Площина і пряма у просторі



Скачати 87.44 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір87.44 Kb.
Площина і пряма у просторі.


  1. Рівняння площини у просторі.

  2. Рівняння прямої у просторі.

Будь-яке рівняння першого степеня з трьома змінними визначає площину. І навпаки, будь-яка площина визначається рівнянням першого степеня відносно змінних координат, які задають довільну точку площини.

1. Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд:



Де числа координати нормального вектора.

Особливі випадки рівняння

а) Якщо в рівнянні вільний член , тоді одержуємо рівняння



Площини, що проходить через початок координат.

б) Нехай в рівнянні один із коефіцієнтів або С дорівнює нулю. Тоді одержимо рівняння площини, які паралельні відповідним координатним осям.

Рівняння площини, що паралельні осі .



Рівняння площини, що паралельні осі :



Рівняння площини, що паралельна осі :



Необхідно запам’ятати, що якщо площина паралельна якій-небудь координатній осі, то в її рівняння відсутній член, який містить координату, однойменну з цією віссю.

в) Якщо в цих рівняннях вільний член , то одержимо рівняння площин, які проходять через відповідні осі координат.

Рівняння площини, що проходить через вісь :



.

Рівняння площини, що проходить через вісь :



.

Рівняння площини, що проходить через вісь :



.

г) Нехай в рівнянні два коефіцієнта дорівнюють нулю, тобто: , або , або . Тоді одержуємо рівняння площини, які паралельні відповідним координатним площинам:

Рівняння площини, що паралельна координатній площині :

, або .

Рівняння площини, що паралельна координатній площині :



, або

Рівняння площини, що паралельна координатній площині :



, або .

д) нехай в рівнянні три коефіцієнти , або і , або і дорівнює нулю. Тоді одержуємо рівняння координатних площин.

Рівняння координатної площини :

, або .

Рівняння координатної площини :



, або .

Рівняння координатної площини :



, або .

2. Рівняння площини в відрізках.

Рівняння площини в відрізках має вигляд:

Де і - величини відрізків, які відтинає площина на осях координат.

3. Рівняння площини, що проходить через задану точку

Рівняння площини, що проходить через задану точку має вигляд:



,

Де - координати нормального вектора площини

4. Рівняння площини, що проходить через три задані точки

Рівняння площини, що проходить через три задані точки , і , які не лежать на одній прямій має вигляд:



.
Кут між двома площинами, які задані рівняннями:



Визначається за формулою:



Умова паралельності двох площин має вигляд:



Умова перпендикулярності двох площин має вигляд:



.
Відстань від точки до площини визначається за формулою:

.
2. У просторі, як і на площині, пряма може задаватись різними способами.

1) Рівняння прямої, заданої точкою і напрямним вектором (канонічне рівняння прямої).

Напрямний вектор прямої , точка М0(x0,y0,z0) – належить прямій. Візьмемо довільну точку М (x,y,z) і розглянемо умову, коли точка М належить прямій. Для цього потрібно, щоб , тоді їх координати повинні бути пропорційні, тобто

2) Рівняння прямої заданої, двома точками.

Нехай точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) належать прямій. Візьмемо довільну точку М (x,y,z) на прямій і утворимо вектори М1М2 і М1М, тоді М1М2 || М1М, а значить

.

3) Рівняння прямої, заданої двома площинами.



.

.

Тоді пряма розглядається, як перетин двох площин.

Отже, рівняння прямої

Напрямним вектором прямої, заданої, як перетин двох площин є вектор



4) Параметричні рівняння прямої.

Розглянемо канонічне рівняння прямої і введемо коефіцієнт пропорційності:

. Тоді

Взаємне розміщення двох прямих.

Нехай у деякій системі координат дано дві прямі канонічними рівняннями:

;

.

1) Прямі d1 і d2 будуть паралельними тоді і тільки тоді, коли їх напрямні вектори і є колінеарними. Тобто, координати векторів будуть пропорційними:



d1 d2

2) Дві прямі збігаються тоді і тільки тоді, коли дві прямі мають спільну точку і їх напрямні вектори колінеарні:





х12, y1=y2, z1=z2

3) Дані непаралельні прямі будуть перетинатися тоді і тільки тоді, коли вектори компланарні, тобто їх мішаний добуток дорівнює нулю .








Одержана умова є умовою і того, що дві прямі лежать в одній площині.

4) Дві прямі будуть мимобіжними, якщо вони непаралельні і не перетинаються.

Кут між двома прямими.

Нехай у просторі дано дві непаралельні прямі d1 i d2.

Візьмемо довільну точку А простору і проведемо через цю точку дві прямі // d1¢ i d2¢




А



Тоді кутом між прямими i будуть називатися кут між прямими причому



.

Якщо дві прямі задано канонічними рівняннями, то визначення кута між двома прямими зводиться до визначення кута між двома напрямними векторами цих прямих.


А

А




Отже,


Дві прямі перпендикулярні, коли скалярний добуток напрямних векторів дорівнює нулю: тобто .

Задача 1. Знайти проекцію точки на площину

Розв’язок: а) Складено рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до площини Спочатку напишемо рівняння прямої, що проходить через точку :



На основі умови перпендикулярності прямої і площини числа пропорційні числам із рівняння площини. Через це, замінивши в останньому рівнянні числами одержуємо рівняння прямої в вигляді:



б)Щоб знайти проекцію точки на площину, необхідно знайти координати основи перпендикуляра, проведеного із точки на площину, тобто точку перетину прямої з площиною.



Рівняння прямої представляємо в параметричній формі. Одержимо: Одержані значення підставляємо в рівняння площини:







Значення параметра підставимо в рівняння



Маємо:


Отже, проекція точки на площину є точка .

Задача 2. Скласти рівняння площини, що проходить через точку і пряму

Розв’язок. В шуканій площині повинні знаходиться точка та пряма Виберемо в шуканій площині точку . Якщо пряма лежить у шуканій площині, то точка заданої прямої знаходиться в площині, а напрямний вектор паралельний шуканій площині. Розглянемо вектори , та . Ці вектори компланарні, а це означає. Що їх мішаний добуток дорівнює нулю:



Або


Розкриваємо визначник:









Ми отримали рівняння шуканої площини.



Завдання для самостійної роботи


1) Скласти рівняння прямої, що проходить через дві задані точки якщо:

2) Скласти рівняння ребер тетраедра з вершинами у точках А (1; -1; 0),

В (2; 0; -2), С (0; 4; -3) та D (-1; 2; -2).

3) Визначити кут, утворений прямими



та

4) Скласти рівняння площини, що проходить через точку і паралельна площині



5) Задані точки і . Скласти рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до вектора .




База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка