Програма для студентів спеціальностей 080300 „Математика" І „Статистика" Затверджено



Скачати 250.77 Kb.
Дата конвертації11.05.2017
Розмір250.77 Kb.
Київський національний університет

Імені Тараса Шевченка


Механіко-математичний факультет
Кафедра алгебри та математичної логіки
Укладачі: доц. Овсієнко С.А., доц. Олійник А.С.


Алгебра і теорія чисел
РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА

Для студентів спеціальностей 6.080300 „Математика” і „Статистика”

Затверджено

на засіданні кафедри

Протокол №_____ від ______________

Зав. кафедрою

_______________________

Погоджено

з науково-методичною комісією

„_____”_____________


____________________
Підпис голови НМК факультету

Декан факультету


__________ _____________

ВСТУП
Дисципліна „Алгебра і теорія чисел” є базовою нормативною дисципліною для спеціальностей „математика” і „статистика”, що читається в III та IV семестрах в обсязі 4 кредитів (за Європейською Кредитно–Трансферною Системою ECTS), в тому числі 232 годин аудиторних занять з них 70 годин лекцій, 70 годин практичних занять і 92 години самостійної роботи (IIІ семестр: лекції – 36, практичні – 36, самостійна робота – 46; ІV семестр: лекції – 34, практичні – 34, самостійна робота – 46) і закінчується іспитом у III та заліком у IV семестрах.
Мета і завдання навчальної дисципліни „Алгебра і теорія чисел”: оволодіння сучасними методами, теоретичними положеннями та основними застосуваннями абстрактної алгебри та алгебраїчної теорії чисел в різних задачах математики, підготовка до їх використання в подальших навчальних курсах, сприяння розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.
Предмет навчальної дисципліни „Алгебра і теорія чисел”: алгебраїчні структури, групи, групи підстановок, абелеві групи, кільця, евклідові кільця, кільця цілих чисел та цілих ґаусових чисел, поля, розширення полів, зображення груп.
Вимоги до знань та вмінь.

Студент повинен знати: основні поняття абстрактної алгебри і теорії чисел, зокрема такі як алгебраїчна дія, алгебраїчна структура, ізоморфізм алгебраїчних структур, напівгрупа, моноїд, група, абелева група, порядок елемента групи, циклічна група, періодична група, підгрупа, система твірних групи, клас суміжності, індекс підгрупи, нормальна підгрупа, факторгрупа, гомоморфізм груп, ядро та образ гомоморфізму, комутатор, комутант групи, автоморфізм групи, група автоморфізмів, внутрішній і зовнішній автоморфізм, дія групи на множині, орбіта та стабілізатор точки, спряженість елементів групи, централізатор, центр групи, p-група, силовська p-підгрупа, прямий добуток груп, кільце, комутативне кільце, кільце з одиницею, дільник нуля, дільник одиниці, нільпотентний елемент, кільце цілісності, ідеал кільця, гомоморфізм кілець, кільце головних ідеалів, евклідове кільце, асоційовані елементи, нерозкладний елемент, факторіальне кільце, найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне елементів кільця, квадратичний лишок та нелишок, символ Лежандра, алгебраїчне та трансцендентне число, поле, просте поле, характеристика поле, автоморфізм поля, розширення поля, просте, алгебраїчне, трансцендентне, скінченне, скінченно породжене, нормальне розширення, поле розкладу многочлена, степінь розширення, група Ґалуа, відповідність Ґалуа, зображення групи, незвідне зображення, нерозкладне зображення.

Студент повинен вміти: перевіряти, чи є задана алгебраїчна структура напівгрупою, моноїдом чи групою, знаходити порядок елемента групи, визначати системи твірних групи, знаходити підгрупи даної групи, серед них виділяти нормальні, будувати факторгрупи, встановлювати ізоморфізм груп, описувати комутант, центр, класи спряжених елементів групи, описувати орбіти та стабілізатори дії групи на множині, знаходити кількість орбіт, знаходити силовські p-підгрупи скінченної групи, знаходити кількість попарно неізоморфних абелевих груп заданого порядку, перевіряти, чи ізоморфні задані абелеві групи, обчислювати кількість елементів заданого порядку в абелевій групі, знаходити підгрупи скінченних абелевих груп, описувати гоморфізми заданих абелевих груп, розкладати задану абелеву групу в прямий добуток циклічних, перевіряти, чи буде кільцем задана алгебраїчна структура, описувати дільники нуля та одиниці в кільці, знаходити ідеали кільця, ділити з остачею елементи евклідового кільця, знаходити дільники елемента кільця, розкладати його в добуток нерозкладних елементів, обчислювати найбільший спільний дільник елементів кільця, знаходити значення символа Лежандра, розв’язувати системи лінійних конґруенцій з невідомими, будувати прості розширення полів, знаходити степінь розширення, виконувати арифметичні дії у скінченних розширеннях полів, будувати поле розкладу многочлена, знаходити групу Ґалуа розширення, описувати проміжні розширення, встановлювати, чи буде задане зображення групи незвідним, нерозкладним.

Місце в структурно-логічній схемі спеціальності. Нормативна навчальна дисципліна „Лінійна алгебра” є складовою циклу професійної підготовки фахівців освітньо–кваліфікаційного рівня „бакалавр”, є базовою для вивчення таких спеціальних дисциплін як „Прикладна алгебра”, „Теорія міри та інтегралу”, „Функціональний аналіз”, „Теорія функцій комплексної змінної”, „Теорія ймовірностей”, „Комбінаторний аналіз”, „Математичні основи захисту інформації”.
Система контролю знань та умови складання іспиту.
Навчальна дисципліна „Лінійна алгебра” оцінюється за модульно–рейтинговою системою. В першому семестрі дисципліна складається з двох змістовних модулів : до першого входять 1–2 теми, до другого 3–5 теми. В другому семестрі дисципліна складається з двох змістовних модулів : до третього входять 6–7 теми, до четвертого 8–10 теми
Результати навчальної діяльності студентів в семестрі оцінюються за 100–бальною шкалою.

Модульний контроль за 1 семестр:
1-й змістовний модуль: 0–30 балів

  • модульна контрольна робота –– 0–20 балів

  • виконання домашніх робіт і робота на практичних заняттях –– 0–10 балів


2-й змістовний модуль: 0–30 балів

  • модульна контрольна робота –– 0–20 балів

  • виконання домашніх робіт і робота на практичних заняттях – 0–`10 балів


Модульний контроль за 2 семестр:
1-й змістовний модуль: 0-30 бали

  • модульна контрольна робота – 0–20 балів

  • виконання домашніх робіт і робота на практичних заняттях ––

0– 10 балів
2-й змістовний модуль: 0-30 балів

  • модульна контрольна робота – 0–20 балів

  • виконання домашніх робіт і робота на практичних заняттях ––

0–10 балів
Якщо контрольна робота пропущена з поважної причини, то вона може бути написана без зменшення кількості балів за неї.

Підсумковий контроль за семестр складається з суми балів, які отримав студент за роботу протягом семестру. Максимально студент може отримати 60 балів протягом кожного семестру. Студент не допускається до іспиту, якщо за результатами роботи в семестрі він отримав менше 20 балів.

При складанні іспиту чи заліку студент може отримати до 40 балів. За сумою S балів за роботу в семестрі і за відповідь на іспиті чи заліку виставляється оцінка студенту:


  • S<60 відповідає оцінці «незадовільно»;

  • 60 ≤S<75 відповідає оцінці «задовільно»;

  • 75≤S<90 відповідає оцінці «добре»;

  • 90≤S відповідає оцінці «відмінно».

Шкала відповідності



За 100-бальною шкалою

Оцінка за національною шкалою

90-100

5

відмінно

зараховано



75-89

4

добре

60-74

3

задовільно

1-59

2

незадовільно

Не зараховано

ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ І ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ


1-й семестр



теми

Назва теми

І семестр


Кількість годин

лекції

практичні

заняття


Самост. робота

Контр. Модульна робота

Інші форми контролю

Змістовний модуль 1 „Основні поняття абстрактної алгебри і теорії груп”

1

Алгебраїчні структури

6

6

6







2

Основні поняття теорії груп

10

10

12

2




Змістовний модуль 2 „Дії груп та абелеві групи”

3

Дії груп на множині

8

8

9







4

Скінченно породжені абелеві групи

6

6

8







5

Квадратичні лишки

6

6

8

2




Всього годин за І семестр

36

36

43







2-й семестр




теми

Назва теми

IІ семестр


Кількість годин

лекції

практичні

заняття


Самост. робота

Контр. Модульна робота

Інші форми контролю

Змістовний модуль 3 Кільця та їх застосування в теорії чисел

1

Основи теорії кілець

6

6

8







2

Числові кільця

6

6

10

2

























Змістовний модуль 4 Поля та основи теорії Ґалуа

3

Основні поняття теорії полів

10

10

12







4

Основи теорії Ґалуа

8

8

8






5

Зображення груп

4

4

5

2




Всього годин за IІ семестр

34

34

43








Теми лекцій, практичних занять та завдання для самостійної роботи
І СЕМЕСТР
Змістовний модуль 1. Основні поняття абстрактної алгебри і теорії груп
Тема 1. Алгебраїчні структури

Лекція 1. Алгебраїчні дії на множині, бінарні дії, властивості бінарних дій – 2 год.

Лекція 2. Алгебраїчна структура, її сигнатура. Поняття напівгрупи, моноїда, групи, приклади. Ізоморфізм алгебраїчних структур, абстрактна група – 2 год.

Лекція 3. Поняття про підструктуру алгебраїчної структури. Підгрупи. Порядок елемента групи – 2 год.


Лабораторна робота 1. Бінарні дії та їх властивості – 2год.

Лабораторна робота 2. Напівгрупи, моноїди, групи: перевірка аксіом, встановлення ізоморфізму – 2 год.

Лабораторна робота 3. Обчислення порядків елементів групи– 2 год.
Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 1 і лабораторної роботи 1 (2 год)

а) Алгебраїчні дії, алгебраїчні структури

б) Властивості бінарних дій

До лекції 2 і лабораторної роботи 2 (2 год)

а) Поняття напівгрупи, моноїду, групи

б) Ізоморфізм алгебраїчних структур

До лекції 3 і лабораторної роботи 3 (2 год.)

а) Порядок елемента групи

б) Порядки підстановок і матриць



Література [1-6]
Контрольні питання і завдання:


  1. Алгебраїчна дія. Бінарна дія, її властивості.

  2. Поняття напівгрупи, моноїда, групи. Приклади.

  3. Властивості бінарної дії у групі.

  4. Абстрактна група.

  5. Властивості порядків елементів групи.

  6. Порядки елементів у групах підстановок та матричних групах.


Тема 2. Основні поняття теорії груп
Лекція 4. Системи твірних групи. Циклічні групи – 2 год.

Лекція 5. Класи суміжності. Теорема Лагранжа – 2 год.

Лекція 6. Нормальні підгрупи і факторгрупи. Гомоморфізми груп – 2 год.

Лекція 7. Зображення груп підстановками і матрицями – 2 год.

Лекція 8. Комутатори. Комутант групи. Група автоморфізмів групи – 2 год.
Лабораторна робота 4. Підгрупи – 2год.
Лабораторна робота 5. Циклічні групи – 2 год.

Лабораторна робота 6. Класи суміжності за підгрупою, нормальні підгрупи – 2 год.

Лабораторна робота 7. Гомоморфізми груп, застосування теореми про гомоморфізм – 2год.

Лабораторна робота 8. Зображення Келі. Комутант групи. Автоморфізми груп – 2 год.
Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 4 і лабораторної роботи 4 (2 год)

а) Підгрупи та їх властивості

б) Опис підгруп даної групи

До лекції 5 і лабораторної роботи 5 (2 год)

а) Приклади циклічних груп

б) Порядки елементів у циклічних групах

До лекції 6 і лабораторної роботи 6 (2 год.)

а) Знаходження класів суміжності групи за підгрупою

б) Перевірка підгруп на нормальність

До лекції 7 і лабораторної роботи 7 (4 год.)

а) Факторгрупи і гомоомрфізми

б) Застосування теореми про гомоморфізм

До лекції 8 і лабораторної роботи 8 (2 год.)

а) Знаходження зображення Келі

б) Властивості комутанта групи

в) Обчислення груп автоморфізмів
Література [1-6]
Контрольні питання і завдання:


  1. Система твірних групи, незвідна система твірних.

  2. Скінченно породжена група, періодична група.

  3. Класифікація циклічних груп.

  4. Підгрупи циклічних груп.

  5. Індекс підгрупи. Теорема Лагранжа.

  6. Нормальна підгрупа, факторгрупа.

  7. Гомоморфізм груп, його ядро та образ.

  8. Теорема про гомоморфізм, наслідки з неї.

  9. Зображення Келі групи підстановками.

  10. Комутатор елементів групи, комутант, його властивості.

  11. Автоморфізм групи, група автоморфізмів. Внутрішні та зовнішні автоморфізми.


Типове завдання модульної контрольної роботи № 1

  1. Перевірити, чи буде напівгрупою, моноїдом чи групою множина N відносно дії .

  2. Знайти кількість елементів кожного можливого порядку в групі .

  3. Скількома способами можна вибрати твірний елемент у циклічній групі порядку 2468?

  4. Знайти всі підгрупи групи .

  5. Описати класи суміжності та побудувати таблицю Келі факторгрупи групи за підгрупою .


Змістовний модуль 2. Дії груп та абелеві групи
Тема 3. Дії груп на множині
Лекція 9. Поняття про дію групи на множині, точні дії. Орбіти і стабілізатори дій – 2 год.

Лекція 10. Лема Коші–Фробеніуса–Бернсайда про кількість орбіт, приклади – 2 год.

Лекція 11. Класи спряженості. Центр групи – 2 год.

Лекція 12. Теореми Силова – 2 год.


Лабораторна робота 9. Орбіти та стабілізатори дій груп на множинах – 2год.

Лабораторна робота 10. Комбінаторні застосування леми про кількість орбіт – 2 год.

Лабораторна робота 11. Класи спряжених елементів групи. Центр групи – 2 год.

Лабораторна робота 12. Застосування теорем Силова – 2 год.
Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 9 і лабораторної роботи 9 (2 год)

а) Приклади дій груп на множинаж

б) Опис орбіт та стабілізаторів

До лекції 10 і лабораторної роботи 10 (2 год)

Застосування леми про кількість орбіт

До лекції 11 і лабораторної роботи 11 (2 год.)

а) Опис класів спряженості групи

б) Знаходження центра групи

До лекції 12 і лабораторної роботи 12 (3 год.)

а) Знаходження силовських p-підгруп

б) Застосування теорем Силова



Література [3-6]
Контрольні питання і завдання:


  1. Поняття дії групи на множині. Приклади.

  2. Орбіти та стабілізатори точок. Їх властивості.

  3. Лема Коші–Фробеніуса–Бернсайда та її застосування.

  4. Спряжені елементи, їх властивості.

  5. Центр групи та його властивості.

  6. Поняття про p-групу. Центр скінченної p-групи.

  7. Теореми Силова.


Тема 4. Скінченно породжені абелеві групи
Лекція 13. Прямий добуток груп – 2 год.

Лекція 14. Будова скінченно породжених абелевих груп – 2 год.

Лекція 15. Будова скінченних абелевих груп – 2 год.


Лабораторна робота 13. Властивості прямих добутків груп – 2 год.

Лабораторна робота 14. Ізоморфізм та порядки елементів у скінченних абелевих групах – 2 год.

Лабораторна робота 15. Підгрупи та гомоморфізми абелевих груп – 2год.
Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 13 і лабораторної роботи 13 (2 год)

а) Властивості прямого добутку груп

б) Розклад групи в прямий добуток підгруп

До лекції 14 і лабораторної роботи 14 (4 год.)

а) Застосування основної теореми про скінченні абелеві групи

б) Знаходження кількості елементів кожного можливого порядку в скінченній абелевій групі

До лекції 15 і лабораторної роботи 15 (3 год.)

а) Опис підгруп абелевих груп

б) Розклад факторгруп вільних абелевих груп в пряму суму циклічних підгруп



Література [3-6]
Контрольні питання і завдання:

  1. Критерій розкладності групи в прямий добуток.

  2. Теорема про будову скінченно породжених абелевих груп.

  3. Будова скінченних абелевих груп.


Тема 5. Квадратичні лишки
Лекція 16. Конгруенції за модулем, теореми Ойлера, Ферма та Вільсона – 2 год.

Лекція 17. Квадратичні лишки та нелишки, символ Лежандра – 2 год.

Лекція 18. Квадратичний закон взаємності – 2 год.
Лабораторна робота 16. Арифметика за цілочисельним модулем – 2 год.

Лабораторна робота 17. Застосування теорем Ойлера та Вільсона – 2 год.

Лабораторна робота 18. Символ Лежандра: обчислення та застосування – 2 год.
Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 16 і лабораторної роботи 16 (2 год)

а) Властивості конґруенцій за модулем натурального числа

б) Рівняння та системи рівнянь над кільцями лишків

До лекції 17 і лабораторної роботи 18 (2 год.)

а) Теорема Ойлера та її застосування

б) Теорема Вільсона та її застосування

До лекції 18 і лабораторної роботи 18 (4 год.)

а) Знаходження значення символу Лежандра

б) Застосування символу Лежандра



Література [3-6]
Контрольні питання і завдання:

1. Властивості конгруенцій.

2. Теореми Ойлера та Ферма.

3. Теорема Вільсона.

4. Квадратичні лишки та нелишки, символ Лежандра.

5. Властивості символу Лежандра.

6. Квадратичний закон взаємності.
Типове завдання модульної контрольної роботи № 2


  1. Описати орбіти природної дії повної цілочисельної лінійної групи степеня 2 на дійсному арифметичному векторному просторі розмірності 2.

  2. Скількома геометрично різними способами можна розфарбувати вершини куба так, щоб дві вершини були білі, а всі інші – чорні?

  3. Знайти кількість елементів кожного можливого порядку в групі .

  4. Описати всі гомоморфізми з групи в групу .

  5. Чи має розв’язок конгруенція ?

Перелік питань до іспиту за 1-й семестр



  1. Алгебраїчнi дiї, бiнарнi, унарнi дiї, приклади, позначення.

  2. Властивостi бiнарних дiй.

  3. Поняття напiвгрупи, моноїда, групи.

  4. Найпростiшi властивостi груп, приклади груп.

  5. Iзоморфiзм груп, iзоморфнi групи, елементарнi властивостi.

  6. Порядок елемента групи, властивостi, приклади.

  7. Система твiрних групи, приклади, незвiдна система твiрних.

  8. Циклiчнi групи, приклади, класифiкацiя циклiчних груп.

  9. Циклiчнi групи, приклади, класифiкацiя циклiчних груп.

  10. Пiдгрупи, приклади.

  11. Теорема про характеризацiю пiдгруп.

  12. Теорема про пiдгрупи циклiчної групи.

  13. Розклад групи за пiдгрупою, класи сумiжностi, теорема Лагранжа, наслiдки.

  14. Зображення груп пiдстановками. Теорема Келi.

  15. Зображення груп матрицями.

  16. Нормальнi пiдгрупи, приклади, поняття простої групи, простота знакозмiнних груп.

  17. Факторгрупа: визначення.

  18. Факторгрупа: приклади.

  19. Гомоморфiзми.

  20. Теорема про гомоморфiзм.

  21. Наслiдки з теореми про гомоморфiзм.

  22. Дiя групи на множинi, приклади.

  23. Орбiти, стабiлiзатори, опис i властивостi.

  24. Лема Кошi--Фробенiуса--Бернсайда.

  25. Комбiнаторнi задачi про розфарбування.

  26. Спряженiсть, класи спряженостi, приклади.

  27. Централiзатор елемента i центр групи.

  28. Теорема про центр скiнченної p-групи.

  29. Теореми Силова про iснування, про кiлькiсть i про спряженiсть.

  30. Прямий добуток груп (зовнiшнiй i внутрiшнiй), зв'язок мiж ними.

  31. Теорема про характеризацiю розкладностi групи в прямий добуток, приклади.

  32. Основна теорема про скiнченно породженi абелевi групи.

  33. Розклад циклiчної групи в пряму суму.

  34. Основна теорема про скiнченнi абелевi групи.

  35. Конгруенцiї, лишки, дiї над ними.

  36. Конгруенцiї першого степеня з невiдомими.

  37. Теореми Ойлера i Ферма, теорема Вiльсона.

  38. Системи лiнiйних конгруенцiй. Китайська теорема про остачi.

  39. Конгрунцiї другого степеня. Символ Лежандра.

  40. Лема Ойлера.

  41. Основнi властивостi символа Лежандра.

  42. Квадратичний закон взаємностi.

2-й семестр



Змістовний модуль 3. Кільця та їх застосування в теорії чисел
Тема 6. Основи теорії кілець

Лекція 1. Поняття кільця та підкільця. Приклади – 2год.

Лекція 2. Дільники нуля та одиниці, нільпотентні елементи. Ідеали в кільцях – 2год.

Лекція 3. Факторкільця та гомоморфізми кілець – 2год.


Лабораторна робота 1. Кільця та підкільця – 2год.

Лабораторна робота 2. Знаходження дільників нуля, одиниці та нільпотентних елементів у кільцях – 2 год.

Лабораторна робота 3. Ідеали кілець – 2 год.
Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 1 і лабораторної роботи 1 (2 год)

а) Приклади кілець, їх типи

б) Поняття підкільця

До лекції 2 і лабораторної роботи 2 (2 год.)

а) Опис дільників нуля в кільцях

б) Дільники одиниці та їх властивості

До лекції 3 і лабораторної роботи 3 (4 год.)

а) Знаходження ідеалів у кільцях

б) Максимальні та мінімальні ідеали

в) Гомоомрфізми кілець
Література [3-6]
Контрольні питання і завдання:


  1. Поняття кільця та підкільця, приклади.

  2. Дільники нуля та одиниці, їх властивості.

  3. Області цілісності, їх властивості.

  4. Ідеали, дії над ідеалами.

  5. Гомоморфізми кілець, теорема про гомоморфізм.


Тема 7. Числові кільця
Лекція 4. Подільність в кільцях, факторіальні кільця – 2 год.

Лекція 5. Кільця головних ідеалів та евклідові кільця – 2 год.

Лекція 6. Кільце цілих ґаусових чисел – 2 год.
Лабораторна робота 4. Дільники, асоційовані елементи – 2год.

Лабораторна робота 5. Розклад на нерозкладні множники – 2 год.

Лабораторна робота 6. Найбільший спільний дільник – 2год.
Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 4 і лабораторної роботи 4 (2 год)

а) Відношення подільності в кільці

б) Факторіальні кільця та їх властивості

До лекції 5 і лабораторної роботи 5 (4 год.)

а) Нерозкладні елементи кілець

б) Розклад елемента в добуток нерозкладних

До лекції 6 і лабораторної роботи 6 (4 год.)

а) Евклідові кільця

б) Кільця головних ідеалів

в) Знаходження найбільшого спільного дільника елементів евклідового кільця
Література [3-6]
Контрольні питання і завдання:


  1. Відношення подільності та його властивості.

  2. Асоційовані елементи та їх властивості.

  3. Нерозкладні елементи.

  4. Факторіальні кільця, критерій факторіальності.

  5. Евклідові кільця, приклади, зв’язок з кільцями головних ідеалів.

  6. Розкладність простого числа в суму квадратів.


Типове завдання модульної контрольної роботи № 3

  1. Чи утворює кільце відносно дій додавання і множення матриця множина всіх невироджених матриць порядку 5 з дійсними елементами?

  2. Обчислити кількість дільників нуля, одиниці та нільпотентних елементів у кільці .

  3. Описати ліві ідеали повного матричного кільця степеня 2 над кільцем цілих чисел.

  4. Знайти кількість дільників елемента 21+63i у кільці цілих ґаусових чисел.

  5. Знайти найбільший спільний дільник цілих ґаусових чисел 6+7i та 1-8i.


Змістовний модуль 4. Поля та основи теорії Ґалуа
Тема 8. Основні поняття теорії полів
Лекція 7. Поняття поля, розширення поля, характеристика поля, приклади – 2 год.

Лекція 8. Прості, скінченні та алгебраїчні розширення полів – 2 год.

Лекція 9. Теорема Кронекера. Поля розкладу – 2 год.

Лекція 10. Скінченні поля – 2год.

Лекція 11. Основна теорема алгебри. Теорема Ліувіля – 2год.
Лабораторна робота 7. Поля, приклади та автоморфізми – 2год.

Лабораторна робота 8. Прості розширення полів, обчислення в них – 2год.

Лабораторна робота 9. Степінь розширення – 2 год.

Лабораторна робота 10. Побудова поля розкладу многочлена ­–2 год.

Лабораторна робота 11. Скінченні поля –2 год.

Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 7 і лабораторної роботи 7 (2 год)

а) Приклади полів, характеристика поля

б) Ізоморфізми та автоморфізми полів

До лекції 8 і лабораторної роботи 8 (2 год.)

а) Прості алгебраїчні розширення

б) Скінченні розширення полів

До лекції 9 і лабораторної роботи 9 (4 год.)

а) Алгебраїчні елементи, їх степені

б) Знаходження мінімальних многочленів

До лекції 10 і лабораторної роботи 10 (2 год.)

а) Скінченні розширення полів

б) Знаходження поля розкладу многочлена

До лекції 11 і лабораторної роботи 11 (2 год.)

а) Побудова скінченних полів

б) Обчислення в скінченних полях


Література [3-6]
Контрольні питання і завдання:
1. Поняття поля, його характеристики.

2. Прості, скінченні та алгебраїчні розширення, зв’язок між ними.

3. Теорема Кронекера.

4 . Поле розкладу многочлена, його єдиність.

5. Класифікація сінченних полів.

6. Будова мультиплікативної групи скінченного поля.

7. Теорема Ліувіля, приклади трансцендентних чисел.

Тема 9. Основи теорії Ґалуа
Лекція 12. Нормальні розширення полів – 2год.

Лекція 13. Група Ґалуа нормального розширення – 2 год.

Лекція 14. Основна теорема теорії Ґалуа, розв’язність рівнянь у радикалах – 2 год.

Лекція 15. Задачі на побудову і піфагорові розширення полів – 2 год.


Лабораторна робота 12. Нормальні розширення полів – 2 год.

Лабораторна робота 13. Обчислення групи Ґалуа – 2 год.

Лабораторна робота 14. Застосування основної теореми теорії Ґалуа – 2 год.

Лабораторна робота 15. Застосування основної теореми теорії Ґалуа –2 год.
Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 12 і лабораторної роботи 12 (2 год)

а) Нормальні розширення полів та їх властивості

б) Нормальність розширень полів

До лекції 13 і лабораторної роботи 13 (2 год.)

а) Група Ґалуа та її властивості

б) Знаходження групи Ґалуа

До лекцій 14-15 і лабораторних робіт 14-15 (4 год.)

а) Знаходження проміжних полів нормальних розширень

б) Знаходження нормального розширення із заданою групою Ґалуа

в) Розв’язність рівнянь у радикалах
Література [3-6]
Контрольні питання і завдання:

1. Нормальні розширення полів, критерій нормальності.

2. Група Ґалуа нормального розширення, її властивості.

3. Основна теорема теорії Ґалуа.

4. Критерій нормальності проміжного розширення.

5. Рівняння, які розв’язуються у радикалах, критерій розв’язності.

6. Конструктивні числа, критерій в термінах піфагорових розширень.
Тема 10. Зображення груп
Лекція 16. Лінійні зображення груп. Незвідні та нерозкладні зображення – 2год.

Лекція 17. Лема Шура. Теорема Машке –2год.


Лабораторна робота 16. Зображення скінченних груп – 2 год.

Лабораторна робота 17. Зображення абелевих груп –2 год.
Самостійна робота 5 год (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)
Завдання для самостійної роботи (опрацювання лекційного матеріалу і виконання домашніх завдань)

До лекції 16 і лабораторної роботи 16 (2 год)

а) Лінійні зображення груп, рприклади

б) Незвідні та нерозкладні зображення

До лекції 17 і лабораторної роботи 17 (2 год.)

а) Регулярні зображення



б) Незвідні зображення скінченних та абелевих груп

Література [3-6]
Контрольні питання і завдання:

  1. Поняття про лінійне зображення, приклади.

  2. Незвідні та нерозкладні зображення, зв’язок між ними.

  3. Лема Шура.

  4. Теорема Машке.


Типове завдання модульної контрольної роботи № 4

  1. Знайти мінімальний многочлен над полем раціональних чисел елемента .

  2. Подати у вигляді раціональної лінійної комбінації , якщо – корінь многочлена .

  3. Знайти поле розкладу многочлена з раціональними коефіцієнтами .

  4. Описати проміжні поля розширення .

  5. Знайти всі незвідні комплексні зображення групи .

Перелік питань до заліку за 2-й семестр


  1. Поняття кільця та підкільця.

  2. Дільники нуля та одиниці, нільпотентні елементи.

  3. Ідеали в кільцях .

  4. Факторкільця та гомоморфізми кілець.

  5. Подільність в кільцях, факторіальні кільця.

  6. Кільця головних ідеалів та евклідові кільця.

  7. Кільце цілих ґаусових чисел.

  8. Поняття поля, розширення поля.

  9. Характеристика поля, приклади.

  10. Прості розширення полів.

  11. Скінченні розширення полів.

  12. Алгебраїчні розширення полів.

  13. Теорема Кронекера.

  14. Поля розкладу.

  15. Скінченні поля.

  16. Основна теорема алгебри.

  17. Теорема Ліувіля.

  18. Нормальні розширення полів.

  19. Група Ґалуа нормального розширення.

  20. Основна теорема теорії Ґалуа.

  21. Розв’язність рівнянь у радикалах.

  22. Задачі на побудову і піфагорові розширення полів.

  23. Лінійні зображення груп.

  24. Незвідні та нерозкладні зображення.

  25. Лема Шура.

  26. Теорема Машке.


ЛІТЕРАТУРА

  1. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

  2. С.Т.Завало Курс алгебри. К.: Вища школа, 1985.

  3. А.И.Кострикин Введение в алгебру. Москва: Наука, 1977.

  4. Б.Л.ван дер Варден Алгебра. Москва: Наука, 1979.

  5. Э.Б.Винберг Курс алгебры, М.Факториал Пресс, 2002.

  6. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина, М.: Наука, 1987.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка