Програма для студентів спеціальності 06050901 "радіотехніка" Затверджено



Дата конвертації01.03.2017
Розмір357 Kb.


Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Радіофізичний факультет


Кафедра математики

та теоретичної радіофізики

Укладачі: д.ф.-м.н., доц. Шека Д. Д.

к.ф.-м.н., доц. Зайцева Л. Л.

Вища математика

(частина 2)



РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА
для студентів спеціальності

06050901 “радіотехніка”




Затверджено

на засіданні кафедри математики

і теоретичної радіофізики

Протокол № __6___

від „19” травня 2011р.

Зав. кафедрою
_____________ Висоцький В.І.
Декан радіофізичного факультету
_____________ Анісімов І.О.

КИЇВ – 2011

Робоча навчальна програма з дисципліни «Вища математика»

Лектори: доктор фізико-математичних наук, доцент Шека Д.Д.,


кандидат фізико-математичних наук, доцент Зайцева Л.Л.


Викладачі: доктор фізико-математичних наук, доцент Шека Д.Д.,


кандидат фізико-математичних наук, доцент Зайцева Л.Л.

Погоджено

з науково-методичною комісією

«____» ______________ 20__р.


Голови НМК радіофізичного факультету


______________________ Обуховський В.В.



ВСТУП

Дисципліна "Вища математика" є базовою нормативною дисципліною для спеціальності "радіотехніка", що вивчається в І семестрі в обсязі 13 кредитів (за Європейською Кредитно-Трансферною Системою ECTS), в тому числі 468 годин аудиторних занять, з них 119 годин лекцій, 68 годин практичних занять і 281 годин самостійної роботи.



Мета і завдання навчальної дисципліни "Вища математика" (частина ІІ) : ознайомлення та оволодіння сучасними математичними методами, теоретичними положеннями та основними застосуваннями методів теорій функцій комплексної змінної, математичної фізики, теорії ймовірностей та математичної статистики у радіофізиці та радіотехніці, сприяння розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.

Предмет навчальної дисципліни "Вища математика" "(частина ІІ) включає основні поняття і моделі теорій функцій комплексної змінної, математичної фізики, теорії ймовірностей та математичної статистики. Всі математичні поняття, що вивчаються, ілюструються прикладами їх застосуваннями.



Вимоги до знань та вмінь.

Студент повинен знати: базові поняття математичного аналізу такі як границя та неперервність функції, диференційованість, похідна, екстремум, первісна функції та інтеграл, елементи теорії множин, вміти розв’язувати основні типи диференціальних рівнянь.

Студент повинен вміти: обирати математичні методи та прийоми для розв'язання фізичних задач та набути навичок самостійного використання і вивчення літератури з математичних дисциплін.

Місце в структурно-логічній схемі спеціальності.

Нормативна навчальна дисципліна "Вища математика" є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня "бакалавр", є базовою для подальшого вивчення фізичних та технічних дисциплін.




IV семестр
Підсумкова оцінка розраховується за накопичувальною системою. При цьому максимальна кількість балів встановлюється наступним чином:

  • за змістовий модуль №1 (ЗМ1) – 20 балів;

  • за змістовий модуль №2 (ЗМ2) – 20 балів;

  • за змістовий модуль №3 (ЗМ3) – 20 балів;

  • Іспит – 40 балів




Максимальна кількість балів

Вид контролю

Змістовий модуль

№ 1 (ЗМ1)



Змістовий модуль

№ 2 (ЗМ2)



Змістовий модуль

№ 3 (ЗМ3)



Підсумковий контроль (Іспит)

Підсумкова оцінка

Всього

20

20

20

40

100

Табл.1. Система поточного та підсумкового контролю в IV семестрі.


Склад комплексного підсумкового контролю

Максимальна кількість балів

Перше екзаменаційне питання (теоретичне)

8

Друге екзаменаційне питання (задача)

8

Третє екзаменаційне питання (задача)

8

Четверте екзаменаційне питання (теоретичне)

8

П'яте екзаменаційне питання (задача)

8

Всього

40

Табл.3. Система комплексного підсумкового контролю (іспит).


За 100-бальною шкалою

Оцінка за національною шкалою (для заліку)

90 – 100

відмінно (5)

75 – 89

добре (4)

60 – 74

задовільно (3)

1 – 59

не задовільно (2)




Табл.4. Шкала відповідності

Якщо за результатами модульно-рейтингового контролю студент отримав загальну кількість балів (кількість балів підраховується за формулою: ЗМ1+ ЗМ2+ ЗМ3), яка менше ніж 36 балів, то студент не допускається до комплексного підсумкового модуля і вважається таким, що не виконав усі види робіт, які передбачаються навчальним планом на семестр з дисципліни «Вища математика».



Навчально-тематичний план лекцій і семінарських занять

IV семестр

№ теми

Назва лекції (тема семінару)

Кількість годин

Лекції

Семінари

Самостійна робота

Змістовий модуль №1 «Елементи комплексного аналізу»

1

Комплексні числа

2

1

4

2

Аналітичні функції

2

1

4

3

Інтеграл від аналітичної функції

2



3

4

Аналітичні функції і степеневі ряди

2



3

5

Лишки і методи їх обрахунку

2

1

4

6

Обчислення інтегралів за допомогою лишків

2

1

4

7

Операційне числення

2



3

Модульна контрольна робота № 1







2*




ВСЬОГО

14

4

27

Змістовий модуль №2 «Елементи математичної фізики»

8

Класифікація рівнянь матфізики

1



2

9

Рівняння дифузії

1

2

2

10

Хвильове рівняння на відрізку

1



2

11

Рівняння Лапласа на площині

1



2

12

Сферичні функції

2



3

13

Циліндричні функції

2



3

14

Означення і основні властивості узагальнених функцій

3

2

5

15

Фундаментальний розв’язок лінійного диференціального рівняння

2



3

16

Фундаментальний розв’язок рівнянь матфізики

3



4

Модульна контрольна робота № 2+ Підготовка до іспиту

2*+11




ВСЬОГО

16

6

39

Змістовий модуль №3 «Елементи теорії ймовірностей»

17

Моделі та аксіоматика теорії ймовірностей. Незалежність. Умовні ймовірності.

2

1

4

18

Випадкові величини. Розподіли випадкових величин.

2

1

4

19

Багатомірні розподіли випадкових величин. Незалежність.

2

1

4

20

Математичне сподівання.

2

1

4

21

Послідовності незалежних випробувань. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема.

2



3

22.

Основні поняття математичної статистики.

2

1

4

23.

Точкове оцінювання.

2



3

24.

Інтервальне оцінювання.

2



3

25.

Перевірка гіпотез.

3

1

4

26.

Дослідження статистичної залежності.

2

1

4

Модульна контрольна робота № 3+ Підготовка до іспиту

2*+7




ВСЬОГО

21

7

46

ВСЬОГО ЗА СЕМЕСТР

51

17

112



Зміст лекцій і семінарів за темами

IV семестр

Змістовий модуль №1 «Елементи комплексного аналізу»
Тема № 1. «Комплексні числа»
Лекція № 1. Комплексні числа (2 год).

Означення комплексних чисел. Операції над комплексними числами. Способи зображення комплексних чисел: векторне зображення, матричне зображення. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Добування кореня з комплексного числа. Основна теорема алгебри. Невпорядкованість комплексних чисел. Послідовності комплексних чисел. Граничні точки. Нескінченно віддалена точка та компактифікація поля комплексних чисел. Стереографічна проекція. Сфера Рімана.



Семінар № 1. Комплексні числа (1 год).

Комплексні числа. Операції над комплексними числами. Способи зображення комплексних чисел.


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].
Тема № 2. «Аналітичні функції»
Лекція № 2. Аналітичні функції комплексної змінної (2 год).

Неперервні функції. Однозначні, багатозначні, багатолистні функції. Інтеграл від функції комплексної змінної. Похідна функції комплексної змінної. Формальні похідні Коші. Аналітична функція. Умови Коші–Рімана в декартових, полярних і довільних ортогональних координатах. Означення та основні властивості аналітичних функцій. Геометрична інтерпретація аналітичної функції. Зміст модуля та аргументна похідної.


Семінар № 2. Елементарні функції комплексної змінної (1 год).

Вивчення властивостей основних елементарних функції комплексної змінної.


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, вивчення елементарних функцій комплексної змінної та їх властивостей за рекомендованою літературою. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].
Тема № 3. «Інтеграл від аналітичної функції»
Лекція № 3. Інтеграл від аналітичної функції (2 год).

Інтеграл від аналітичної функції в однозв'язній та багатозв'язній області. Інтегральна формула Коші. Теорема про середнє значення. Теорема про максимум модуля. Формула Коші для похідної аналітичної функції. Оцінки модуля похідної аналітичної функції. Нескінченна диференційовність аналітичної функції. Три означення аналітичної функції. Теорема Ліувілля. Теорема Морера.


Завдання для самостійної роботи (3 год).

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].

Тема № 4. «Аналітичні функції і степеневі ряди»
Лекція № 4. Представлення аналітичної функції степеневим рядом (2 год).

Нулі аналітичної функції. Єдиність завдання аналітичної функції. Аналітичне продовження. Представлення рядом Лорана однозначної функції, що аналітична в кільці.


Завдання для самостійної роботи (3 год).

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].

Тема № 5. «Лишки і методи їх обрахунку»
Лекція № 5. Теорія лишків (2 год).

Класифікація особливих точок однозначних аналітичних функцій. Означення лишка. Методи обрахунку лишка однозначної аналітичної функції. Обчислення лишка в полюсі. Лишок в нескінченно віддаленій точці.


Семінар № 3. Обчислення лишків (1 год).

Обчислення лишків в однозначних особливих точках аналітичних функцій.


Завдання для самостійної роботи (4 год).

Вивчення матеріалів лекції, вивчення тем: логарифмічний лишок, принцип аргументу, підрахунок кількості нулів аналітичної функції за рекомендованою літературою. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].
Тема № 6. «Обчислення інтегралів за допомогою лишків»
Лекція № 6. Обчислення інтегралів за допомогою лишків (2 год).

Основна теорема теорії лишків. Обчислення контурних інтегралів. Обчислення невласних інтегралів дійсного аналізу за допомогою теорії лишків


Семінар № 4. Обчислення невласних інтегралів (1 год).

Обчислення невласних інтегралів за допомогою теорії лишків.


Завдання для самостійної роботи (4 год)

Вивчення матеріалів лекції, вивчення тем: логарифмічний лишок, принцип аргументу, підрахунок кількості нулів аналітичної функції за рекомендованою літературою. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [1, 2, 7, 8, 12].

Тема № 6. «Операційне числення»

Лекція № 7. Операційне числення (2 год).

Перетворення Лапласа. Основні властивості. Операційний метод і його застосування до розв'язування лінійних інтегральних рівнянь.


Завдання для самостійної роботи (3 год)

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [1, 2, 3, 7, 12].

Контрольні запитання


  1. Комплексні числа. Означення, модуль та аргумент комплексного числа. Зображення комплексних чисел. Тригонометрична та показникова форми комплексного числа. Приклад.

  2. Основні операції над комплексними числами та поле комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел.

  3. Невпорядкованість комплексних чисел.

  4. Послідовності комплексних чисел. Граничні точки.

  5. Нескінченно віддалена точка та компактифікація поля комплексних чисел. Стереографічна проекція. Сфера Рімана.

  6. Функція комплексної змінної. Означення, однозначні, багатозначні, багатолистні функції. Аналітичні функції. Приклади.

  7. Функція комплексної змінної. Неперервні функції. Інтеграл від функції комплексної змінної. Інтеграл від аналітичної функції по замкненому контуру.

  8. Похідна функції комплексної змінної. Формальні похідні Коші. Аналітична функція. Умови Коші-Рімана.

  9. Умови Коші-Рімана в декартових, полярних і довільних ортогональних координатах.

  10. Аналітичні функції. Означення та основні властивості аналітичних функцій. Приклад.

  11. Геометрічна інтерпретація аналітичної функції. Зміст модуля та аргумента похідної. Поняття конформного відображення. Приклад.

  12. Інтеграл вздовж замкненого контура від аналітичної функції в однозв'язній та багатозв'язній області.

  13. Інтегральна формула Коші. Теорема про середнє значення. Теорема про максимум модуля.

  14. Формула Коші для похідної аналітичної функції. Оцінки модуля похідної аналітичної функції. Нескінченна диференційовність аналітичної функції.

  15. Три означення аналітичної функції. Теорема Ліувілля. Теорема Морера.

  16. Представлення аналітичної функції степеневим рядом. Нулі аналітичної функції. Єдиність завдання аналітичної функції. Аналітичне продовження. Приклади.

  17. Представлення рядом Лорана однозначної функції, що аналітична в кільці.

  18. Класифікація особливих точок однозначних аналітичних функцій. Цілі функції. Мероморфні функціЇ.

  19. Класифікація особливих точок однозначної аналітичної функції. Поведінка однозначної аналітичної функції в околі в околі полюса та суттєво особливої точки. Приклад.

  20. Означення лишка. Методи обрахунку лишка однозначної аналітичної функції. Обчислення лишка в полюсі. Лишок в нескінченно віддаленій точці.

  21. Основна теорема теорії лишків. Обчислення контурних інтегралів. Приклад.

  22. Обчислення невласних інтегралів дійсного аналізу за допомогою теорії лишків. Приклад.

  23. Перетворення Лапласа. Основні властивості. Операційний метод і його застосування до розв'язування лінійних інтегральних рівнянь.


Контрольна робота СРС (2 год).

Змістовий модуль №2 «Елементи математичної фізики»
Тема № 8. «Метод відокремленні змінних»
Лекція № 8. Класифікація рівнянь матфізики (1 год).

Основнi роздiли фiзики, закони яких виражаються у виглядi рiвнянь з частинними похiдними. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.


Завдання для самостійної роботи (2 год)

Вивчення матеріалів лекції, вивчення класифiкацiї та канонiчного вигляду лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними другого порядку за рекомендованою літературою.


Рекомендована література: [6,7,18,23].

Тема № 9. «Рівняння дифузії»

Лекція № 9. Рівняння дифузії (1 год).

Метод вiдокремлення змiнних для лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Розв'язання рiвняння дифузiї на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних.


Семінар № 5. Рівняння дифузії (2 год).

Розв'язання рiвняння дифузiї на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних.


Завдання для самостійної роботи (2 год).

Вивчення матеріалів лекції. Робота над практичним завданням.



Рекомендована література: [6,7,18,23].

Тема № 10. «Хвильове рівняння»
Лекція № 10. Хвильове рівняння (1 год).

Розв'язання хвильового рівняння на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних.


Завдання для самостійної роботи (2 год)

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [6,7,18,23].

Тема № 11. «Рівняння Лапласа на площині»
Лекція № 11. Рівняння Лапласа на площині (1 год).

Розв'язання рiвнянь Лапласа в прямокутнику та крузi методом вiдокремлення змiнних.


Завдання для самостійної роботи (2 год)

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [6,7,18,23].

Тема № 12. «Сферичні функції»
Лекція № 12. Сферичні функції (2 год).

Сферичнi функцiї. Гармонiчнi полiноми та їх властивостi. Означення сферичних функцiй. Ортогональнiсть та повнота системи сферичних функцiй на сферi одиничного радiусу. Диференцiальне рiвняння сферичних функцiй. Загальний вигляд розв'язку рiвняння Лапласа в сферичних координатах. Розклад фундаментального розв'язку рiвняння Лапласа в ряд по сферичних функцiях. Розв'язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в кулi методом вiдокремлення змiнних.


Завдання для самостійної роботи (3 год)

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [6,7,18,23].
Тема № 13. «Циліндричні функції»
Лекція № 13. Циліндричні функції (2 год).

Цилiндричнi функцiї. Означення та класифiкацiя цилiндричних функцiй. Спiввiдношення мiж цилiндричними функцiями Беселя, Неймана та Ганкеля. Диференцiальне рiвняння для цилiндричних функцiй. Загальний вигляд розв'язку рiвняння Лапласа в цилiндричних координатах. Розв'язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в цилiндрi методом вiдокремлення змiнних.


Завдання для самостійної роботи (3 год)

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [6,7,18,23].
Тема № 14. «Означення і основні властивості узагальнених функцій»
Лекція № 14. Узагальнені функції (3 год).

Узагальненi функцiї. Основнi функцiї та їх властивостi. Ядро осереднення. Означення та приклади регулярних i сингулярних узагальнених функцiй. Диференцiювання та iнтегрування узагальнених функцiй. Замiна змiнних в узагальнених функцiях. Множення узагальнених функцiй на основну функцiю. Згортка узагальнених функцiй. Регуляризацiя узагальнених функцiй. Перетворення Фур'є узагальнених функцiй. Функцiя Хевiсайда та -функцiя Дiрака: їх означення, властивостi та фiзична iнтерпретацiя.


Семінар № 6. Узагальнені функції (2 год).

Операції з узагальненими функціями. Замiна змiнних в узагальнених функцiях. Множення узагальнених функцiй на основну функцiю. Згортка узагальнених функцiй. Регуляризацiя узагальнених функцiй. Перетворення Фур'є узагальнених функцiй. Функцiя Хевiсайда та -функцiя Дiрака: їх означення, властивостi та фiзична iнтерпретацiя.


Завдання для самостійної роботи (5 год)

Вивчення матеріалів лекції Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [7,8,18,23].
Тема № 15. «Фундаментальний розв’язок лінійного диференціального рівняння»
Лекція № 15. Фундаментальний розв’язок лінійного диференціального рівняння (2 год).

Фундаментальний розв'язок. Означення фундаментального розв'язку лiнiйного диференцiального рiвняння. Теорема про iснування та єдинiсть розв'язку лiнiйного диференцiального рiвняння iз сталими коефiцiєнтами. Фундаментальний розв'язок лiнiйного диференцiального рiвняння iз звичайними похiдними. Розв'язок задачi Кошi для лiнiйного диференцiального рiвняння за допомогою фундаментального розв'зку


Завдання для самостійної роботи (3 год).

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [7,8,18,23].
Тема № 16. «Фундаментальний розв’язок рівняння матфізики»
Лекція № 16. Фундаментальний розв'язок рівнянь матфізики (3 год).

Рiвняння дифузiї. Фундаментальний розв'язок рiвняння дифузiї в n-вимiрному просторi. Розв'язок задачi Кошi для рiвняння дифузiї. Хвильове рiвняння. Фундаментальний розв'язок хвильового рiвняння в n-вимiрному просторi, зокрема в 1-,2-,3-вимiрних просторах. Метод спуска. Розв'язок задачi Кошi та межових задач з однорiдними межовими умовами для хвильового рiвняння в n-вимiрному просторi. Збудження хвиль точковим джерелом.


Завдання для самостійної роботи (4 год)

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [7,8,18,23].


Контрольні запитання

  1. Основнi поняття та означення теорiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.

  2. Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними. Принцип суперпозицiї. Класифiкацiя та канонiчний вид лiнiйного диференцiального рiвняння з частинними похiдними другого порядку. Характеристики. 

  3. Метод вiдокремлення змiнних для лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.

  4. Приклади застосування метода вiдокремлення змiнних. Розв'язання рiвняння дифузiї на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних.

  5. Розв'язання хвильового рiвняння на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних.

  6. Розв'язання рiвнянь Лапласа в прямокутнику та крузi методом вiдокремлення змiнних.

  7. Гармонiчнi полiноми та їх властивостi.

  8. Означення сферичних функцiй. Ортогональнiсть та повнота системи сферичних функцiй на сферi одиничного радiусу.

  9. Диференцiальне рiвняння сферичних функцiй. Загальний вигляд розв'язку рiвняння Лапласа в сферичних координатах.

  10. Розклад фундаментального розв'язку рiвняння Лапласа в ряд по сферичних функцiях.

  11. Розв'язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в кулi методом вiдокремлення змiнних.

  12. Означення та класифiкацiя цилiндричних функцiй. Спiввiдношення мiж цилiндричними функцiями Беселя, Неймана та Ганкеля.

  13. Диференцiальне рiвняння для цилiндричних функцiй.

  14. Цилiндричнi функцiї у випадку, коли незалежна змiнна прямує до нуля або до нескiнченностi.

  15. Ортогональнiсть i повнота системи цилiндричних функцiй на вiдрiзку.

  16. Загальний вигляд розв'язку рiвняння Лапласа в цилiндричних координатах.

  17. Розв'язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в цилiндрi методом вiдокремлення змiнних.

  18. Узагальненi функцiї. Основнi функцiї та їх властивостi.

  19. Ядро осереднення. Означення та приклади регулярних i сингулярних узагальнених функцiй.

  20. Диференцiювання та iнтегрування узагальнених функцiй.

  21. Замiна змiнних в узагальнених функцiях.

  22. Множення узагальнених функцiй на основну функцiю.

  23. Згортка узагальнених функцiй.

  24. Регуляризацiя узагальнених функцiй.

  25. Перетворення Фур'є узагальнених функцiй. Θ-функцiя Хевiсайда та δ-функцiя Дiрака: їх означення, властивостi та фiзична iнтерпретацiя.

  26. Означення фундаментального розв'язку лiнiйного диференцiального рiвняння.

  27. Фундаментальний розв'язок лiнiйного диференцiального рiвняння iз звичайними похiдними.

  28. Розв'язок задачi Кошi для лiнiйного диференцiального рiвняння за допомогою фундаментального розв'зку.

  29. Фундаментальний розв'язок рiвняння дифузiї в n-вимiрному просторi.

  30. Фундаментальний розв'язок хвильового рiвняння в n-вимiрному просторi, зокрема в 1-,2-,3-вимiрних просторах.

  31. Розв'язок задачi Кошi для хвильового рiвняння в n-вимiрному просторi. Збудження хвиль точковим джерелом.


Контрольна робота СРС (2 год).
Підготовка до іспиту (11 год).

Змістовий модуль №3 «Елементи теорії ймовірностей»
Тема № 1. «Моделі та аксіоматика теорії ймовірностей. Незалежність. Умовні ймовірності»
Лекція № 17. Моделі та аксіоматика теорії ймовірностей. Незалежність. Умовні ймовірності (2 год).

Стохастичний експеримент, випадкова подія, операції над випадковими подіями. Поняття ймовірнісного простору. Приклади. Означення ймовірності в класичній схемі та у випадку рівномірного (геометричного) розподілу на множині. Приклади. Елементи комбінаторики. Умовні ймовірності. Приклади. Формула повної ймовірності. Незалежні випадкові події. Властивості незалежних випадкових подій. Приклади.


Семінар № 7. Моделі та аксіоматика теорії ймовірностей. (1 год).

Означення ймовірності в класичній схемі та у випадку рівномірного (геометричного) розподілу на множині.


Завдання для самостійної роботи(4 год)

Вивчення матеріалів лекції. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [9, 10, 11, 12, 37, 14, 15, 16, 39].
Тема № 2. «Випадкові величини. Розподіли випадкових величин»
Лекція № 18. Випадкові величини. Розподіли випадкових величин (2 год).

Поняття випадкової величини. Функція розподілу випадкової величини, її властивості. Приклади. Дискретний та неперервний тип розподілу випадкової величини. Приклади. Густина розподілу випадкової величини, її властивості. Основні типи дискретних розподілів: біноміальний, геометричний, пуассонів. Їх властивості. Основні типи абсолютно неперервних неперервних розподілів: рівномірний, нормальний (гауссів), показниковий, розподіл Коші.



Семінар № 8. Випадкові величини. Розподіли випадкових величин (1 год).

Функція розподілу випадкової величини. Основні типи розподілів випадкових величин.


Завдання для самостійної роботи(4 год)

Вивчення матеріалів лекції. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [9, 10, 11, 12, 37, 14, 15, 16, 39].
Тема № 3. «Багатомірні розподіли випадкових величин. Незалежність»
Лекція № 19. Багатомірні розподіли випадкових величин. Незалежність (2 год).

Спільний розподіл випадкових величин. Дискретні та абсолютно неперервні спільні розподіли випадкових величин. Приклади. Незалежність випадкових величин. Приклади.



Семінар № 9. Багатомірні розподіли випадкових величин. Незалежність (1 год).

Спільний розподіл випадкових величин. Незалежність випадкових величин.


Завдання для самостійної роботи(4 год)

Вивчення матеріалів лекції. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [9, 10, 11, 12, 37, 14, 15, 16, 39].
Тема № 4. «Математичне сподівання»
Лекція № 20. Математичне сподівання (2 год).

Математичне сподівання випадкової величини. Приклади. Властивості математичного сподівання. Математичне сподівання функції від випадкової величини. Моменти, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, їх властивості. Приклади. Нерівність Чебишева.


Семінар № 10. Математичне сподівання (1 год).

Математичне сподівання випадкової величини. Математичне сподівання функції від випадкової величини. Моменти, дисперсія.


Завдання для самостійної роботи (4 год)

Вивчення матеріалів лекції. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [9, 10, 11, 12, 37, 14, 15, 16, 39].
Тема № 5. «Послідовності незалежних випробувань. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема»
Лекція № 21. Послідовності незалежних випробувань. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема (2 год).

Поняття послідовності випадкових величин. Збіжність за ймовірністю послідовності випадкових величин. Закон великих чисел, наслідки з нього. Центральна гранична теорема та наслідки з неї. Приклади.


Завдання для самостійної роботи(3 год)

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [9, 10, 11, 12, 37, 14, 15, 16, 39].

Тема № 6. «Основні поняття математичної статистики»
Лекція № 22. Основні поняття математичної статистики (2 год).

Задачі математичної статистики. Вибірка. Вибіркові характеристики. Емпірична функція розподілу. Властивості вибіркових моментів. Гістограма як оцінка густини розподілу.


Семінар № 11. Основні поняття математичної статистики (1 год).

Вибіркові характеристики. Емпірична функція розподілу. Гістограма як оцінка густини розподілу.


Завдання для самостійної роботи(4 год)

Вивчення матеріалів лекції. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [9, 10, 13, 38, 14, 40].
Тема № 7. «Точкове оцінювання»
Лекція № 23. Точкове оцінювання (2 год).

Точкові оцінки і їх властивості. Метод моментів. Властивості оцінок методу моментів. Метод максимальної вірогідності.



Завдання для самостійної роботи (3 год)

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [9, 10, 13, 38, 14, 40].
Тема № 8. «Інтервальне оцінювання»
Лекція № 24. Інтервальне оцінювання (2 год).

Довірчі інтервали. Принципи побудови довірчих інтервалів. Побудова довірчих інтервалів для нормального розподілу.


Завдання для самостійної роботи(3 год)

Вивчення матеріалів лекції.


Рекомендована література: [9, 10, 13, 38, 14, 40].
Тема № 9. «Перевірка гіпотез»
Лекція № 25. Перевірка гіпотез (2 год).

Гіпотези і критерії. Перевірка простих гіпотез про параметри. Критерії для перевірки гіпотез про розподіли. Однофакторний дисперсійний аналіз. Критерій 2 для перевірки незалежності.


Семінар № 13. Перевірка гіпотез (1 год).

Перевірка простих гіпотез про параметри. Критерії для перевірки гіпотез про розподіли. Критерій 2 для перевірки незалежності.


Завдання для самостійної роботи(4 год)

Вивчення матеріалів лекції. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [9, 10, 13, 38, 14, 40].
Тема № 10. «Дослідження статистичної залежності»
Лекція № 26. Дослідження статистичної залежності (2 год).

Математична модель регресії. Метод найменших квадратів.


Семінар № 14. Дослідження статистичної залежності (1 год).

Математична модель регресії. Метод найменших квадратів.


Завдання для самостійної роботи(4 год)

Вивчення матеріалів лекції. Робота над практичним завданням.


Рекомендована література: [9, 10, 13, 38, 14, 40].
Контрольна робота СРС (2 год).
Підготовка до іспиту (7 год).

Організація самостійної роботи студентів
Перелік питань змістових модулів, винесених на самостійну роботу:


  • Змістовий модуль № 1, тема № 2.

Тема: «Елементарні функції комплексної змінної та їх властивості».

План:


    1. Функції і [1, п.6, стор. 23-27];

    2. Функція Жуковського [1, п.7, стор. 27-30];

    3. Показникова функція і логарифм [1, п.8, стор. 30-34];

    4. Тригонометричні і гіперболічні функції [1, п.9, стор. 34-39];

    5. Узагальнена степенева функція [1, п.10, стор. 39-40].

  • Змістовий модуль № 2, тема № 8.

Тема: «Канонічний вигляд лiнiйних диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними другого порядку».
План:

    1. Означення лiнiйного диференцiального рiвняння. Принцип лінійної суперпозицiї. [6, §1.1, стор. 11-12]; [7,§ 1.1.9, стор. 28-30]; [8, § 1.11, стор. 38-41].

    2. Класифікація лiнiйних диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними другого порядку. Три типи рівнянь. Характеристики. [6, § 1.1, стор. 11-18], [7, § 1.3.1, стор. 43-45] [7, § 1.3.3, стор. 46-47], [8, § 3.1, стор. 56-58], [8, § 3.3, стор. 60-61].

    3. Зведення до канонiчного вигляду лiнiйного диференцiального рiвняння з частинними похiдними другого порядку [6,§ 1.3, стор. 20-22], [7, § 1.3.4, стор. 47-53], [8, § 3.4, стор. 61-67].

    4. Приклади [6, Задачи к главе I, стор. 22-23], [7, § 1.3.5. Пример. Уравнение Трикоми, стор. 53-54], [8, § 3.5. Пример. Уравнение Трикоми, стор. 67-68].



Перелік питань, які виносяться на іспит


  1. Комплексні числа. Означення, модуль та аргумент комплексного числа. Зображення комплексних чисел. Тригонометрична та показникова форми комплексного числа. Приклад.

  2. Основні операції над комплексними числами та поле комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел.

  3. Невпорядкованість комплексних чисел.

  4. Послідовності комплексних чисел. Граничні точки.

  5. Нескінченно віддалена точка та компактифікація поля комплексних чисел. Стереографічна проекція. Сфера Рімана.

  6. Функція комплексної змінної. Означення, однозначні, багатозначні, багатолистні функції. Аналітичні функції. Приклади.

  7. Функція комплексної змінної. Неперервні функції. Інтеграл від функції комплексної змінної. Інтеграл від аналітичної функції по замкненому контуру.

  8. Похідна функції комплексної змінної. Формальні похідні Коші. Аналітична функція. Умови Коші-Рімана.

  9. Умови Коші-Рімана в декартових, полярних і довільних ортогональних координатах.

  10. Аналітичні функції. Означення та основні властивості аналітичних функцій. Приклад.

  11. Геометрична інтерпретація аналітичної функції. Зміст модуля та аргумента похідної. Поняття конформного відображення. Приклад.

  12. Інтеграл вздовж замкненого контуру від аналітичної функції в однозв'язній та багатозв’язній області.

  13. Інтегральна формула Коші. Теорема про середнє значення. Теорема про максимум модуля.

  14. Формула Коші для похідної аналітичної функції. Оцінки модуля похідної аналітичної функції. Нескінченна диференційовність аналітичної функції.

  15. Три означення аналітичної функції. Теорема Ліувілля. Теорема Морера.

  16. Представлення аналітичної функції степеневим рядом. Нулі аналітичної функції. Єдиність завдання аналітичної функції. Аналітичне продовження. Приклади.

  17. Представлення рядом Лорана однозначної функції, що аналітична в кільці.

  18. Класифікація особливих точок однозначних аналітичних функцій. Цілі функції. Мероморфні функції.

  19. Класифікація особливих точок однозначної аналітичної функції. Поведінка однозначної аналітичної функції в околі в околі полюса та суттєво особливої точки. Приклад.

  20. Означення лишка. Методи обрахунку лишка однозначної аналітичної функції. Обчислення лишка в полюсі. Лишок в нескінченно віддаленій точці.

  21. Основна теорема теорії лишків. Обчислення контурних інтегралів. Приклад.

  22. Обчислення невласних інтегралів дійсного аналізу за допомогою теорії лишків. Приклад.

  23. Основнi поняття та означення теорiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Принцип суперпозицiї для лiнiйних диференцiальних рiвнянь та приклади його застосування.

  24. Класифiкацiя та канонiчний вид лiнiйного диференцiального рiвняння з частинними похiдними другого порядку. Характеристики.

  25. Метод вiдокремлення змiнних для лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними та приклади його застосування.

  26. Розв'язок рiвняння дифузiї на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних. Приклад.

  27. Розв'язок хвильового рiвняння на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних. Приклад.

  28. Розв'язок рiвняння Лапласа та Пуассона в прямокутнику методом вiдокремлення змiнних. Приклад.

  29. Розв'язок рiвняння Лапласа та Пуассона в крузi та кiльцi методом вiдокремлення змiнних. Приклад.

  30. Гармонiчнi полiноми та їх властивостi. Означення сферичних функцiй.

  31. Ортогональнiсть та повнота системи сферичних функцiй на сферi одиничного радiусу. Диференцiальне рiвняння сферичних функцiй.

  32. Представлення фундаментального розв'язку рiвняння Лапласа у виглядi ряду по сферичних функцiях у випадку, коли особлива точка фундаментального розв'язку i центр координат не спiвпадають.

  33. Загальний вигляд розв'язку рiвняння Лапласа в сферичних координатах.

  34. Розв'язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в кулi методом вiдокремлення змiнних. Приклад.

  35. Означення та класифiкацiя цилiндричних функцiй. Спiввiдношення мiж цилiндричними функцiями Беселя, Неймана та Ханкеля. Iнтегральнi зображення цилiндричних функцiй.

  36. Цилiндричнi функцiї у випадку, коли незалежна змiнна прямує до нуля або до нескiнченностi. Метод перевалу. Приклади.

  37. Диференцiальне рiвняння для цилiндричних функцiй. Ортогональнiсть i повнота системи цилiндричних функцiй на вiдрiзку. Ряди Фур'є-Бесселя.

  38. Загальний вигляд розв'язку рiвняння Лапласа в цилiндричних координатах.

  39. Розв'язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в цилiндрi методом вiдокремлення змiнних. Приклад.

  40. Означення узагальнених функцiй. Основнi функцiї та їх властивостi. Ядро осереднення. Означення та приклади регулярних та сингулярних узагальнених функцiй.

  41. Диференцiювання узагальнених функцiй. Приклади.

  42. Замiна змiнних в узагальнених функцiях. Приклади. Множення узагальнених функцiй на основну функцiю. Приклади.

  43. Згортка та перетворення Фур'є узагальнених функцiй. Приклади.

  44. Означення -функцiї та її фiзична iнтерпретацiя. Диференцiювання та замiна змiнної в -функцiї. Множення -функцiї на основну функцiю. Згортка -функцiї з узагальненими функцiями. Перетворення Фур'є вiд -функцiї.

  45. Означення фундаментального розв'язку лiнiйного диференцiального рiвняння. Теорема про iснування та єдинiсть розв'язку лiнiйного диференцiального рiвняння iз сталими коефiцiєнтами.

  46. Фундаментальний розв'язок лiнiйного диференцiального рiвняння iз звичайними похiдними. Розв'язок задачi Кошi для лiнiйного диференцiального рiвняння за допомогою фундаментального розв'зку.

  47. Фундаментальний розв'язок рiвняння дифузiї в n-вимiрному просторi. Розв'язок задачi Кошi та межових задач з однорiдними межовими умовами для рiвняння дифузiї.

  48. Метод спуска. Приклади.

  49. Фундаментальний розв'язок хвильового рiвняння в 1-вимiрному просторi. Розв'язок задачi Кошi.

  50. Фундаментальний розв'язок хвильового рiвняння в 2-вимiрному просторi. Розв'язок задачi Кошi.

  51. Фундаментальний розв'язок хвильового рiвняння в 3-вимiрному просторi. Розв'язок задачi Кошi. Збудження хвиль точковим джерелом.

  52. Поняття стохастичного експерименту, множини елементарних подій, ймовірності.

  53. Випадкова подія, операції над випадковими подіями.

  54. Означення ймовірності в класичній схемі.

  55. Означення ймовірності у випадку рівномірного (геометричного) розподілу на множині.

  56. Умовна ймовірність.

  57. Формула повної ймовірності.

  58. Незалежні випадкові події. Властивості незалежних випадкових подій.

  59. Означення випадкової величини.

  60. Функція розподілу випадкової величини, її властивості.

  61. Дискретний та неперервний тип розподілу випадкової величини.

  62. Означення густини розподілу випадкової величини, її властивості.

  63. Біноміальний розподіл, його властивості.

  64. Геометричний розподіл, його властивості.

  65. Розподіл Пуассона, його властивості.

  66. Рівномірний розподіл, його властивості.

  67. Нормальний (гауссів) розподіл, його властивості.

  68. Показниковий розподіл, його властивості.

  69. Розподіл Коші, його властивості.

  70. Поняття спільного розподілу випадкових величин.

  71. Дискретні та абсолютно неперервні спільні розподіли випадкових величин.

  72. Багатомірний рівномірний розподіл, його властивості.

  73. Багатомірний нормальний розподіл.

  74. Незалежні випадкові величини, їх властивості.

  75. Математичне сподівання випадкової величини. Властивості математичного сподівання.

  76. Математичне сподівання функції від випадкової величини.

  77. Моменти, дисперсія, середньоквадратичне відхилення випадкової величини, їх властивості.

  78. Нерівність Чебишева.

  79. Поняття послідовності випадкових величин. Збіжність за ймовірністю послідовності випадкових величин.

  80. Властивості збіжних за ймовірністю послідовностей випадкових величин.

  81. Закон великих чисел, наслідки з нього.

  82. Центральна гранична теорема.

  83. Вибірка. Вибіркове середнє. Вибіркова дисперсія.

  84. Емпірична функція розподілу.

  85. Властивості вибіркових моментів.

  86. Гістограма як оцінка густини розподілу.

  87. Точкові оцінки і їх властивості.

  88. Метод моментів. Властивості оцінок методу моментів.

  89. Метод максимальної вірогідності.

  90. Довірчі інтервали. Принципи побудови довірчих інтервалів.

  91. Побудова довірчих інтервалів для нормального розподілу.

  92. Гіпотези і критерії.

  93. Перевірка простих гіпотез про параметри.

  94. Критерії для перевірки гіпотез про розподіли.

  95. Однофакторний дисперсійний аналіз.

  96. Критерій 2 для перевірки незалежності.

  97. Математична модель регресії.

  98. Метод найменших квадратів.



Перелік джерел інформації
а) основна література:


  1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М: Наука. 1987. - 688 с.

  2. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. - М: Наука. 1979. - 320 с.

  3. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. - М: Наука. 1982. - 488 с.

  4. Евграфов М.А., Бежанов К.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Сборник задач по теории аналитических функций. - М: Наука. 1972. 416 с.

  5. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. - М: Наука. 1970. 320 с.

  6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М: 1972. - 736 с.

  7. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М: ФИЗМАТЛИТ, 2000. - 400 с.

  8. Владимиров В.С., Уравнения математической физики. М: Наука,1971.

  9. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – К.: Вища школа, 1979. – 408 с.

  10. Карташов М.В. Імовірність, процеси, статистика. – К.: Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет», 2007. – 494 с.

  11. Гнеденко Б.В.Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988. – 488 с.

  12. Ширяев А.Н. Вероятность. – М.: Наука, 1980. – 576 с.

  13. Турчин В.М. Математична статистика. ­– К.: Видавничий центр «Академія», 1999. – 240 с.

  14. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. ­– Л.: Издательство Ленинградского университета, 1967. – 332 с.

  15. Дороговцев А.Я., Сильвестров Д.С., Скороход А.В., Ядренко М.Й. Теорія ймовірностей: Збірник задач. – К.: Вища школа, 1976. – 384 с.

  16. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков В.М. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Наука, 1980. – 224 с.


б) додаткова література


  1. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. - М: Наука. 1984. 320 с.

  2. Евграфов М.А. Аналитические функции. - М: Наука. 1968. 472 с.

  3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. - М: Наука. 1999. - 432 с.

  4. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. - М: Наука. 1968. 648 с.

  5. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. ч. 1,2. - М: Наука. 1976.

  6. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. - М.- Л.: ГИТТЛ. 1950. 436 с.

  7. Бицадзе А.Б. Уравнения математической физики. 2-е изд. М: Наука, 1982. – 336 с.

  8. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М: Наука. - 1972. - 688 с.

  9. Владимиров В.С., Михайлов В.П., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям математической физики. - 2-е изд. - М: Наука. 1982. - 256 с.

  10. Юрачкiвський А.П., Грязнова В.О. Метод вiдокремлення змiнних у задачах математичної фiзики: Навч. посiбник для студентiв природничих факультетiв. - К.: РВЦ "Київський унiверситет", 1988. - 142 с.

  11. Бiлоколос Є.Д., Юрачкiвський А.П., Шека Д.Д. Спецiальнi функцiї в задачах математичної фiзики. - К.: ВПЦ "Київський унiверситет", 2000. - 92 с.

  12. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи математической физики: уч. пособие. - М: Изд-во МГУ. - 1998. - 350 с.

  13. Бейтман Г., Ердейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1 М.: Н. – 1973.

  14. Радченко А.Н., Родионова В.С. Методические указания к практическим занятиям по разделу “Случайные события” для студентов радиофизического и физического факультетов.

  15. Радченко О.М. Методичні вказівки до практичних занять по темі “Розподіл випадкових величин та векторів” для студентів радіофізичного та фізичного факультетів

  16. Скороход А.В. Елементи теорії ймовірностей та випадкових процесів. – К.: Вища школа, 1971. – 296 с.

  17. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, в 2-х томах. Том 1. – М.: Мир, 1984. – 528 с.

  18. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, в 2-х томах. Том 1. – М.: Мир, 1984. –738 с.


в) джерела іnternet


  1. Білоколос Є.Д., Шека Д.Д., Збірник задач з комплексного аналізу. - К: 2004. (http://matphys.rpd.unіv.kіev.ua/downloads/publ/complan_problems.pdf)

  2. Білоколос Є.Д., Шека Д.Д., Збірник задач з курсу «рівняння математичної фізики. - К: 2004. (http://matphys.rpd.unіv.kіev.ua/downloads/publ/matphys_problems.pdf)

  3. Чернова Н.И. Теория вероятностей: Учебное пособие / СибГУТИ. – Новосибирск, 2009.— 90 с. (http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/sibguti/tv-sibguti.pdf)

  4. Чернова Н.И. Математическая статистика: Учебное пособие / СибГУТИ. – Новосибирск, 2009.— 90 с. (http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/sibguti/ms-sibguti.pdf)

  5. Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей: Учебное пособие. 2-е изд., испр. – Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2003. – 119 с. (http://window.edu.ru/window_catalog/redir?id=28207&file=nsu087.pdf)

  6. Д.А.Коршунов, Н.И.Чернова. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Учебное пособие. – Новосибирск: Изд-во Института математики, 2001. - 120 с., 2-е изд., испр. - Новосибирск: Изд-во Института математики, 2004. - 128 с. (http://www.math.nsc.ru/LBRT/v1/dima/ExerciseStatistics2.pdf)

* Контрольна робота проводиться викладачем під час керівництва самостійною роботи студентів в обсязі 2 год.



База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка