Методическая разработка занятия по дисциплине «Высшая математика» специальность 03060101 «Организация производства»



Дата конвертації09.12.2016
Розмір75 Kb.


Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Луганской Народной республики

«Луганский строительный колледж»


МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ

по дисциплине «Высшая математика»

специальность 5.03060101

«Организация производства»
на тему: Асимптоты графика функции. Нахождение асимптот
Разработал: преподаватель ЁC методист

Еськова Л.В.


2015
Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии естественно ЁC математических дисциплин

Протокол от «____»___________2015 г.

№__________

Председатель цикловой комиссии

_____________ Л.Г.Поддубная

Тема: Асимптоти графіка функції. Знаходження асимптот.


Вид заняття: лекція з практичним закріпленням матеріалу.

Мета: Засвоєння студентами поняття асимптоти графіка функції, вміння знаходити асимптоти графіків функції.

Узагальнити та систематизувати знання знаходження границь функції.

Формувати творчій підхід до вирішення питань, культуру письма та креслення.

Вчити аналізувати, узагальнювати матеріал.

СТРУКТУРА ЗАНЯТТЯ

Організаційна частина.

Повідомлення теми, мети та основних завдань.

Мотивація навчальної діяльності.

Актуалізація опорних знань студентів.

Викладення нового матеріалу.

5.1. Асимптоти графіків функції.

Означення асимптоти.

Види асимптот.

Застосування програмного забезпечення

Advanced Grapher до побудови асимптот графіка функції.

Знаходження асимптот графіка функції.
5.2 Розв’язування прикладів.

Підведення підсумків заняття.

Завдання для самостійної роботи.

Література:

В.П. Лавренчук, Т.І. Готинчан, В.С Дронь, О.С. Кондур Вища математика. Курс лекцій у трьох частинах. Частина 1. Лінійна алгебра, аналітична геометрія, математичний аналіз: Навчальний посібник. ЁC Чернівці: Рута, 2007. ЁC 440 с.

Крамар М.М., Швед О.П. Вища математика (конспект лекцій, частина І).-Луганськ: Вид-во НЦППРК «Ноулідж», 2008

Соколенко О.І.Вища математика : Підручник. ЁC К.: Видавничий центр "Академія", 2003. ЁC 432 с. (Альма-матер)

Крамар М.М., Швед О.П. Вища математика (конспект лекцій, частина І). - Луганськ: Вид-во НЦППРК «Ноулідж», 2008.


Зміст заняття
Організаційна частина.

Привітання, позначення відсутніх.


Повідомлення теми, мети та основних завдань.
Тема сьогоднішнього заняття «Асимптоти графіків функції. Знаходження асимптот». Метою нашого заняття є засвоєння поняття асимптоти графіка функції, видів асимптот, напрацювання вміння знаходити асимптоти графіків функції, повторення матеріалу, який ви вивчали протягом модуля, вдосконалення навичок знаходження границь функції.
Мотивація навчальної діяльності.

Поняття границі та правила диференціювання, які ми вивчали протягом останніх занять мають бути застосовані нами в подальшому вивченні матеріалу, при дослідженні функції та побудові графіків. Раніше Ви вже зустрічались з поняттям асимптоти графіків функції, але як знаходити рівняння асимптоти і які існують види асимптот, вам було не відомо. Сьогодні мі розширюємо знання з цієї теми и застосування їх до розв’язування задач.


Актуалізація опорних знань студентів.

Для вивчення нового матеріалу нам необхідно згадати означення границі і теореми про границі функції, а також пригадати чудові границі.

ОЗН. Число А називають границею функції µ § при µ §, якщо вона визначена у деякому околі точки µ §, крім можливо самої точки µ §, і для будь - якого µ §можна знайти таке µ §, що для всіх х, що задовольняють нерівності µ §, (1)

функція µ § задовольняє нерівність µ §. (2)

Це записують таким чином:

µ § (3)


Умова µ § означає, що µ §.

Теорема 1. Якщо для функції µ § існує границя приµ §, то вона єдина.


Теорема 2. Нехай µ §функції, для яких існують границі приµ §і µ § , µ §, тоді

Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) границь цих функцій:

µ §.

Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій:



µ §.

Границя частки двох функцій дорівнює частки границь цих функцій, при умові, що : µ §

µ §.

Сталий множник можна виносити за знак границі:



µ §.
Дві важливі границі.

Перша важлива границя

µ §; µ §; µ §; µ §; µ § µ §

Друга важлива границя

µ §

Викладення нового матеріалу.



5.1. Асимптоти графіків функції.
5.1.1.Означення асимптоти.
При дослідженні функції при µ §, або в околі точок розриву другого роду, часто виявляється, що графік функції скільки завгодно близько наближається до тієї або іншої прямої. Такі прямі називаються асимптотами графіка функції. Якщо графік функціїµ § має нескінченну гілку, то графік функції можливо має асимптоти. Асимптоти - це прямі, до яких необмежено наближається крива графіка функції при прагненні аргументу функції до безкінечності. Перш ніж приступити до побудови графіка функції, потрібно знайти всі вертикальні і похилі (горизонтальні) асимптоти, якщо вони існують.
Визначення. Пряма L називається асимптотою графіка функції µ §, якщо відстань d від змінної точки µ §графіка до прямої прямує до нуля при прямуванні точки М по кривій у нескінченність.

Визначення. Пряма µ § називається асимптотою графіка функції µ § при µ §, якщо µ §.

Види асимптот.
Існує три види асимптот: вертикальні, горизонтальні та похилі.
1. Вертикальна асимптота µ § .
Визначення. Пряма µ §називається вертикальною асимптотою графіка функції µ § , якщо хоча б єдина з границь µ § (границя справа) або µ §(границя зліва) дорівнює µ § або µ §, т. т. µ §µ §Очевидно, пряма µ § не може бути вертикальною асимптотою, якщо функція µ § неперервна в точці µ §, тому що в цьому випадку µ §. Отже, вертикальні асимптоти µ § варто шукати у точках розриву функції µ § або на кінцях її області визначення µ §, якщоµ § і µ §- скінченні числа.

2. Горизонтальна асимптота µ §.


Визначення. Пряма µ § називається горизонтальною асимптотою графіка функції µ §, якщо існують кінцеві границі µ § або µ §.

Якщо скінчена тільки одна з границь µ § або µ §, то функція має лише одну правобічнуµ § або лівобічну µ § горизонтальну асимптоту. Якщоµ §=µ § =µ §, то говорять просто про горизонтальну асимптоту. У тому у випадку, коли µ §, то функція не має відповідної горизонтальної асимптоти, але може мати похилу.


3.Похила асимптота µ §.
Визначення. Пряма µ § називається похилою асимптотою графіка функції µ §, якщо функція визначена при достатньо великих µ § існують кінцеві границі µ § µ §.
Якщо, хоча б одна з границь не існує або нескінченна, то графік досліджуваної функції не має відповідної похилої асимптоти.
Застосування програмного забезпечення Advanced Grapher до побудови асимптот графіка функції.
Advanced Grapher є потужним програмним графічним забезпеченням . Ви можете використовувати його для побудови графіків функцій, рівнянь, нерівностей та таблиць.

Програма також дозволяє виконувати побудову кривих, аналізувати функції, знаходити точки перетину графіків з осями координат, дотичні та нормалі графіків і багато іншого.

Ви можете вказати колір, стиль і ширину ліній, стиль і розмір точок, побудова по лініях та (або) точок, стиль затінювання (для нерівності) для кожного графіка. Ви також можете змінити додаткові властивості графів в залежності від типу графіка, наприклад, кількість точок, побудова інтервалів, сортування (для таблиць), і т.д. Програма має багатомовний інтерфейс. 
Знаходження асимптот графіка функції.
Приклад № 1 . Знайти вертикальні та горизонтальні асимптоти графіка функціїµ §

Розв’язок.

Очевидно, що область визначення функції µ §. Вертикальні асимптоти µ § шукаємо у точках розриву функціїµ §. Таким чином, пряма µ §може бути вертикальною асимптотою даної функції. Обчислюємо границі

µ §µ § Із цього випливає, що пряма µ § є вертикальною асимптотою графіка досліджуваної функції.

Знайдемо горизонтальну асимптоту µ §. Обчислюємо границі використовуючи правило Лопіталя.

µ § § =µ §µ § µ §. Тому, щоµ §=µ § =µ §, то графік функції має тільки одну горизонтальну асимптоту. За допомогою програми Advanced Grapher легко побудувати графік функції та асимптоти.

Приклад № 2. Знайти асимптоти графіка функціїµ §

Розв’язок.

Очевидно, що графік функції не має ні вертикальних асимптот

( немає точок розриву), ні горизонтальних асимптот (µ §).

Знайдемо похилу асимптоту. Обчислюємо границі µ §

µ §, µ §.

Таким чином, права похила асимптота має вигляд µ §. Очевидно, що ліва похила асимптота буде мати ті ж значення, що й права, а це значить, що графік досліджуваної функції має одну похилу асимптоту.

Розв’язування прикладів.

Приклад № 1. Знайти асимптоти графіка функції µ §

Рішення: Дослідимо функцію спочатку на наявність похилої асимптоти. Знайдемо µ § µ §

µ §, µ §.

Пряма µ § є похилою асимптотою графіка функції µ §при µ §, а також пряма µ § також є асимптотою графіка функції приµ §. Перевіримо наявність вертикальних асимптот.

Точка µ §є точка розриву функції. Знайдемо границю

µ §, тому пряма µ §(вісьµ §) є вертикальною асимптотою.

Приклад № 2. Знайти асимптоти графіка функції µ §.

Рішення: Знайдемо µ § µ §

µ §, µ §.

Підставляючи знайдені значення µ §в рівняння похилої асимптоти, отримаємо рівняння µ §. Точка µ §є точка розриву функції. Знайдемо границю µ §, тому пряма µ §є вертикальною асимптотою.

Приклад № 3. Знайти асимптоти графіка функції µ §.

Рішення:


Знайдемо µ § µ §

µ §, µ §.

Підставляючи знайдені значення µ §в рівняння похилої асимптоти, отримаємо рівняння µ §. Точка µ §є точка розриву функції.

Знайдемо границю µ §, тому пряма µ §є вертикальною асимптотою.

Приклад № 4. Знайти асимптоти графіка функції µ §.

Рішення:


Знайдемо µ § µ §

Знайдемоµ §µ §µ §µ §Таким чином пряма µ § є асимптотою графіка даної функції при µ §. Аналогічно пряма µ § також є асимптотою графіка даної функції при µ §.


Приклад № 5. Знайти асимптоти графіка функції µ §.

Розглянемо точки µ § та µ §. Маємо µ §.

Тому прямі µ § та µ § є вертикальними асимптотами графіка даної функції. Знайдемо µ § µ §тому вісь

µ §є

горизонтальною асимптотою.


Підведення підсумків заняття.

Висновки: Отож, сьогодні ми ознайомились з означенням асимптоти графіка функції, видами асимптот.

Розглянули деякі приклади знаходження асимптот графіка функції.
Завдання для самостійної роботи.
Опрацювати матеріал підручника Крамар М.М., Швед О.П. Вища математика 198-201 ст. Знайти асимптоти графіків функції:

1). µ §; 2). µ §.





<[Введите текст]>



База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка