Основи символічного методові розрахунку



Скачати 83.96 Kb.
Дата конвертації01.03.2017
Розмір83.96 Kb.




Лекція 3

Тема: Основи символічного методові розрахунку

електричних кіл синусоідального струму.


1.Сутність методові комплексних амплітуд.

2.Комплексний опір і провідність кола та його елементів.

Законі Ома і Кірхгофа.

3. Комплексна схема заміщення кола.


Л і те р а т у р а

Л1. с.50 – 51, 57-61, 63-69. Л2. с.80-97, Л3. с.101-106


1. СУТНІСТЬ МЕТОДУ КОМПЛЕКСНИХ АМПЛІТУД.

Рішення будь-якої задачі комплексним методом складається з трьох етапів:



1)пряме перетворення,
Im (t) = i (t); Um (t) = u(t); Em (t) = e (t);
2) визначення зображень
3) зворотне перетворення ,

використовуючи формулу Эйлера:



i (t) = Im (t), u (t) = Um (t).
Комплексною амплітудою називається комплексне число, що не залежить від часу.
Наприклад, для струму i (t) = Im sin (ωt + ψi)

.

одержимо: Im (t) = Im e j ( ωt + ψ ) = Ιm e e jωt = Im e jωt ,

.

де Im = Im e – комплексна амплітуда струму.
Аналогічно вище наведеному,

.

Um = Um e - комплексна амплітуда напруги,

.

Em = Em e - комплексна амплітуда ЭДС.
Усі розрахунки на другому етапі проводяться з комплексними амплі-тудами. При поновленні оригіналів зображення множать на e jωt.

Множення вектора на функцію ejωt відповідає повороту вектора проти часової стрілки на кут ωt. Тому e jωt називають оператором обертання.
+j .

Im e jωt
.

Im


+1

Рис.3.1


Для зручності при розрахунках часто використовують комплексне діюче значення струму, напруги, ЕРС:

I = Im /√2 = Im /√2 e = I e ; U = U e , E = E e .

Ці величини називають також просто комплексним струмом, комплексною напругою, комплексної ЭДС.

t

Тому що d/dt• e jωt = jω e jωt , ∫ e jωt dt = 1/ jω e jωt ,

0

Диференціювання зображення формально заміняється множенням на jω, а інтегрування – діленням на jω.

2. КОМПЛЕКСНІ ОПОРИ І ПРОВІДНІСТЬ ЛАНЦЮГА

І ЙОГО ЕЛЕМЕНТІВ.

ЗАКОН ОМА І ЗАКОНИ КІРХГОФА В КОМПЛЕКСНІЙ ФОРМІ

Якщо на вході двополюсника діє напруга



и (t)= Um sin(ωt +ψи),

то через її вхідні затиски потече синусоїдальний струм



i (t) =Im sin (ωt+ψi).

i




u

Рис.3.2


Комплексну величину,

Z = U/I = Um /I m . (3.9)

називають комплексним електричним опором:

. .

Підставивши в це вираження Um = Umе u і Im= Imе jψi,



одержимо .

Z= z e= z cosφ + jz sinφ= r +jx, (3.1)

де z = U / I = Um /Im = V r2 + x2 - повний опір;


φ=ψі – ψi = arc tg(x/ r) зрушення фаз між напругою і струмом.

r = z cos φ — активний опір;

χ = z sin φ -реактивний опір.

Комплексну величину Y, зворотну Z, називають комплексною провідністю:



.

Y = 1/ Z = I/ U =Im /Um = уе –jφ = y cos φ – j y sin φ = g - jb, (3.2)

де y= I/U = Im/Um = Vg2+b2- - повна провідність;

φ = ψи- ψі- зрушення фаз між напругою і струмом ;
g = y cos φ- активна провідність;
b = y sin φ-реактивна провідність;
Комплексну провідність Y можна представити в наступному вигляді:

.

Y= 1/Z = 1/ (r+jx) = (r – jx) / (r+jx)(r-jx) = r/ (r2+ x2) - j x/ (r2+ x2)=g - jb,
де g= r/z 2; b= x/z 2,.
Співвідношення комплексних амплітуд напруги і струму (3.1) і (3.2) виражають собою закон Ома в комплексній формі.
Im = Um/Z = UmY; Um = Im Z=Im /Y, (3.3)
тобто комплексна амплітуда струму в ланцюзі синусоїдального струму дорівнює

n

Σ ik(t) = 0, одержимо вираження цього закону для ланцюга синусоїдального струму в k=1 комплексній формі

n

ΣImk = 0, (3.4.)

k=1

тобто алгебраїчна сума комплексних амплітуд струмів у будь-якому вузлі електричного ланцюга синусоїдального струму дорівнює нулю.

Аналогічним образом на підставі другого закону Кірхгофа для миттєвих значень ЕРС и напруг

n m

Σ ej(t) = Σ uk(t)

j=1 k=1

одержимо вираження цього закону для ланцюга синусоїдального струму в комплексній формі



n m m

ΣEmj = Σ UmkImk Zk . (3.5)

j =1 k=1 r=1

Алгебраїчна сума комплексних амплітуд ЕРС у будь-якому контурі електричного ланцюга синусоїдального струму дорівнює алгебраїчній сумі комплексних амплітуд напруг на елементах контуру.
3. Комплексна схема заміни ланцюга.

3.1. Розрахунок ланцюгів синусоїдального струму

с послідовним з'єднанням опорів

Нехай ланцюг складається з n послідовно з'єднаних комплексних опорів:



Z1 =r1+jx1; Z2 =r2+jx2 ; ...; Zn= rn+ jxn (мал. 3.3).
I Z1 Z2 Zn




U U1 U2 Un



Рис. 3.3

На підставі цього можна записати


U=U1 + U2 + … + Un = Z1 I + Z2 I + … + Zn I = Zэ I

де Zэ= Z1+ Z2 +…+Zn= ΣZk = rэ + jхэ = Zэ e jφэ ;

n n


rэ= Σ rk ; xэ = Σ xk ; Zэ = √ r2 э + х2 э ; φэ = arc tg xэ / rэ.

k=1 k=1
3.2. Розрахунок ланцюгів синусоідального струму з рівнобіжним з'єднанням опорів.

Нехай

Y1=g1- jb1; Y2=g2- jb2 …; Yn=gn- jbn ; (мал 3.4).

Рис. 3.4


На підставі першого закону

можна записати

. . . . . . . . . . . .

I= I1 + I2 + … + In = Y1 U + Y2 U + … + Yn U = Yэ U

Yэ= Y1 + Y2 + …+ Yn = Σ Yk = gэ – jbэ = yэ e-jφэ;

n n

gэ = Σ gk ; bэ = Σbk ; yэ =Vgэ2 + bэ2; φэ = arc tg (bэ /gэ) .

k=1 k=1




Слід зазначити, що еквівалентна активна провідність gэ дорівнює арифметичній сумі, а еквівалентна реактивна провідність bэалгебраічній сумі.

3.3. Розрахунок ланцюгів синусоїдального струму зі змішаним з'єднанням опорів




Рис. 3.5 Рис. 3.6

Комплексний еквівалентний опір ланцюга .



Zэ = Z1 + Zаб ,

де Zаб = Z2Z3/(Z2 +Z3).

Комплексний струм у нерозгалуженій частині ланцюга


. .

I1=U/Zэ

Комплексна напруга на паралельній ділянці ланцюга


. . .

Uаб=I1 Zаб=I1 •Z2Z3/(Z2 +Z3).

Комплексні струми в паралельных гілках:



. . . . . .

I2=Uаб / Z2 =I1 Z3 /(Z2 +Z3); I3=Uаб /Z3 = I1Z2 /(Z2 +Z3)
на паралельній ділянці ланцюга Uаб . На мал. 3.39 приведена векторна діаграма для розглянутого ланцюга при

Z1=r1- jx1. Z2= r2 +jx2; Z3= r3 –jx3 .



3.4. Особливості розрахунку складних ланцюгів синусоїдального струму.

При розрахунку складних ланцюгів мають місце особливості. Розглянемо деякі з них.



  1. Якщо зрушення фаз між напругою і струмом у якій-небудь гілки при розрахунку вийшло більше 90°, то напрямок струму варто поміняти на зворотний, а фазу струму поміняти на 180°.

2. Баланс потужностей, що виробляються джерелами і споживаються навантаженнями, варто підводити окремо для активних і реактивних потужностей. При цьому джерело може виробляти енергію, якщо його потужність позитивна, або споживати неї, якщо його потужність негативна. Активна потужність на активних опорах позитивна. Реактивна потужність на індуктивностях позитивна, а на ємністях — негативна.

3. При наявності індуктивних зв'язків між індуктивними котушками можна застосовувати тільки метод рівнянь Кірхгофа і метод контурних струмів, а метод еквівалентного генератора тільки для гілок, що не пов'язані індуктивно з іншими гілками електричного кола.



ВИСНОВКИ.

1.Відношення комплексних амплітуд напруги і струму виражають собою закон Ома в комплексній формі.

2..Перший закон Кірхгофа вказує: алгебраїчна сума комплексних амплітуд струмів у будь-якому вузлі електричного ланцюга синусоїдального струму дорівнює нулю.

3.Згідно другого закону Кірхгофа - алгебраїчна сума комплексних амплітуд ЕРС у будь-якому контурі електричного ланцюга синусоїдального струму дорівнює алгебраїчній сумі комплексних амплітуд напруг на елементах контуру.



4.Усі методи розрахунку ланцюгів постійного струму можна застосувати до розрахунку ланцюгів синусоїдального струму, представивши всі електричні величини в комплексній формі запису.



База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка