Непозиційні та позиційні. В непозиційних сч



Скачати 42.43 Kb.
Дата конвертації22.04.2017
Розмір42.43 Kb.




1. Позиційні та непозиційні системи числення.
Під системою числення (СЧ) розуміють сукупність засобів та правил представлення чисел з допомогою деякого алфавіту символів які називаються цифрами. Системи числення поділяються на непозиційні та позиційні.

В непозиційних СЧ значення символу в представленні числа не залежить від його місця. Прикладом такої системи може бути римська СЧ, в якій використовується досить громіздкий спосіб запису чисел та незручні правила виконання арифметичних операцій.

В позиційних СЧ значення символу (цифри) залежить від його місця в рядку цифр, що зображають число. Позиційні системи характеризуються основою - кількістю (q) різних цифр, які використовуються для зображення числа в даній СЧ. Ці цифри означають q цілих чисел, звичайно 0, 1, 2,..., (q-1).

В десятковій системі числення основа q=10 та використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

в двійковій q=2 та цифри 0, 1;

в шістнадцятеричній q=16 та цифри 0,...,9, A, B, C, D, E, F.

В загальному випадку в позиційній СЧ з основою q будь-яке число X може бути представлене у вигляді поліному від основи q:

де в якості коефіцієнтів ai можуть стояти будь-які з q цифр, що використовуються в даній СЧ. Наведене вище співвідношення називають розкладом числа X по степенях основи СЧ. Прийнято представляти числа в скороченому записі:



.

В цій послідовності “.” (крапка) відділяє цілу частину від дробової частини (крапка випускається, якщо немає від'ємних степенів), а q показує в якій СЧ записане число. Наприклад,



123.4510=1*102+2*101+3*100+4*10-1+5*10-2;

101.012=1*22+0*21+1*20+0*2-1+1*2-2.

Позиції цифр, які відраховуються від крапки вправо та вліво, називаються розрядами. В позиційній системі значення кожного розряду більше, ніж значення сусіднього справа в таку кількість разів, яка дорівнює основі системи q.


2. Двійкова система.
Як уже відзначалось, ЕОМ оперує даними, які мають виключно двійкове представлення. Незалежно від того, як зображає вхідні дані користувач (десяткові чи шістнадцятеричні числа, символьні ланцюжки, графічна чи звукова інформація та ін.), вони апаратно та/чи програмно перетворюються в ланцюжки (послідовності) двійкових цифр. При виведенні даних здійснюється зворотне перетворення двійкових ланцюжків в зручну для користувача форму.

Вибір двійкової системи в якості основної для представлення інформації в ЕОМ не випадковий, оскільки від того, яка система числення використовується в ЕОМ, залежать швидкість обчислень, ємність пам’яті, складність алгоритмів виконання арифметичних та логічних операцій, засоби зберігання інформації.

При виборі системи числення враховується також залежність довжини числа та кількість стійких станів функціональних елементів (для зображення цифр) від основи системи числення. Наприклад, для десяткової системи функціональний елемент повинен мати десять стійких станів, а для двійкової тільки два.

Десяткова система числення, звична для людини та використовується в повсякденному житті, не зручна для роботи на ЕОМ. Це пояснюється тим, що відомі зараз функціональні елементи з десятьма стійкими станами мають низьку швидкість перемикання і, таким чином, не можуть задовольняти вимогам, які пред’являються до ЕОМ по швидкодії. Тому в більшості ЕОМ використовуються двійкові або двійково-кодовані системи числення. Широке поширення таких систем зумовлене тим, що елементи ЕОМ здатні знаходитись лише в одному з двох стійких станів. Наприклад, напівпровідниковий транзистор в режимі перемикання може бути у відкритому чи закритому станах, а відповідно, мати на виході високу чи низьку напругу. Такі елементи прийнято називати двохпозиційними. Якщо одне з двох стійких положень прийняти за 0інше - за 1, то достатньо просто зображаються розряди двійкового числа. Доречі, двійкова система числення була вперше створена більше 4000 років тому китайським імператором Фо Гі.

В двійково-кодованих системах числення, які мають основу більшу, ніж два, кожна цифра числа представляється в двійковій системі числення. Найбільш поширеними в ЕОМ крім двійкової є також шістнадцятерична та десяткова системи числення.

Для переводу цілого числа X з СЧ з основою 10 в СЧ з основою q використовують правило ділення:



1. Число X ділиться на нову основу q, представлене в десятковій СЧ.

2. Одержана від ділення перша остача є молодшою цифрою числа в системі з основою q.

3. Частка від ділення знову ділиться на основу q. В результаті визначається нова остача, що дорівнює наступній цифрі числа з основою q.

4. Ділення виконується до тих пір, доки не одержиться частка менша за дільник. Остання частка і дає старшу цифру числа з основою q.

Наприклад, переведемо число 35 в двійкову систему числення.



В результаті одержимо: 3510=1000112. Перевіримо одержаний результат:



.
3. Шістнадцятерична система.
Як вже відзначалось вище крім двійкової в комп'ютері використовують також шістнадцятеричну СЧ. Переведемо приклад переведення числа 693 в шістнадцятеричну СЧ.

Відмітимо, що 11 в шістнадцятеричній СЧ – це B. Тоді одержимо: 69310=2B516. Перевіримо одержаний результат:

.

Правила перекладу шістнадцятеричних чисел в двійкові та навпаки виключно прості, оскільки основа шістнадцятеричної системи є степінь двійки: 16=24. Для перекладу шістнадцятеричного числа досить замінити кожну цифру числа відповідним чотирирозрядним двійковим числом. При цьому зручно користуватись наведеною вище таблицею. Наприклад,



ABB16=1010101110112;

65316=110010100112;

A1F16=1010000111112.

Відмітимо, що в другому прикладі непотрібний нуль у старшому розряді був відкинутий.



Для перекладу двійкового числа в шістнадцятеричне чинять так: рухаючись справа наліво, розбивають двійкове число на групи по чотири розряди, доповнюючи при необхідності нулями крайню ліву групу, потім тетраду заміняють відповідною шістнадцятеричною цифрою. Наприклад,

10011011102=010011011110=4DE16.




База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка