Невизначений інтеграл. Первісна (б-н 133-152) План



Скачати 48.73 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір48.73 Kb.

http://antibotan.com/ - Всеукраїнський студентський архів

Невизначений інтеграл. Первісна

(Б-Н 133-152)

План

  1. Первісна та її властивості.

  2. Невизначений інтеграл та його властивості.

  3. Таблиця невизначених інтегралів або первісних.

  4. Існування невизначеного інтегралу.

  5. Безпосерднє інтегрування і метод розкладу.

  6. Метод підведення під знак диференціалу.

  7. Метод заміни змінної.

  8. Метод інтегрування частинами.

Означення Нехай функція однієї змінної задана на деякому інтервалі І (відкритому чи закритому), ().

Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на І, якщо F’(x)=f(x) при х є І.



Приклад. 1) f(x)=1, x є R, то F(x)=x 2). f(x)=x, x є R, то F(x)=, бо x є R.

Властивості первісних:

1. F(x) – первісна f(x)

2. Якщо F(x) – первісна f(x), x є І, то F(x)+с, де с є R – стала також первісна.

, х є І.

Приклад. 1) f(x)=х, то F(x)=, або F(x)=.

3. Якщо F(x) і G(x) – первісні для f(x), x є I, то існує с є R, що F(x) = G(x) + с. х є І.

Використовуючи т. Лагранжа легко довести, що якщо похідна функції на цілому проміжку дорівнює 0, то ця функція є сталою на цьому проміжку:



, де с є (а,х). Але то

Тоді .

4. Якщо F(x) – первісна f(x), то є первісною f(аx) (а–число, ).



Приклад. Для , ,

для первісна для первісна .

5. Якщо F(x) – первісна f(x), то F(x+b) є первісною для f(x+b).

.

6.F1(x) i F2(x) – первісні для f1(x) i f2(x) відповідно, то F1(x) F2(x) первісна для f1(x) f2(x).

7. Якщо F(x) – первісна f(x), то kF(x) – первісна для kf(x), де k – число.

Невизначений інтеграл


Означення. Якщо F(x) – первісна f(x), x є І, то вираз F(x)+с, де с – будь-яке число називається невизначеним інтегралом функції f(x) (або виразу f(x)dx) і записується .

Вираз називається підінтегральним виразом, називається підінтегральною функцією.



Приклад. , ,

Властивості невизначених інтегралів

1. - операція інтегрування і взяття похідної взаємно обернені.

2. і , значки і d взаємно скорочуються .

3. .

4. .

5. Оскільки формула для диференціалу інваріантна відносно х і значки взаємно скорочуються то, взявши з обох боків інтеграли отримаємо, що формула для інтеграла має таку ж властивість, тобто правильна і тоді коли х є внутрішня функція, тобто



, .

Таблиця невизначених інтегралів (первісних)

(отримується із таблиці похідних)

1)

2) , n є R,

3)

4)

5) 6)

7) 8)

9) a)

10) a)

11) 12)

Вправа. Формули 9а, 10а, 11, 12 перевірити, взявши похідні з правих частин.

Про існування інтегралу (первісної)

Операція взяття інтегралу (знаходження первісної) називається інтегруванням. Інтегрування – це обернена операція до диференціювання (знаходження похідної або диференціала).

Ми знаємо, що похідна елементарної функції завжди елементарна функція (видно з таблиці похідних).

Для інтегрування це не виконується, тобто інтеграл елементарної функції не завжди є елементарною функцією.



Приклади функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями

1) - інтегральний синус; 2) - інтегральний косинус;

3) - інтегральна експонента,

4) - інтегральний логарифм;

5) - інтеграл Пуассона; 6) , - інтеграли Френеля.

Теорема (про існування первісної)

Якщо f(x) неперервна на І, то існує її первісна на цьому інтервалі, але не обов’язково це буде елементарна функція.

Знайти невизначений інтеграл означає або знайти первісну, звівши інтеграл до табличних, або довести, що первісна не є елементарною функцією, звівши інтеграл до цих відомих інтегралів.

Безпосереднє інтегрування і метод розкладу






-- метод розкладу.







Метод розкладу:





Метод підведення під знак диференціалу

Базується на властивості інваріантності інтегралу, диференціалу та властивостях диференціалу 1) , 2) 3) і формули підведення під знак диференціалу (тут х може бути внутрішньою функцією).



Приклади: 1)

2)

3)

4)

5)

Отже, за цим методом ми змінюємо вираз під знаком диференціалу за правилами, стараючись його зробити таким як внутрішня функція в підінтегральному виразі.





База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка