Правила де Моргана



Скачати 497.63 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації05.03.2017
Розмір497.63 Kb.
  1   2   3
ПРОГРАМА З МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
1 семестр
Вступ
Логічні символи.

Загальне поняття множини. Способи визначення множини.

Співвідношення між множинами. Дії з множинами та їх властивості. Правила де Моргана (закони двоїстості).

Поняття впорядкованої пари елементів та декартового добутку множин.

Загальне поняття відображення (функції). Множини визначення та значень

відображення. Рівність відображень. Звуження та продовження відображення. Образ та

прообраз множин при відображенні. Графік відображення.

Суперпозиція. Ін'єкція, сюр'єкція та бієкція. Обернене відображення.

Рівнопотужні множини. Означення скінченної множини. Властивості

скінченних множин. Означення зліченної множини. Теореми про існування зліченної підмножини нескінченної множини, нескінченну підмножину зліченної множини, об'єднання та декартів добуток (не більш, ніж) зліченних множин.

Існування незліченних множин.

Принцип математичної індукції. Нерівність Бернуллі та обернена до неї.

Задача про вимірювання відрізка. Означення дійсного числа.

Порівняння дійсних чисел. Числова пряма. Аксіома Архімеда.

Непорожність інтервала на числовій прямій.

Означення найбільшого та найменшого елементів множини, обмеженої множини та точних меж. Теорема про характеризацію точних меж.

Теорема про існування точних меж множини.

Означення арифметичних дій з дійсними числами, властивості дій.

Теорема про існування арифметичного кореня степеня n із додатного числа. Означення степеня дійсного числа.

Лема про вкладені відрізки.

Нерівність Коші – Буняковського.

Означення середніх арифметичного, геометричного, гармонічного та нерівності між ними.

Означення модуля дійсного числа та нерівності з модулем (дві нерівності трикутника, нерівність многокутника).
Числові послідовності
Означення границі числової послідовності. Теорема про єдиність границі. Приклади збіжних та розбіжних послідовностей.

Властивості збіжних послідовностей (обмеженість, локалізація, перехід до границі в нерівностях, про три послідовності, про арифметичні дії). Приклади засосування.

Лінійне регулярне перетворення послідовності. Теорема Тьопліца. Теорема Штольца. Приклад (границя послідовності середніх арифметичних).

Означення монотонних послідовностей. Теорема про існування границі монотонної послідовності. Приклад.

Означення числа e.

Означення підпослідовності, властивості підпослідовностей.

Означення часткової границі. Теорема про характеризацію часткової границі.

Означення верхньої та нижньої границь послідовності. Теорема про те, що верхня та нижня границі є частковими границями.

Теорема про характеризацію верхньої та нижньої границь послідовності.

Теорема про існування монотонної підпослідовності. Непорожність множини часткових границь. Теорема Больцано – Вейєрштрасса.


Означення фундаментальної послідовності. Властивості

фундаментальних послідовностей.

Критерій Коші збіжності числової послідовності.

Означення границі послідовності векторів.


Границя функції в точці. Неперервні функції
Означення ε-околу точки. Означення граничної та ізольованої точок множини. Теорема про характеризацію граничної точки множини.

Означення границі функції в точці за Коші. Приклади.

Означення границі функції в точці за Гейне. Еквівалентність означень Коші та Гейне.

Властивості границі функції в точці. Границя суперпозиції.

Односторонні границі.

Означення монотонних та обмежених функцій. Теорема про існування границі монотонної функції.

Критерій Коші існування границі функції в точці.

Відношення підпорядкованості ("О") та його властивості.

Відношення знехтуваності ("о") та його властивості.

Відношення еквівалентності та його властивості.

Шкала порівняння.

Означення головної частини відносно шкали порівняння. Теорема про єдиність головної частини. Поняття про асимптотичний розклад.

Означення функції, неперервної в точці, на множині. Означення неперервних зліва та справа функцій. Арифметичні дії з неперервними функціями. Приклади неперервних функцій.

Розриви функцій. Класифікація розривів. Приклади.

Локалізація неперервної функції. Неперервність суперпозиції.

Теорема про існування та неперервність оберненої функції.

Приклади: логарифмічна та обернені тригонометричні функції.

Визначні границі.

Властивості неперервних на відрізку функцій: перша та друга теореми Вейєрштрасса, теорема про нулі функції, теорема Коші про проміжне значення.

Означення рівномірно неперервної функції. Приклади. Теорема Кантора.

Теорема Вейєрштрасса про наближення неперервної функції многочленом.
Похідна та її застосування
Означення похідної функції. Приклади граничної поведінки різницевого відношення.

Фізична та геометрична інтерпретації похідної.

Зауваження до означення похідної.

Правила обчислення похідної: арифметичні дії, диференціювання складної функції, диференціювання оберненої функції. Таблиця похідних.

Односторонні похідні.

Теореми про функції, що мають похідну: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа (формула скінчених приростів) та наслідки з неї про відновлення функції за похідною та про існування односторонньої похідної, теорема Коші. Застосування теорем Лагранжа та Коші для доведення нерівностей.

Означення диференційовної функції та диференціала. Зв'язок між існуванням похідної в точці та диференційовністю. Інваріантність форми першого диференціала.

Означення похідних вищих порядків. Приклади. Елементарні властивості. Формула Лейбніца для похідної добутку.

Означення диференціалів вищих порядків.

Правила Лопіталя розкриття невизначеностей.

Формула Тейлора: для многочлена, із залишковими членами у формі Пеано та Лагранжа. Основні розклади.

Дослідження монотонності функції за допомогою похідної.

Локальні екстремуми. Дослідження локальних екстремумів за допомогою похідних.

Означення опуклої функції. Умови опуклості функції в термінах функції нахилу. Дослідження опуклості за допомогою похідної. Нерівність Йєнсена. Точки перегину.

Асимптоти графіка функції. Побудова графіка.

2 семестр
Невизначений інтеграл
Означення первiсної (примітивної). Приклади. Приклад функції, що не має

первісної. Узагальнене означення первісної. Структура множини первiсних.

Невизначений iнтеграл i його елементарнi властивостi. Таблиця інтегралів.

Iнтегрування частинами i за допомогою пiдстановки (заміни змінної), приклади. Розклад

раціональної функції в суму елементарних дробів. Iнтегрування елементарних

раціональних дробiв. Iнтегрування рацiональних функцiй вiд sin і cos

(універсальна тригонометрична підстановка). Iнтегрування функцiй, що мiстять

iррацiональностi.


Iнтеграл Рімана. Приклади застосування
Задача обчислення площi криволiнiйної трапецiї. Означення розбиття, дiаметра

розбиття, сум Дарбу, iнтегральної суми; їх геометрична iнтерпретацiя.

Властивостi сум Дарбу. Верхнiй i нижнiй iнтеграли, нерівність між ними.

Означення інтеграла Рiмана та iнтегровної функцiї, приклад. Приклад

неiнтегровної функцiї. Необхiдна i достатня умова iнтегровностi. Коливання

функцiї на відрізку, необхiдна i достатня умова iнтегровностi функції в

термінах коливання. Iнтегровнiсть на вiдрiзку функцiй: неперервної, монотонної,

обмеженої iз скiнченною множиною точок розриву. Означення границі iнтегральних

сум. Нижній і верхній інтеграли як границя сум Дарбу. Теорема Дарбу. Властивостi визначеного iнтеграла: лінійність, адитивність

інтеграла як функції проміжку інтегрування, iнтегрування нерівностей, теореми

про середнє значення та їх геометрична iнтерпретацiя, інтегровність абсолютної

величини iнтегровної функцiї та відповідна нерівність.

Iнтеграл як функцiя верхньої межi iнтегрування: умови неперервностi i

диференцiйовностi. Теорема про iснування первiсної неперервної на вiдрiзку

функцiї. Формула Ньютона – Лейбнiца (два доведення). Диференцiювання iнтеграла

зi змiнними межами (формула Лейбніца). Формула iнтегрування частинами, приклад.

Формула Валліса. Формула Тейлора із залишковим членом в iнтегральнiй формi.

Формула замiни змiнної (дві теореми). Розв'язання функціонального рівняння Коші

у класі локально інтегровних функцій.

Означення площi, квадровнiсть, необхiдна i достатня

умова квадровностi криволiнiйної трапецiї i криволiнiйного

сектора, формули для обчислення площі, приклади. Об'єм тiла за площами його перерізів.

Об'єм тiла обертання навколо координатних осей. Спрямнi

кривi. Достатня умова спрямностi i формула для обчислення довжини кривої,

заданої параметричним рівнянням, явно, у полярних координатах. Площа поверхнi

обертання навколо координатних осей. Статичні моменти, центр маси, теореми

Гульдiна.
Числові ряди і добутки
Означення числового ряду. Частковi суми, сума ряду, збiжнi i розбiжнi ряди,

дві необхiдні умови збiжностi. Приклади, зокрема, геометричний, гармонiчний i

узагальнений гармонічний ряди. Елементарнi властивостi збiжних рядiв. Критерiй Кошi збiжностi числового ряду.

Необхідна і достатня умова збiжностi ряду з невiд'ємними членами. Лема. Три ознаки

порiвняння. Приклади. Ознаки збiжностi рядiв з невiд'ємними членами: Д'Аламбера, Кошi, логарифмiчна, Раабе, Маклорена – Кошi. Приклади застосування.

Ряд Лейбніца i його властивостi. Означення абсолютно i умовно збiжних рядів.

Збiжнiсть абсолютно збiжного ряду i оцінка його суми. Зв'язок абсолютної (умовної)

збiжності ряду зi збіжністю його додатної та від'ємної частин. Ознака Лейбнiца і оцінка залишка. Ознаки Дiрiхле i Абеля.

Групування і перестановка членів ряду. Множення рядiв

за Коші, теорема про добуток рядiв.

Означення нескiнченного добутку, основнi поняття. Необхiдна i достатня умова

збiжностi в термінах збіжності відповідного ряду. Умови збіжності добутку. Абсолютно і умовно збіжні добутки.


Функціональні ряди
Поточкова і рівномірна збіжності функціональниї послідовностей, зв'язок між

ними, приклади. Критерій Коші рівномірної збіжності. Теореми про границю, неперервність,

інтегровність і диференційовність границі функціональної послідовності.

Означення множини збiжностi функціонального ряду. Рiвномiрна збiжнiсть ряду,

необхідна умова. Приклади. Критерій Коші рівномірної збіжності ряду. Ознака Вейєрштрасса. Ознака Лейбніца. Ознаки Дiрiхле i Абеля рiвномiрної збiжностi функціонального ряду i приклади їх застосування.

Теореми про неперервність, про почленне iнтегрування i диференцiювання

функціонального ряду, приклади застосування (розклад ln(1+x) у

степеневий ряд).

Степеневi ряди. Теорема Кошi – Адамара. Приклади рядiв з множинами

збiжностi рiзних типів. Рiвномiрна збiжнiсть степеневого ряду. Неперервнiсть суми.

Почленне iнтегрування i диференцiювання. Визначення коефiцiєнтiв через

суму. Теорема про єдинiсть.

Ряд Тейлора. Достатня умова розкладу в ряд Тейлора. Ряд Тейлора для

показникової функцiї, для sin, cos. Бiномiальний ряд.

Степеневi ряди з комплексними членами. Теорема Коші – Адамара. Показникова

функцiя в комплекснiй площинi. Формули Ейлера.


Функції обмеженої варіації. Інтеграл Стілтьєса
Властивостi монотонних функцiй, характер розривів та зліченність множини точок розриву.

Означення функції стрибків. Розклад монотонної

функції в суму неперервної функції i функцiї стрибкiв. Означення функцiї

обмеженої варiацiї, варiацiї. Варiацiя монотонної функцiї, приклад функцiї з

необмеженою варiацiєю. Властивості варіації та функцій обмеженої варіації.

Теорема про адитивнiсть варiацiї. Теорема Жордана (розклад функції обмеженої варіації).

Необхiдна i достатня умова спрямностi кривої.

Суми Дарбу – Стiлтьєса відносно монотонної функції, їх властивостi. Означення

інтеграла Рімана – Стiлтьєса відносно монотонної функції. Необхiдна i достатня

умова iнтегровностi. Інтегральні суми Стільтьєса, зв'язок існування границі інтегральних сум з інтегровністю. Класи iнтегровних функцiй відносно монотонних функцій (2 теореми).

Властивості інтеграла Стільтьєса. Означення iнтеграла Стiлтьєса вiдносно функцiї обмеженої варiацiї. Обчислення iнтеграла Стiлтьєса. Граничний перехiд пiд знаком iнтеграла

Стiлтьєса: за послідовністю інтегровних функцій та за послідовністю інтегруючих функцій (теорема Хеллi). Зв'язок інтеграла Стільтьєса з рядами.



3 семестр
Метричні простори
Означення метрики та метричного простору. Приклади метричних просторів, зокрема, (R^m,ρ), (C([a;b]),ρ), дискретний простір.

Елементарні властивості метрики: друга нерівність трикутника, нерівність для

довжини ламаної, нерівність чотирикутника.

Означення декартового добутку метричних проторів. (R^2,ρ) як декартів добуток одновимірних евклідових просторів.

Означення збіжної послідовності в метричному просторі та її границі.

Елементарні властивості збіжних послідовностей.

Характеризація збіжних послідовностей в (R^m,ρ) та в (C([a,b]), ρ).

Означення відкритої та замкненої куль, сфери в метричному просторі.

Означення діаметра множини та обмеженої множини в метричному просторі.

Означення внутрішньої точки множини та відкритої множини. Основні властивості відкритих множин (3 теореми).

Теореми про структуру відкритих множин в (R^m,ρ) (m=1, m>1).

Означення граничної точки множини в метричному просторі. Теорема про характеризацію граничної точки. Означення замкненої множини в метричному просторі. Властивості замкнених множин. Означення замикання множини в метричному просторі.

Означення ізольованої точки множини.

Означення скрізь щільної множини в метричному просторі; еквівалентні твердження. Означення сепарабельного метричного простору. Приклади сепарабельних метричних просторів (R^m,ρ) та (C([a,b]), ρ).

Означення фундаментальної послідовності в метричному просторі та повного простору.

Приклади повних просторів, зокрема, (R^m,ρ) та (C([a,b]), ρ). Теорема Кантора про вкладені кулі.

Означення ізометрії. Теорема про поповнення метричного простору. Приклад: поповнення

(a,b) з евклідовою метрикою.

Означення границі функції з одного метричного простору в інший. Теорема про єдиність границі. Граничні властивості арифметичних операцій з дійсними функціями. Границя векторнозначного відображення.

Означення подвійної та повторних границь. Зв'язок між ними (приклади).

Означення неперервної функції. Арифметичні властивості неперервних функцій.

Неперервність векторнозначного відображення. Неперервність суперпозиції.

Приклади неперервних функцій з (R^m,ρ) в (R,ρ).

Теорема про характеризацію неперервної функції.

Означення рівномірно неперервної на множині функції. Приклади.

Означення компактної множини в метричному просторі. Властивості компактних множин (3 теореми).

Означення ε-сітки. Критерій Хаусдорфа.

Критерій компактності множини в термінах послідовностей. Некомпактність замкненої кулі в (C([a,b]), ρ).

Критерій компактності в (R^m,ρ).

Означення рівномірно обмеженої та рівностепенево неперервної сім'ї функцій.

Критерій компактності в (C([a,b]), ρ) (теорема Арцела – Асколі).

Властивості неперервних функцій на компактних множинах (теорема про образ компактної множини, теорема Вейєрштрасса, теорема про гомеоморфізм, рівномірна неперервність і теорема Кантора).

Означення зв'язної множини. Приклад зв'язної множини. Теорема про образ зв'язної множини при неперервному відображенні.

Означення нерухомої точки відображення, означення стискаючого відображення. Теорема Банаха про нерухому точку. Наслідок.

Застосування теореми Банаха: існування розв'язку рівнянь f(x)=x, F(x)=0, системи лінійних алгебраїчних рівнянь, задачі Коші для звичайного диференціального рівняння, інтегрального рівняння Фредгольма другого роду; теорема про неявну функцію.

Означення алгебри функцій. Теорема Стоуна – Вейєрштрасса. Класичні теореми Вейєрштрасса про рівномірне наближення алгебраїчними та тригонометричними поліномами.
Функції кількох змінних
Означення похідної за напрямком. Зв'язок з похідною функції однієї змінної. Означення частинної похідної.

Властивості похідної за напрямком: теорема про арифметичні дії; про середнє значення.

Теореми про похідну за напрямком c a та за напрямком a+b. Означення градієнта функції, його геометричний зміст.

Означення і властивості лінійної функції. Означення диференційовної функції, диференціала.

Властивості диференційовної в точці функції: неперервність, існування похідної за будь-яким напрямком.

Теорема про достатні умови диференційовності функції кількох змінних. Наслідок.

Властивості диференційовних функцій кількох змінних: теорема про арифметичні дії; диференційовність суперпозиції.

Означення похідної другого порядку за напрямками a, b. Означення частинних похідних другого порядку. Теорема про мішані похідні другого порядку. Означення частинних похідних та диференціала другого порядку; похідних за напрямками та частинних похідних порядку n.

Формула Тейлора для функцій кількох змінних із залишковим членом у формі Лагранжа та у формі Пеано; ряд Тейлора.

Означення локальних екстремумів. Теорема про необхідні умови локального екстремуму. Знаковизначені матриці та критерій Сільвестра; лема про збереження знаковизначеності функціональної матриці. Теорема про достатні умови локального екстремуму.

Означення опуклої функції кількох змінних. Умови опуклості в термінах відповідної функції скалярного аргумента та в термінах другої похідної.

Векторнозначні відображення. Приклади. Лінійне відображення та його матриця, їх властивості.

Означення неперервного векторнозначного відображення. Критерій неперервності відображення в термінах неперервності його компонент.

Означення диференційовного векторнозначного відображення та похідної відображення. Критерій диференційовності в термінах компонент відображення. Матриця Якобі.

Теорема про диференційовність складного відображення. Наслідок для якобіанів.

Аналог теореми про середнє значення для векторнозначних відображень.

Лема про локальний гомеоморфізм.

Теорема про існування та властивості оберненого відображення.

Теорема про існування та властивості неявного відображення.

Означення локального відносного (умовного) екстремуму. Необхідні умови відносного локального екстремуму (правило множників Лагранжа). Достатні умови відносного локального екстремуму. Приклад: екстремуми квадратичної форми на сфері та власні числа матриці форми.

Невласні інтеграли та інтеграли Рімана, що залежать від параметра
Означення невласного інтеграла по необмеженому проміжку. Приклади. Елементарні властивості (лінійність, формула Ньютона – Лейбніца, формула інтегрування частинами, критерій Коші збіжності).

Збіжність невласних інтегралів від невід'ємних функцій: критерій збіжності та ознаки порівняння (мажорантна та у формі еквівалентності).

Означення абсолютно та умовно збіжних невласних інтегралів по необмеженому проміжку. Зв'язок між абсолютною збіжністю та збіжністю. Приклад: інтеграл Діріхле.

Ознаки Діріхле та Абеля збіжності невласного інтеграла по необмеженому проміжку. Приклади застосування.

Означення невласного інтеграла від необмеженої функції. Приклади. Основні властивості.

Теореми про неперервність, диференційовність та інтегровність за параметром інтеграла Рімана.

Означення рівномірно збіжної сім'ї функцій. Теорема про граничний перехід за параметром під знаком інтеграла Рімана.

Означення рівномірно збіжного невласного інтеграла по необмеженому проміжку.

Приклади: інтеграл від степеневої функції, інтеграл Діріхле. Критерій Коші рівномірної збіжності.

Означення рівномірно збіжного невласного інтеграла від необмеженої функції. Приклад: інтеграл від степеневої функції.

Ознаки Вейєрштрасса, Діріхле та Абеля рівномірної збіжності невласних інтегралів по необмеженому проміжку. Приклади застосування.

Теореми про неперервність та про граничний перехід під знаком невласного інтеграла.

Теорема про інтегрування за параметром по відрізку. Приклад: обчислення інтеграла Фруллані.

Теорема про диференціювання за параметром. Приклад: обчислення інтеграла Діріхле.

Теорема про інтегрування по необмеженому проміжку. Приклад: обчислення інтеграла Ейлера – Пуассона.

Означення Γ-функції, її елементарні властивості, графік.

Означення логарифмічно опуклої функції. Логарифмічна опуклість Г-функції.

Основна теорема про Γ -функцію.

Основні формули для Γ -функції: формула Ейлера, зображення Вейєрштрасса, формула подвоєння Лежандра, формула доповнення (функціональне рівняння Ейлера); розклад синуса в нескінченний добуток.

Теорема про формулу Стірлінга.

Означення B-функції, її елементарні властивості, зв'язок із Γ -функцією.
4 семестр
Кратні інтеграли
Означення бруса, його діаметра, міри. Розбиття бруса, діаметр розбиття.

Суми Дарбу, інтегральні суми та їх властивості.

Верхній та нижній інтеграли, означення інтегровної функції та інтеграла по брусу.

Інтеграл від неперервної функції по брусу: інтегровність неперервної функції по брусу, інтеграл як границя інтегральних сум, наслідок.

Властивості інтеграла від неперервної функції по брусу: інтеграл від константи, лінійність, адитивність, теорема про середнє значення, інтегрування нерівностей.

Обчислення інтеграла від неперервної функції по брусу повторним інтегруванням. Наслідки.

Розбиття простору R^m, його елементарні властивості.

Означення вимірної за Жорданом множини та її міри Жордана. Критерій вимірності. Властивості вимірних за Жорданом множин та міри Жордана.

Означення кратного інтеграла по вимірній множині, його обгрунтування. Властивості: інтеграл від константи, лінійність, адитивність, інтегрування нерівностей.

Означення циліндричної множини. Теорема про вимірність циліндричних множин.

Обчислення кратного інтеграла по циліндричній множині: лема про неперервність функції g, теорема про обчислення, наслідок.

Означення відображення спеціального вигляду. Теорема про вимірність образу при відображенні спеціального вигляду.

Формула заміни змінних при відображенні спеціального вигляду.

Перестановка координат. Формула заміни змінних при перестановці координат.

Локальне зведення загального відображення до суперпозиції відображень спеціального вигляду.

Лема про образи множин без спільних внутрішніх точок.

Загальна формула заміни змінних у кратному інтегралі. Наслідки.

Формула переходу до полярних координат при порушенні умов загальної теореми на деякій множині міри 0.

Означення невласного кратного інтеграла від необмеженої функції. Приклад: інтеграл від степеневої функції.

Головне значення розбіжного невласного інтеграла.

Критерій збіжності невласного кратного інтеграла від невід'ємної функції. Зв'язок між збіжністю та абсолютною збіжністю невласних кратних інтегралів по множинах в R^m, m>2.

Означення невласного кратного інтеграла по необмеженій множині.

Приклад: інтеграл від степеневої функції. Обчислення інтеграла Ейлера – Пуассона.
Інтеграли по многовидах. Теорема Стокса
Означення регулярного відображення, припустимого координатного простору для множини. Орієнтація простору, множини. Приклади.

Означення диференціальної форми степеня m в просторі R^m, інша форма запису формули заміни змінних в кратному інтегралі. Формальні властивості диференціальних форм.

Означення многовиду, параметричне зображення, орієнтація многовиду.

Приклади: орієнтовані крива та поверхня.

Означення диференціальної форми степеня p в просторі R^m, канонічний запис диференціальної форми, дії з диференціальними формами.

Означення інтеграла від диференціальної форми степеня p по орієнтованому многовиду розмірності p в просторі R^m, часткові випадки.

Означення криволінійного інтеграла другого роду. Криволінійний інтеграл другого роду як границя інтегральних сум. Фізична інтерпретація криволінійного інтеграла другого роду.

Означення поверхневого інтеграла другого роду.

Означення зовнішнього диференціала диференціальної форми, приклади. Теорема Пуанкаре.

Орієнтація границі множини, що складається зі скінченного набору брусів.

Формула Стокса для множини, що складається зі скінченного набору брусів. Загальна формула Стокса.

Часткові випадки загальної формули Стокса: формула Ньютона – Лейбніца, формула Гріна, формула Остроградського – Гаусса, класична формула Стокса.

Означення точної та замкненої диференціальних форм. Приклади замкнених диференціальних форм. Властивість інтеграла другого роду від точної форми.

Означення однозв'язної множини в R^m.

Властивості інтеграла від замкненої форми по замкненій кривій в однозв'язній множині. Наслідки.

Необхідні й достатні умови того, щоб диференціальна форма була точною.

Означення міри на підмножинах гіперплощини в R^m.

Означення міри на многовиді, інтеграла першого роду по многовиду.

Означення довжини дуги, криволінійного інтеграла першого роду. Криволінійний інтеграл першого роду як границя інтегральних сум, фізична інтерпретація цього інтеграла.

Означення площі поверхні, поверхневого інтеграла першого роду. Поверхневий інтеграл першого роду як границя інтегральних сум, фізична інтерпретація цього інтеграла.

Зв'язок між інтегралами першого та другого роду; зв'язок між криволінійними інтегралами першого та другого роду, між поверхневими інтегралами першого та другого роду.

Поняття градієнта, дивергенції, ротора, потоку, циркуляції.

Формули Остроградського – Гаусса та Стокса у векторній формі. Безкоординатне означення дивергенції та ротора.
Ряди та інтеграл Фур'є
Простір R([a,b]) зі скалярним добутком. Означення норми; поняття ортогональності, нормованості, лінійної незалежності. Ортогональність тригонометричної послідовності. Лінійна незалежність степеневої послідовності.

Задача про найкраще середньоквадратичне наближення. Означення коефіцієнтів Фур'є та ряду Фур'є за ортонормованою системою. Властивості коефіцієнтів Фур'є.

Означення замкненої системи. Замкненість степеневої та тригонометричної послідовностей.

Середньоквадратична збіжність ряду Фур'є за замкненою системою, рівність Парсеваля.

Означення повної системи. Повнота замкненої системи.

Ряд Фур'є за тригонометричною системою. Властивості коефіцієнтів Фур'є.

Лема Рімана.

Інтегральне зображення часткових сум ряду Фур'є за тригонометричною системою. Ядро Діріхле та його властивості.

Необхідні й достатні умови збіжності в точці ряду Фур'є за тригонометричною системою. Принцип локалізації Рімана.

Ознаки Діні, Ліпшиця збіжності в точці ряду Фур'є за тригонометричною системою. Наслідки з них.

Ядро Фейєра та його властивості. Інтегральне зображення середніх за Чезаро часткових сум ряду Фур'є. Теорема Фейєра та теореми Вейєрштрасса як наслідки з неї.

Рівномірно збіжні тригонометричні ряди.

Зв'язок між коефіцієнтами Фур'є функції та її похідних.

Рівномірна збіжність та почленна диференційовність ряду Фур'є.

Почленне інтегрування ряду Фур'є.

Ряд Фур'є для функції з довільним періодом за модифікованою тригонометричною системою.

Інтеграл Фур'є та інтегральна формула Фур'є. Ознаки Діні та Ліпшиця збіжності інтеграла Фур'є в точці. Наслідки.

Означення перетворення Фур'є; формула обернення. Властивості перетворення Фур'є.

Приклад застосування перетворення Фур'є (розв'язання рівняння теплопровідності).

ЛІТЕРАТУРА



Дороговцев, А.Я. Математичний аналіз: підручник. У 2 ч. / А.Я.Дороговцев. – К.: Либідь, 1993.

Дороговцев, А.Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложении / А.Я.Дороговцев. – К.: Факт, 2004.

Дороговцев, А.Я. Математический анализ. Сборник задач. / А.Я.Дороговцев. – К.: Вища шк., 1987.

Ильин, В.А. Математический анализ. В 2-х ч. / В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. – М.: Наука, 1979; изд-во МГУ, 1987.

Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

Збірник задач з математичного аналізу. Функції однієї змінної. / М.О.Денисьєвський, О.О.Курченко, В.Н.Нагорний та ін. – К.: ВПЦ "Київський унiверситет", 2005.

Збірник задач з математичного аналізу. Функції кількох змінних. / М.О.Денисьєвський, А.В.Чайковський. – К.: ВПЦ "Київський унiверситет", 2012.

Гелбаум, Б. Контрпримеры в анализе / Б.Гелбаум, Дж.Олмстед. – М.: Мир, 1967.

Основний зміст курсу „ Вибрані питання теорії операторів ”

Необмежені оператори математичної фізики. Індекси дефекту симетричних операторів(на прикладах операторів імпульсу та енергії). Побудова симетричних розширень оператора імпульсу. Збурення самоспряжених операторів. Стискуючі напівгрупи. Формула Троттера для добутку. Формула Фейнмана –Каца. Простори Фока.

Представлення комутаційних співвідношень вільних Бозе—полів .

Представлення антикомутаційних співвідношень вільних Фермі-полів .

Гамільтоніани квантової теорії поля у просторі Фока.
ЛІТЕРАТУРА
1. Ю. М. Березанский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель, Функциональный аналіз-- Киев, Вища школа, 1990.

2. М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики, ТТ.1,2, М.: Мир, 1977, 1978.

3. О. Л. Ребенко, Основи сучасної теорії взаємодіючих квантованих полів, Київ, Наукова думка, 2007.


Основний зміст курсу Моделювання стохастичних і детермінованих процесів

Визначення та приклади стохастичних і детермінованих процесів. Введення просторів конфігурацій та функцій нескінченого числа змінних. Міри Лебега-Пуассона, Пуассона, Гаусса на просторах нескінченних конфігурацій та їх властивості. Міра Гіббса та її роль для опису детермінованих нескінченних систем. Кореляційні міри та кореляційні функції. Елементи пуассонівського аналізу.

Напівгрупи та їх генератори. Побудова стохастичних процесів.

Опис деяких стохастичних моделей(стохастична модель Ізінга, модель голосування).


ЛІТЕРАТУРА


1. Ю. М. Березанский, Ю. Г. Кондратьев, Спектральные методы в бесконечномерном анализе. Киев, Наукова Думка, 1988.

2. Т. Лиггет, Марковские процессы с локальным взаимодействием. Москва, «Мир» 1989.

3. О. Л. Ребенко, Курс лекцій «Методи нескінченновимірного аналізу та їх застосування.» (рукопис)
Основний зміст курсу „Гармонічний аналіз”

Означення та основні властивості перетворення Фур’є. Згортки та перетворення Фур’є.

Обернення перетворення Фур’є. Обчислення ядер Вейєрштрасса та Пуассона. Твердження про рівність 1 інтегралів від ядер Вейєрштрасса та Пуассона. Обернення перетворення Фур’є як інтеграли за Абелем та Гауссом. Обернення перетворення Фур’є в точці. Наслідки. L2–теорія перетворення Фур’є.

Гармонічні функції. Субгармонічні функції. Гармонічна мажоранта.

Кратні ряди Фур’є. Формула сумування Пуассона.

Інтерполяція лінійних операторів. Теорема Ріса-Торіна.

ЛІТЕРАТУРА

1.Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на эвклидовых пространствах. М.: Мир, 1973. 331 с.

2.Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1972. 622 с.

Основний зміст курсу «Теорія міри та інтеграла»
Означення основних класів множин.

Породжені класи множин. Дві теореми про породжені класи. Борельові множини.

Функції множин. Міри.

Приклади мір. Зовнішні міри.

Теорема Каратеодорі. Повні міри.

Продовження міри з півкільця на породжене σ-кільце. Міра Лебега в Rd. Міра Лебега-Стілтьєса в R. Регулярність мір.

Означення вимірної функції. Приклади.

Дії з вимірними функціями. Наближення вимірних функцій простими.

Еквівалентні функції.

Збіжність майже скрізь. Теорема Єгорова.

Збіжність за мірою. Фундаментальність за мірою.

Означення інтеграла.

Наближення значення інтеграла інтегралами від простих функцій.

Зліченна адитивність інтеграла.

Елементарні властивості інтеграла. Лінійність інтеграла.

Граничні теореми для інтеграла.

Порівняння інтеграла Лебега та інтеграла Рімана.

Критерій Лебега інтегровності за Ріманом на [a,b].

Інтеграл, що залежить від параметра. Заміна змінної.

Означення заряду.

Розклади Гана та Жордана.

Теорема Радона-Никодима.

Розклад Лебега. Абсолютно неперервні функції на [a,b]. Абсолютна неперервність відносно міри Лебега на [a,b].

Множини та функції на добутку просторів. Добуток мір. Теореми Тонеллі і Фубіні.

Нерівності Гельдера і Мінковського. Простір Lp. Щільні підмножини Lp.

Банахові простори. Комплексні простори Lp. Простори lp. Ізоморфізм лінійних нормованих просторів. Підпростори лінійних нормованих просторів.

Теорема про "майже перпендикуляр".

Простори зі скалярним добутком. Гільбертові простори. Ортогональний розклад гільбертового простору.

ЛІТЕРАТУРА

1. Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. — К.: Факт, 2007. — 164 с.

2. Халмош П. Теория меры. — М.: Изд-во „Факториал-пресс”, 2003. — 256 с.

3. Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1,2. — Москва-Ижевск; НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2006. — 584 с. (Т. 1), 680 с. (Т. 2).

4. Березанский Ю. М., Ус Г.Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. Курс лекций. — К.: Выща школа, 1990.— 600 с.

ПРОГРАМА З ТЕОРІЇ НАБЛИЖЕНЬ

Основні поняття та задачі теорії наближень.

Величина та елемент найкращого наближення.

Властивості величини найкращого наближення.

Проблема існування елемента найкращого наближення.

Теорема Бореля.

Строго нормовані простори.

Проблема єдності елемента найкращого наближення.

Критерій Колмoгорова.

Теорема Чебишова та Валле-Пуссена у випадку наближення алгебраїчними многочленами.

Теореми Чебишова та Валле-Пуссена у випадку наближення тригонометричними поліномами. Чебишовські системи функцій.

Теорема Гаара. Існування, єдність та критерії елемента найкращого наближення у просторах інтегрованих функцій. Наближення в гільбертовому просторі.

Теореми Вейєрштрасса, Стоуна, Мюнца, Коровкіна, Мергеляна.

Інтерполяційні многочлени Лагранжа.

Скінченні та розділені різниці. Модулі неперервності першого порядку

Модуль неперервності старших порядків.

Нерівність Уїтні. Поліноміальні ядра Діріхле та Фейєра та їх властивості.

Поліноміальні ядра Валле-Пуссена та Джексона та їх властивості.

Нерівності Бернштейна, Маркова, Дзядика.

Прямі теореми наближення функцій алгебраїчними та тригонометричними поліномами.

Обернені теореми наближення функцій алгебраїчними та тригонометричними поліномами.

Наближення раціональними функціями.

Теорема Ньюмана.
ЛІТЕРАТУРА
1. Шевчук І.О., Примак А.В. Теорія наближень/ Навч. посібник для студентів мех.-мат. факультету. – К.: Сайт мех.-мат. ф-ту КНУ ім. Тараса Шевченка.

2. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 376 с.

3. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. – М.: Наука, 1977. – 512 с.

4. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 686 с.

5. Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. – К.: Наук. думка, 1992. – 212 с.

6. Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения. – Екатеринбург: 1999. – 352 с.

7. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 416 с.

  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка