Одеський національний університет ім. І.І. Мечникова Інститут математики, економіки та механіки Навчальне видання «Теорія стохастичних процесів»



Сторінка1/5
Дата конвертації05.03.2017
Розмір0.78 Mb.
  1   2   3   4   5


Одеський національний університет ім. І.І.Мечникова

Інститут математики, економіки та механіки

Навчальне видання

«Теорія стохастичних процесів»

До курсу лекцій «Теорія ймовірностей та математична статистика»


Для студентів спеціальностей «Прикладна математика» та

«Комп’ютерні системи та мережі».

Одеса 2008

Друкується згідно з рішенням Вченої Ради ІМЕМ

від 4 вересня 2008 р., протокол № 1


Укладачі: І.Г.Лободзинська, канд.фіз.- мат. наук, доцент

Н.Д.Вайсфельд, доктор фіз.- мат. наук, професор

Ю.С.Процеров, канд.фіз.- мат. наук, доцент

О.В.Реут, асистент

Відповідальний редактор: Г.Я.Попов, доктор фіз.- мат. наук, професор

Вступ

Важливою частиною учбового курсу «Теорія ймовірностей та математична статистика» є частина, що присвячена дослідженню випадкових (стохастичних) процесів.



  • Матеріал цього курсу є як суто важливим з математичної точки зору, так і корисним з точки зору застосувань теорії процесів у практиці, а саме - у техніці, економіці, банківський справі, теорії ризику та інші.

Матеріал цього видання викладено так, щоби студент спершу ознайомився з загальною теорією випадкових процесів, з їх многовиддям, оцінив їх властивості та основні характеристики. Цьому присвячено перший розділ. Другий розділ досліджує один з найважливіших представників родини випадкових процесів, а саме – стаціонарний випадковий процес. Саме він відіграє дуже значну роль у техніці, фізиці, теорії автоматизації.

Матеріал цього видання рекомендовано студентам II курсу відділення «Прикладна математика» та студентам ІІІ курсу відділення «Комп’ютерні системи та мережі» Інституту математики, економіки та механіки.



Зміст Стр.

Вступ 3


  1. Стохастичні випадкові процеси 5

§ 1. Загальна функція розподілу процесів 5

§ 2. Ланцюги Маркова 6

§ 3. Марківські випадкові процеси зі зчисленною кількістю станів 10

§ 4. Процес Пуасона 14

§ 5. Застосування теорії марківських процесів до задач масового обслуговування 15

§ 6. Марківські випадкові процеси з незчисленною кількістю станів 18

§ 7. Випадкові процеси з незалежними прирістами 19

§ 8. Стаціонарні процеси 21

§ 9. Процеси відновлення. Випадкові величини, які не залежать від

майбутнього 23

§ 10. Класична модель ризику 34

§ 11. Кореляційна теорія випадкових процесів 35

§ 12. Коваріація та взаємна кореляційна функція двох процесів 37

§ 13. Процеси з ортогональними прирістами 37

§ 14. Інтегрування випадкових процесів 38

ІІ. Стаціонарні випадкові процеси 39

§ 1. Поняття про стаціонарний випадковий процес 40

§ 2. Спектральне розвинення стаціонарної випадкової функції на скінченому

проміжку часу. Спектр дисперсії 41

§ 3. Спектральне розвинення стаціонарної випадкової функції на

нескінченному проміжку часу. Спектральна щільність стаціонарної

випадкової функції 43

§ 4. Спектральне розвинення випадкової функції у комплексній формі 45

§ 5. Перетворення стаціонарної випадкової функції стаціонарною лінійною

системою 49

Література 60



§ 1. Стохастичні (випадкові) процеси. Загальна функція розподілу процесів.

Нехай імовірнісний простір. - множина дійсних чисел. Кожному відповідає певна випадкова величина, яка позначається , кожна з яких приймає значення з певної множини . Сукупність таких випадкових величин є випадковий процес.



- область визначення процесу;

- фазовий простір процесу.

Випадкові процеси класифікуються за трьома ознаками:



  1. За характером області визначення процесу. Наприклад, якщо , то ми маємо послідовність випадкових величин , які задані на .

Найчастіше розглядається випадок, коли . Тоді визначається як час.

  1. За характером фазового простору . Якщо , тобто є скінчена або зчислена множина, то процес називається дискретним. (Кожна випадкова величина, яка обусловлює процес, - дискретна).

  2. За характером взаімозвязку між випадковими величинами, які визначають процес при різних значеннях .

Функція розподілу процесу.

Нехай - довільно вибрані значення з , ( - теж довільне число).

Розглянемо випадкові величини . Функцією розподілу процесу називається

.

Властивості функції розподілу:

1.

2. Нехай довільна перестановка . Тоді . Ці властивості функції розподілу процесу випливають з її означення.



Означення 1. Процес називається абсолютно неперервним, якщо для довільних з існує така функція (функція змінних), що

.

(Маємо на увазі інтеграл Лебега)



Означення 2.

Нехай - довільні комплексні числа. Характеристичною функцією називається функція від комплексних змінних ( - довільне скінчене число)



Якщо процес абсолютно неперервний, то




§ 2. Ланцюги Маркова.

Нехай проводиться певний експеримент, який має скінчену або зчислену кількість наслідків:



.

Випробування повторюються нескінченну кількість разів. Кожний раз має місце подія з послідовності . Якщо на -ому випробуванні має місце подія , то кажуть, що система на -ому кроці знаходиться у стані . Події описують стани деякої фізичної величини.

Введемо послідовність випадкових величин . Подія означає, що на кроці має місце подія (система у стані ).

Послідовність випадкових величин називається ланцюгом Маркова, якщо



,

тобто ймовірність переходу на ому кроці з стану до стану не залежить від того, у яких станах система знаходилась на перших кроках.

В початковий момент часу система була в якомусь стані, причому в кожному з станів вона може знаходитися лише з певною імовірністю :

.

Означення 1. Ланцюг Маркова називається однорідним, якщо не залежить від .

Тут - умовна ймовірність того, що система за один крок із стану перейшла в стан (на якому кроці це відбулося не має значення).



Означення 2. Матриця називається матрицею переходу. Якщо кількість станів скінчена, то є звичайна квадратна матриця.

Елементи задовольняють умови: 1) 2) . Матриця переходу є стохастична матриця.



Приклад 1. Нехай частинка пересувається по відрізку прямої, на якій позначені точки . Знаходження частинки в точці відповідає події . За одиницю часу вона пересувається на одиницю праворуч з ймовірністю або ліворуч з ймовірністю . Із станів та вона нікуди не пересувається. Зрозуміло, що ,



Приклад 2. Деяка фізична система в початковій момент часу перебуває в стані , а в кожний наступний момент часу може перебувати в одному з двох станів .

Якщо вона перебуває в стані , то через одиницю часу вона з ймовірністю лишається в ньому, а з ймовірністю переходить в стан . Якщо вона перебуває в стані , то через одиницю часу вона з ймовірністю і далі перебуває в ньому, а з ймовірністю переходить в стан : .



Ймовірність переходу зі стану в на кроків. Позначимо ймовірність переходу з в за кроків.

Нехай і .За формулою повної ймовірності





.

Зрозуміло, що



.

Класифікація станів (А.Колмогоров, В.Деблін).

Означення 1. Стан називається неістотним, якщо існує такий стан та таке число , що , а . В протилежному випадку стан - істотний.

Означення 2. Істотні стани та сполучаються, якщо існують такі цілі числа та , що і .

Означення 3. Ланцюг Маркова, який містить один клас істотних станів, які сполучаються, називається нерозкладним.

Надалі будемо вважати, що ланцюг Маркова нерозкладний.

Введемо такі означення:

(ймовірність повернення в початковий стан вперше на кроці) та

(ймовірність повернення в початковий стан).

Означення 4. Стан називається зворотним, якщо , та незворотним, якщо .

Означення 5. Стан називається нульовим, якщо

(ненульовим – в протилежному випадку).



Означення 6. Стан називається періодичним з періодом , якщо повернення з додатною ймовірністю можливо лише за число кроків кратних .

Теорема 1.

Стан - зворотній тоді і тільки тоді, якщо . Для незворотності .



Доведення. За формулою повної ймовірності

(1.1)

Нехай .

Якщо , то ряди збігаються, функції та є аналітичні функції.

Зрозуміло з (1.1), що





(1.2)

Нехай . Тоді . З (1.2) , тобто стан - зворотній. Якщо - скінчене число, то стан незворотний.



Наслідок. Незворотний стан завжди нульовий.

Теорема 2. В нерозкладному ланцюгу Маркова всі стани одночасно або зворотні, або ні; або нульові, або ні; або періодичні, або ні (з спільним періодом).

Доведення. Нехай та - два різних стана, такі, що і (сполучаються). За формулою повної ймовірності

, звідки

(1.3)

Аналогічно (1.4)

З нерівностей (1.3) та (1.4) випливає, що ряди та мають однакову асимптотику. Тобто, вони одночасно зворотні або ні; нульові або ні. Нехай стан періодичний, - його період:



.

.

Зрозуміло, що та .

Розглянемо :

.

Тобто, . Звідки . Аналогічно, . Таке можливо лише, коли . Теорему доведено.



Теорема 3 (Маркова).

Нехай:


  1. ланцюг Маркова має скінчену кількість станів ;

  2. існує таке , що всі елементи матриці переходу додатні. Тоді існують такі додатні числа , що

. (б.д.) [2]
§ 3. Марківські випадкові процеси з зчисленою кількістю станів.

Нехай послідовність станів (подій)



, .

Розглянемо множину випадкових величин (процес). Подія означає, що в момент часу має місце подія .



Означення 1.

Задамо довільно . Процес називається марківськім, якщо



.

Означення 2.

Процес називається однорідним, якщо для та залежить тільки від і не залежить від .



Матриця з елементами називається матрицею переходу за час .


Означення 3.

Однорідний марківський процес з счисленою кількістю станів називається стохастично неперервним, якщо .


Теорема 1.

Якщо однорідний, стохастично неперервний марківський процес з зчисленою кількістю станів, то рівномірно неперервні на .



Доведення.

За формулою повної ймовірності





.

.

Процес стохастично неперервний. Тому таке, що якщо , то .

Таким чином, якщо , то . Рівномірну неперервність доведено.

Означення 4.

Нехай . Однорідний марківський процес з счисленою кількістю станів, стохастично неперервний, називається локально регулярним, якщо



  1. існує таке , що , коли



  2. існує таке , коли стан процесу залишається незмінним.

Теорема 2.

Нехай - однорідний, стохастично неперервний, локально регулярний марківський процес. Тоді існує



.

Доведення.

Нехай момент часу виходу процесу з стану .

Нехай . Оберемо мале, ,

.

Процес однорідний, тому



Тобто, існує і , тобто ймовірність перебування у стану має показників розподіл.

Нехай тепер .

Подія полягає в тому, що система перейшла у стан . Обираємо мале таким чином, що , якщо







.

Таким чином, існує , .

Якщо мати на увазі всі стани, в які може перейти система з , то

.

Теорема доведена.


Теорема 3. (Рівняння Колмогорова)

Якщо марківській процес стохастично неперервний та локально регулярний, то існують похідні від і (1.5)



Зауваження. Якщо кількість станів скінчена (наприклад, ), маємо скінчену систему рівнянь.

Доведення.

Тоді


Задамо таким чином, щоби . Тоді



,



.

Задамо . За цим знайдемо таке, що якщо , то якщо , то .

Таким чином, якщо та

. Похідні від існують і має місце система (1.5).

Система (1.5) називається першою системою рівнянь Колмогорова. Якщо кількість станів скінчена, наприклад, , то має місце друга система рівнянь Колмогорова



(1.6)
Система рівнянь Колмогорова для безумовних ймовірностей.

Нехай - ймовірність того, що в момент система знаходилася в стані (неважливо, з якого стану потрапила в ). Ця ймовірність називається безумовною ймовірністю.



(початкова ймовірність)

Помножимо обидві частини (1.6) на та просумуємо:



()

(1.7)
  1   2   3   4   5


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка