Методичні рекомендації по вивченню дисципліни "Диференціальні рівняння"



Скачати 182.47 Kb.
Дата конвертації31.12.2016
Розмір182.47 Kb.
Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Механіко-математичний факультет

Кафедра інтегральних і диференціальних рівнянь

"ЗАТВЕРДЖУЮ"

Голова вченої ради механіко-математичного факультету

_____________________ професор Парасюк І.О.

протокол № ____ від ___ _________ 2007р.


Кандидат фізико-математичних наук, доцент О.С. Чернікова


"Диференціальні рівняння"

Робоча навчальна програма дисципліни

для студентів спеціальності

"Механіка”


Київ – 2007



Методичні рекомендації по вивченню дисципліни

"Диференціальні рівняння"

Диференціальні рівняння є базовим нормативним навчальним курсом, що викладається у першому та другому семестрах другого року навчання для спеціальності "Механіка".

Кількість годин в першому семестрі: лекції – 36, семінарські заняття –36, самостійна робота – 72

Кількість годин в другому семестрі: лекції – 34, семінарські заняття – 34, самостійна робота – 76

Курс оцінюється у __ кредити за Європейською кредитно-трансферною системою ECTS.
Закінчується заліком в першому семестрі та іспитом у другому семестрі.
Мета і завдання: ознайомлення з основними положеннями диференціальних рівнянь, оволодіння теоретичними та практичними методами дослідження та розв'язування диференціальних рівнянь.
Предмет: диференціальні рівняння та системи диференціальних рівнянь, методи їх інтегрування, якісні та аналітичні методи їх дослідження.
Вимоги до знань та вмінь: володіти основами математичного аналізу, лінійної алгебри, аналітичної геометрії.
Місце в структурно – логічній схемі спеціальності: нормативна навчальна дисципліна "Диференціальні рівняння" є базовою з циклу профільної підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня "Бакалавр" спеціальності "Механіка". Матеріал курсу "Диференціальні рівняння" використовується при викладанні таких нормативних дисциплін: "Інтегральні рівняння та елементи функціонального аналізу” , “Рівняння математичної фізики", "Варіаційне числення та методи оптимального керування", "Теоретична механіка", "Диференціальна геометрія".


Тематичний план лекцій і практичних занять




Назва теми










лекцій

практичних

занять


самостійна

робота


контрольнамодульна робота

інші

форми


контролю


I семестр
Змістовний модуль 1.


1

Диференціальні рівняння першого порядку

22

20

36

2





Змістовний модуль 2.


2

Диференціальні рівняння вищих порядків

4

4

10










3


Лінійні рівняння -го порядку

10

8

26

2







Всього годин за I семестр

36

36

72








II семестр

Змістовний модуль 3.


4

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

8

8

18







5

Системи диференціальних рівнянь

12

10

24

2





Змістовний модуль 4.


8


Стійкість розв'язків систем диференціальних рівнянь

10

8

20













Фазова площина

4

4

14

2







Всього годин за II семестр

34

34

76







Всього за курс

34

70

148






                           Змістовний модуль 1


Тема 1. Диференціальні рівняння першого порядку.
Лекція 1. Основні поняття теорії диференціальних рівнянь – 2 год. Лабораторна робота 1. Задачі на складання диференціальних рівнянь – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                 домашніх завдань)

Лекція 2 .Рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідні рівняння – 2                   год.

Лабораторна робота 2. Рівняння з відокремлюваними змінними – 2 год.

 Самостійна робота – 2 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                 домашніх завдань)

Лекція 3 .Квазіоднорідні рівняння – 2 год.

Лабораторна робота 3. Однорідні рівняння – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                 домашніх завдань)

Лекція 4. Лінійні рівняння – 2 год.

Лабораторна робота 4. Квазіоднорідні рівняння – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                 домашніх завдань)

Лекція 5. Рівняння, звідні до лінійних.– 2 год.

Лабораторна робота 5. Лінійні рівняння, рівняння Бернуллі – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                 домашніх завдань)


Лекція 6. Рівняння Ріккаті. – 2 год.

Лабораторна робота 6. Рівняння Ріккаті – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                                              виконання   домашніх завдань)

Лекція 7. Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник – 2                     год.

Лабораторна робота 7. Рівняння в повних диференціалах –  2     год.

Самостійна робота – 2 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                                              виконання   домашніх завдань)

Лекція 8. Теорія інтегрувального множника – 2 год.

Лабораторна робота 8. Інтегрувальний множник – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                                               виконання   домашніх завдань)

   

Лекція 9.Диференціальні рівняння, не розв’язані відносно похідної.               Загальний метод введення параметра.- 2 год.



  Лабораторна робота 9. Рівняння, не розв’язані відносно похідної – 2 год.

Самостійна робота – 2 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                                              виконання   домашніх завдань)

Лекція 10. Рівняння Лагранжа та рівняння Клеро. Особливі розв’язки -2                   год.

  Лабораторна робота 10. Особливі розв’язки – 2 год.

Самостійна робота – 2 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                 домашніх завдань)

Лекція 11. Теорема про існування та єдиність розв’язку задачі Коші для                      диференціального рівняння 1-го порядку, розв’язаного відносно                      похідної (доведення). Метод послідовних наближень -2 год.

Самостійна робота – 4 год. ( опрацювання лекційного матеріалу ,                                                          виконання        домашніх завдань,                                                          підготовка до контрольної роботи)

Контрольна робота – 2 год.

            Контрольні запитання і завдання.


  1. Розв'язок диференціального рівняння, поле напрямів, інтегральна крива. Постановка задачі Коші.

  2. Методи інтегрування в квадратурах: однорідні, квазіоднорідні, лінійні рівняння, рівняння Бернуллі, рівняння Дарбу.

  3. Рівняння Ріккаті .Властивості. Структура розв’язків. Спеціальне рівняння Рікккаті.

  4. Рівняння в повних диференціалах. Інтегрувальний множник, методи знаходження.

  5. Теорема про існування та єдиність розв’язку задачі Коші для рівняння .

  6. Метод послідовних наближень.

  7. Рівняння, не розв’язані відносно похідної. Тлумачення поняття єдиності розв’язку задачі Коші. Достатні умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші.

  8. Найпростіші типи рівнянь, не розв’язаних відносно похідної, та методи іх інтегрування.

  9. Рівняння Лагранжа і Клеро.

  10. Особливі розв’язки.


Змістовний модуль 2
Тема 2. Диференціальні рівняння вищих порядків.

Лекція 12, 13. . Диференціальні рівняння вищих порядків: загальні поняття, інтегровність в квадратурах, зниження порядку – 4 год.

Лабораторна робота 11, 12. Інтегрування рівнянь вищих порядків – 4 год.

Самостійна робота – 10 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                         виконання домашніх завдань)


Тема 3. Лінійні рівняння -го порядку .
Лекція 14,15. Лінійно незалежні системи функцій, вронскіан, критерій                    лінійної незалежності  системи розв’язків лінійного                    однорідного рівняння п-го порядку. Теорема про існування                    ФСР ЛОР; загальний  розв’язок ЛОР.Побудова                     ЛОР за ФСР, формула  Остроградського-Ліувілля – 4 год.
     Лабораторна робота 13. Дослідження лінійної залежності та                                                      незалежності  систем функцій. Побудова ЛОР                                                      за заданою ФСР -2 год.

    Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                         виконання домашніх завдань


Лекція 16. ЛОР зі сталими коефіцієнтами, метод Ейлера. Лінійне                      рівняння Ейлера, лінійне рівняння Лагранжа -2 год.

Лабораторна робота 14. Знаходження ФСР ЛОР зі сталими                                             коефіцієнтами – 2 год.

Самостійна робота – 6 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                         виконання домашніх завдань

Лекція 17. Зниження порядку ЛОР. ЛНР, метод варіації довільних сталих,                   формула Коші – 2 год.

     Лабораторна робота 15. ЛНР, метод варіації довільних сталих– 2 год
 Самостійна робота – 5 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                         виконання домашніх завдань    

Лекція 18. ЛНР, метод невизначених коефіцієнтів -2 год.

Самостійна робота – 5 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                         виконання домашніх завдань

Лабораторна робота 16. Метод невизначених коефіцієнтів – 2 год

Самостійна робота – 6 год. (опрацювання лекційного матеріалу,                                         виконання домашніх завдань; підготовка до                                         контрольної роботи).
      Контрольна робота -2 год.
     Контрольні запитання і завдання.


  1. Інтегровні типи диференціальних рівнянь вищих порядків.

  2. Методи зниження порядку.

  3. Лінійно-незалежні системи функцій.

  4. Вронскіан.

  5. Необхідні умови ЛЗ систем функцій.

  6. Критерій ЛНЗ системи розв’язків ЛОР.

  7. Формула Остроградського-Ліувілля.

  8. Теорема про існування ФСР ЛОР.

  9. Теорема про загальний розв’язок ЛОР.

  10. Побудова ЛОР за ФСР.

  11. Характеристичне рівняння та ФСР ЛОР зі сталими коефіцієнтами.

  12. Рівняння Ейлера.

  13. Метод невизначених коефіцієнтів для ЛНР.

  14. Метод варіації довільних сталих для ЛНР.

  15. Формула Коші.

                      Змістовний модуль 3


Тема 4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

Лекція 19. Коливність розв'язків ЛОР 2-го порядку, теорема про                    неколивність, теорема Штурма, теорема порівняння для ЛОР 2-го                    порядку – 2 год.


Лабораторна робота 17. Канонічні форми ЛОР другого порядку. Інваріант                                          лінійного рівняння другого порядку – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)


Лекція 20. Інтегрування ЛОР другого порядку за допомогою степеневих                    рядів – 2 год.

Лабораторна робота 18 . Інтегрування ЛОР 2-го порядку за допомогою

степеневих рядів – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                  домашніх завдань)

Лекція 21. Гіпергеометричне рівняння. Рівняння Бесселя – 2 год.

Лабораторна робота 19. Гіпергеометричне рівняння. Рівняння Бесселя –2 год.

Самостійна робота – 6 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                    домашніх завдань)

Лекція 22. Крайові задачі – 2 год.

Лабораторна робота 20. Розв'язання крайових задач – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)


Тема 5. Системи диференціальних рівнянь
Лекція 23. Загальні питання теорії систем у нормальній і симетричній                     формах - 2       год.

Лабораторна робота 21. Інтегрування систем диференціальних рівнянь.                                             Метод виключення, метод інтегрованих комбінацій                                             – 2 год.

Самостійна робота – 6 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)

Лекція 24. Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь . Лінійно незалежні       системи функцій, вронскіан, фундаментальна матриця , загальний       розв’язок - 2 год.

Лабораторна робота 22. Інтегрування систем диференціальних рівнянь.                                             – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                    домашніх завдань)


Лекція 25.  Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь зі сталими        коефіцієнтами . Матричний метод інтегрування – 2 год.

Лабораторна робота 23. Інтегрування лінійних однорідних систем                                            диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами                                               – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)

Лекція 26. Метод Ейлера побудови ФСР для лінійної однорідної системи зі               сталими коефіцієнтами – 2 год.

Лабораторна робота 24. Інтегрування лінійних однорідних систем                                            диференціальних рівнянь зі сталими                                            коефіцієнтами. Метод Ейлера  – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)

Лекція 27, 28. Лінійна неоднорідна система, метод варіації довільних                           сталих.  Метод     невизначених коефіцієнтів – 2 год.

Лабораторна робота 25. Інтегрування лінійних неоднорідних систем                                            диференціальних рівнянь – 4 год.

Самостійна робота – 6 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань, підготовка до контрольної                                                   роботи)


Контрольна робота -2 год.


Контрольні запитання і завдання


1 .Канонічні форми ЛОР 2-го порядку.

2. Коливність розв'язків ЛОР 2-го порядку.

Теорема про неколивність.

Теорема Штурма.

Теорема порівняння для ЛОР 2-го порядку.

Теорема про існування аналітичного розв’язку ЛОР 2-го порядку.

Гіпергеометричне рівняння.

Рівняння Бесселя.

Постановка крайової задачі.

Функція Гріна.

Перші інтеграли нормальних систем.

Аналітичний критерій інтеграла.

Незалежність інтегралів, повний набір перших інтегралів.

Фундаментальна матриця лінійної однорідної системи.

Формула Остроградського-Ліувілля.

Побудова фундаментальної системи розв’язків для лінійної однорідної системи зі сталими коефіцієнтами.

Експонента матриці, властивості.

Метод варіації довільних сталих для лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь.

Метод невизначених коефіцієнтів для лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь.
      Змістовний модуль 4
Тема 6. Стійкість розв'язків диференціальних рівнянь.
Лекція 29. Поняття стійкості, теореми про стійкість лінійної системи – 2 год.

Лабораторна робота 26. Дослідження стійкості за означенням – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)

Лекція 30. Стійкість лінійної однорідної системи зі сталою матрицею– 2 год.

 Лабораторна робота 27. Дослідження стійкості розв’язків лінійних систем– 2                                          год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)

Лекція 31. Дослідження стійкості за першим наближенням – 2 год.

Лабораторна робота 28. Дослідження стійкості за першим наближенням – 2                                         год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)
Лекція 32. Функції Ляпунова, теореми Ляпунова про стійкість та                     асимптотичну стійкість – 2 год.

Лабораторна робота 29. Дослідження стійкості за допомогою функцій

Ляпунова – 2 год.

Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)


Лекція 33. Теореми Ляпунова про нестійкість – 2 год.

Лабораторна робота 29. Дослідження стійкості за допомогою функцій

Ляпунова – 2 год.
Самостійна робота – 4 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)

Тема 7. Фазова площина.
Лекція 34. Поняття фазового простору, фазової площини, автономної системи. Типи фазових кривих системи .  

Лабораторна робота 31. Дослідження якісної поведінки фазових кривих на                                           площині- 2 год.

Самостійна робота – 6 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань)

Лекція 35. Дослідження якісної поведінки фазових кривих системи                  - 2 год.


Самостійна робота – 8 год. (опрацювання лекційного матеріалу, виконання                                                   домашніх завдань, підготовка до контрольної                                                   роботи)

Контрольна робота – 2 год.

Контрольні запитання і завдання.


  1. Означення стійкості, нестійкості, асимптотичної стійкості.

  2. Теореми про стійкість лінійних систем.

3. Необхідні і достатні умови стійкості (асимптотичної стійкості,       нестійкості) ЛОС зі сталою матрицею.

  1. Теорема про стійкість за першим наближенням.

  2. Функція Ляпунова.

  3. Теореми Ляпунова.

  4. Типи особливих точок системи .


Система контролю знань
I семестр

Змістовний модуль 1 - ___ бали

Модульна контрольна робота - ___ бали

Виконання домашніх завдань і робота на практичних заняттях - ___ бали


Змістовний модуль 2 - ___ бали

Модульна контрольна робота - ___ бали

Виконання домашніх завдань і робота на практичних заняттях - ___ бали
Залік ____ бали

Всього за семестр - ___ бали



II семестр
Змістовний модуль 3 - ___ бали
Модульна контрольна робота - ___ бали

Виконання домашніх завдань і робота на практичних заняттях - ___ бали

Змістовний модуль 4 - ___ бали
Модульна контрольна робота - ___ бали

Виконання домашніх завдань і робота на практичних заняттях - ___ бали

Всього за семестр - ___ бали
Іспит ___ бали
Всього за рік - _____ бали
Кожна контрольна робота може бути переписана один раз. Якщо контрольна робота пропущена з поважної причини, то вона може бути написана без зменшення кількості балів за них.

Підсумковий контроль за семестр складається з суми балів, які отримав студент за роботу протягом семестру. Максимально студент може отримати 60 балів протягом кожного семестру.

При складанні заліку та іспиту студент може отримати до 40 балів. За сумою S балів за роботу в семестрі і за відповідь на іспиті виставляється оцінка студенту:


  • S<60 відповідає оцінці «незадовільно»;

  • 60 ≤S<75 відповідає оцінці «задовільно»;

  • 75≤S<90 відповідає оцінці «добре»;

  • 90≤S відповідає оцінці «відмінно».




Оцінка ЕСTS

Оцінка

S

А

Відмінно

90-100

B

Дуже добре

85-89

C

Добре

75-84

D

Задовільно

65-74

E

Достатньо

60-64

FX

Незадовільно з можливістю повторного перескладання

35-59

F

Незадовільно з повторним прослуханням курсу

1-34

Навчальна дисципліна "Диференціальні рівняння" оцінюється за модульно-рейтинговою системою. В першому семестрі дисципліна складається з двох змістовних модулів : до першого входять 1тема, до другого 2-3 теми.

Результати навчальної діяльності студентів в семестрі оцінюються за 100–бальною шкалою.

Рекомендована література



  1. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння в задачах. –Київ:Либідь, 2003, 504 с.

  2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.-М.:ГИФМЛ, 1958, 468 с.

  3. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-            М.:Наука, 1979, 352 с.

  4. Перестюк М.О., Свіщук М.Я. Збірник задач з диференціальних рівнянь – Київ:Либідь, 1997

  5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.-М.:Наука, 2002, 176 с.

  6. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.:Мир, 1970, 720 с.

Завідувач кафедри інтегральних і



диференціальних рівнянь М.О. Перестюк


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка