Первісна та невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця інтегралів



Скачати 78.73 Kb.
Дата конвертації01.01.2017
Розмір78.73 Kb.
Лекція 1. Означення та властивості невизначеного інтеграла


    1. Первісна та невизначений інтеграл.

    2. Властивості невизначеного інтеграла.

    3. Таблиця інтегралів.

    4. Інтегрування підстановкою

    5. Таблиця інтегралів


1.1. Первісна та невизначений інтеграл. Однією з основних задач диференціального числення є знаходження похідної заданої функції. Різноманітні питання математичного аналізу і його застосування в геометрії, механіці, фізиці і техніці приводять до оберненої задачі: за заданою функцією знайти таку функцію , похідна якої була б рівна , тобто .

Відновлення функції за відомою похідною цієї функції – одна з основних задач інтегрального числення.



Означення 1. Функція називається первісною функції на деякому проміжку , якщо для всіх значень з цього проміжку виконується рівність .

Приклад 1. є первісною функції на проміжку , оскільки при будь-якому значенні .

Приклад 2. первісна функції на проміжку , оскільки в будь-якій точці з цього проміжку .

Задача знаходження за заданою функцією її первісної розв’язується неоднозначно. Дійсно, якщо - первісна функції , тобто , то функція , де – довільна стала, також є первісною функції , оскільки для будь-якого числа .

Покажемо, що множина функцій, де ─ деяка первісна функції , а – довільна стала, вичерпує всі первісні функції.

Лема 1. Функція, похідна якої на деякому проміжку дорівнює нулю, стала на цьому проміжку.

Доведення. Нехай у всіх точках проміжку : . Для будь-яких двох точок за теоремою Лагранжа* одержимо , .

Оскільки , то , тобто , де – деяке число. □



Теорема 1. Якщо ─ первісна функції на деякому проміжку , то будь-яку іншу первісну функції на цьому ж проміжку можна представити у вигляді , де – довільна стала.

Доведення. Нехай ─ будь-яка інша первісна функції на проміжку , тобто . Тоді для будь-якого

,

а за лемою 1 це означає , що , де – деяке число. Отже,



Означення 2. Якщо функція – первісна функції на проміжку , то множина функцій , де – довільна стала, називається невизначеним інтегралом від функції на цьому проміжку і позначається таким чином

.

Символ – називається знаком інтеграла,



підінтегральною функцією, підінтегральним виразом, а змінна змінною інтегрування.

1.2. Властивості невизначеного інтеграла.

З означення невизначеного інтеграла безпосередньо випливають наступні його властивості.

10. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції ; диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, тобто

і .

Дійсно,


і

.

20. Невизначений інтеграл від диференціала первісної функції дорівнює сумі первісної і довільної сталої, тобто


Оскільки , то.

30.Сталий множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо , то

.

Дійсно, нехай – первісна функції, тобто .Тоді – первісна функції : . Звідси випливає, що



,

де .

40. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від функцій, що додаються, тобто

.

Дійсно, нехай і - первісні функцій і : , . Тоді функція є первісною функції . Отже,



Зауважимо, що властивість 40 вірна для будь-якого скінченного числа доданків.


1.3. Таблиця інтегралів.

Відновлення функції за її похідною, або що те ж саме, знаходження невизначеного інтеграла за заданою функцією називається інтегруванням. Оскільки інтегрування – дія, обернена до диференціювання, то будь-яка формула, яка

виражає похідну функції, тобто формула вигляду, може бути обернена (записана у вигляді інтегральної формули):

.

Використовуючи ці міркування, напишемо таблицю значень деяких невизначених інтегралів, які випливають з основних формул диференціального числення.

1. .

2..

3. , , зокрема,

.

4..

5..

6..

7..

8., .

9..
10..

11..

Те, що похідними функцій, що знаходяться в правих частинах цих формул, є відповідні підінтегральні функції, перевіряється безпосереднім диференціюванням.

З допомогою інтегралів 1-11, які називаються табличними інтегралами, а також властивостей невизначеного інтеграла можна виразити інтеграли і від більш складних елементарних функцій також через елементарні функції.



Приклад 3.

Якщо первісна деякої елементарної функції є елементарною функцією, то кажуть, що інтеграл

виражається через елементарні функції або, що цей інтеграл обчислюється. Зауважимо, що якщо операція диференціювання елементарних функцій знову приводить до елементарних функцій , то операція інтегрування вже може привести до неелементарних функцій, тобто функцій, які не виражаються через скінченне число арифметичних операцій і суперпозицій елементарних функцій.

Наприклад, доведено що наступні інтеграли не інтегруються в елементарних функціях :



- інтеграл Пуассона*,

- інтегральний логарифм,

- інтегральний косинус,

- інтегральний синус.
1.4. Інтегрування підстановкою (заміною змінної).

В багатьох випадках введення нової змінної інтегрування дозволяє звести знаходження заданого інтеграла до знаходження табличного інтеграла. Такий метод називається методом підстановки або методом заміни змінної. Він грунтується на наступній теоремі.



Теорема 2. Нехай функція визначена і диференційовна на деякому проміжку і нехай –множина значень цієї функції, на якій визначена функція . Тоді , якщо на множині функція має первісну, то на множині справедлива формула:

. (1.1)

Доведення. Нехай - первісна функції на множині . Розглянемо на множині складну функцію . За правилом диференціювання складної функції, враховуючи, що , одержимо:

,

тобто функція має на множині первісну і, отже,



.

Оскільки, то одержимо формулу (1.1). □

Формула (1.1) називається формулою заміни змінної в невизначеному інтегралі.

Приклад 4.



Зауваження. При заміні змінної в невизначеному інтегралі інколи зручніше задавати не як функцію , а навпаки, задавати як функцію .

Приклад 5.


при n≠1,

при n=1.

Інші приклади на інтегрування з допомогою заміни

змінної будуть розглядатися в наступних лекціях.
1.5. Інтегрування частинами.

Теорема 3. Нехай функції і визначені та

диференційовні на деякому проміжку і нехай функція має первісну на цьому проміжку. Тоді на проміжку функція також має первісну і справедлива формула:



(1.2)

Доведення. З рівності

випливає, що



,

Первісною функції на проміжку є функція . Функція має первісну на за умовою теореми. Отже, і функція має первісну на проміжку . Інтегруючи останню рівність, одержимо формулу (1.2). □

Формула (1.2) називається формулою інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.

Оскільки , , то формулу (1.2) можна записати у вигляді



Ця формула позволяє звести обчислення до обчислення інтеграла , який може виявитися більш простим.



Приклад 6.



Приклад 7.

.

Приклад 8.

Інколи для обчислення інтеграла формулу інтегрування частинами приходиться застосовувати декілька разів.



Приклад 9.

.

Інколи після дворазового застосування формули інтегрування частинами, приходимо в правій частині до виразу, який містить початковий інтеграл, тобто одержуємо рівняння з шуканим інтегралом як невідомим.



Приклад 10.

в результаті одержано рівняння відносно невідомого інтеграла :



.

Звідси


.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка