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ І ЛАБОРАТОРНИХ ЗАНЯТЬ





№ теми

Назва теми

(ІІ семестр)



Кількість годин

лекції


лабораторна робота

самостійна робота

контр. модульн. робота

інші форми контр.

Змістовий модуль 1




1.

Кратні інтеграли

22


28

40







Змістовий модуль 2

2.

Інтегрування по многовидам і загальна теорема Стокса. Криволінійні та поверхневі інтеграли другого роду.

18



10


40









Змістовий модуль 3

3.

Міра на многовидах. Інтеграли першого роду по многовидам. Криволінійні і поверхневі інтеграли першого роду.

8

8

20







4.

Ряди Фур’є та інтеграл Фур’є.

20

22

20







Всього годин за ІІ семестр

68

68

120






Система контролю знань.


Змістовий модуль 1 -20 балів:

    • виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5 балів;

    • письмова контрольна робота – 15 балів;

Змістовий модуль 2 -20 балів:



    • виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5 балів;

    • колоквіум – 15 балів;

Змістовий модуль 3 -20 балів:



    • виконання лабораторних робіт (відвідування, активність студента на заняттях, виконання аудиторних та домашніх занять) – 5 балів;

    • письмова контрольна робота– 15 балів.

Іспит – 40 балів.

Всього за семестр – 100 балів.

Мінімальна кількість балів для зарахування модульної контрольної роботи – 9 балів, для колоквіуму – 9 балів.


Кожна незарахована контрольна робота може бути переписана один раз.
Колоквіум можна перескласти, якщо він бів пропущений з поважної причини.

Методичні рекомендації по вивченню дисципліни.
Дисципліна «математичний аналіз» є базовою нормативною дисципліною для спеціальності «математика», що читається в ІІ семестрі ІІ курсу в обсязі 4 кредитів (за Європейською Кредитно-Трансферною системою ЕСЕS), і розрахована на 256 годин занять. З них лекцій 68 годин, лабораторних занять 68 годин, самостійної роботи 120 год. Закінчується іспитом.
Мета і завдання навчальної дисципліни
«математичний аналіз» - оволодіти класичними методами математичного аналізу, теоретичними положеннями та основними застосуваннями математичного аналізу в різноманітних задачах математики і механіки, їх використання в подальших курсах з математики та механіки, сприянню розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.
Предмет навчальноїдисципліни «математичний аналіз» в ІІ семестрі ІІ курсу.
Невласні інтеграли що залежать від параметру, Ейлерові інтеграли, кратні інтеграли по брусу, множини вимірні за Жорданом, міра Жордана, кратні інтеграли по вимірним множинам, формула заміни змінних, інтеграли другого роду по многовидам, криволінійні і поверхневі інтеграли другого роду, формули Гріна, Остроградського-Гауса та Стокса. Міра на многовидах, криволінійні і поверхневі інтеграли першого роду, ряди Фур’є, інтеграл Фур’є.
Місце в структурно-логічній схемі спеціальності
Нормативно-навчальна дисципліна «математичний аналіз» є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня «бакалавр», і базавою для вивчення спеціальних дисциплін «аналітична геометрія», «диференціальні рівняння», «диференціальна геометрія», «теорія функцій комплексної змінної», «математична фізика», «теорія міри», «функціональний аналіз», «теоретична механіка» та інших.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка