Логарифмічні рівняння. Методи розвязування логарифмічних рівнянь



Скачати 414.64 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації06.04.2017
Розмір414.64 Kb.
  1   2   3

Розробка уроку алгебри та початків аналізу в 11-му класі на тему


«ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ. МЕТОДИ РОЗВЯЗУВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ»

за технологією особистісно-зорієнтованого навчання, з позицій компетентнісного та діяльнісного підходів, метою якого є створення умов для виявлення пізнавальної активності учнів, через оРГАНІЗацію роботи над пошуком шляхів розв’язування логарифмічних рівнянь.


ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ. МЕТОДИ РОЗВЯЗУВАННЯ ЛОГАРИФМІЧНИХ РІВНЯНЬ

І.О.Середа, вчитель математики КЗ «Загальноосвітній навчальний заклад І ступеня-гімназія»39 м.Дніпродзержинська» Дніпродзержинської міської ради.



Мета уроку

Освітня: сформувати математичні компетенції: поняття логарифмічного рівняння, найпростішого логарифмічного рівняння, здатності до застосування загальних методів розв’язування рівнянь (рівняння-наслідки та рівносильних перетворення рівнянь) та спеціальних методів розв’язування логарифмічних рівнянь (означення логарифма, потенціювання, заміни, застосування властивостей логарифма, зведення логарифмів до однієї і тієї самої основи, логарифмування), узагальнити знання учнів про рівняння, що вивчаються в курсі математики, удосконалити навички застосовування властивостей логарифмів під час розв’язання логарифмічних рівнянь.

Розвиваюча: сприяти формуванню практичної та логічної компетентності шляхом

розвитку вміння правильно визначати та застосовувати відповідний метод до розв’язування логарифмічних рівнянь, розпізнавати логічно некоректні міркування, розвитку логічного, критичного і творчого мислення учнів, здатності лаконічно, чітко та аргументовано формулювати і висловлювати свої судження, розвитку умінь працювати з підручником, опрацьовувати математичні тексти, шукати й використовувати додаткову навчальну інформацію, оцінювати здобуту інформацію, розвивати навички самоконтролю та вміння виступати з повідомленнями.


Виховна: сприяти формуванню соціальних, полікультурних, комунікаційних

компетентностей, вихованню цілеспрямованості, наполегливості у досягненні поставленої мети, прищеплювати бажання мати якісні, глибокі знання, виховувати культуру математичної мови та мислення, потяг до самовдосконалення, сталий інтерес до вивчення математики, зміцнювати почуття гордості за свій народ на прикладі життєвого та творчого шляху видатних українських математиків.



Тип уроку. Урок вивчення нового навчального матеріалу

Очікуванні результати навчальних досягнень учнів

Після цього уроку учні будуть знати
знати:

  • означення логарифмічного рівняння, найпростішого логарифмічного рівняння;

  • основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь;

вміти:

  • правильно визначати вид логарифмічних рівнянь;

  • правильно обирати метод для розв’язування логарифмічних рівнянь;

  • розв'язувати найпростіші логарифмічні рівняння;

  • розв'язувати логарифмічні рівняння різними методами;

  • розв'язувати логарифмічні рів­няння з використанням рівнянь-наслідків і рівносильних перетворень;

застосовувати:

  • означення і властивості логарифмів;

  • властивості логарифмічної функції;

  • методи розв’язування логарифмічних рівнянь.


Обладнання: комп’ютер, презентація, картки-завдання для математичного лото, портрети видатних математиків, пам`ятка «Властивості логарифмів», опорний конспект «Логарифмічні рівняння», лист контролю.

Форми роботи: індивідуальна, колективна, фронтальна, в парах, самостійна тестова перевірка знань.
Хід уроку

І. Етап орієнтації

Позитивна установка на роботу.



Привітання вчителя

Я сподіваюся, що наш урок пройде цікаво, з великою користю для всіх. Дуже хочу, щоб ви відчували себе впевнено, щоб ви були задоволені собою. А людина тоді задоволена – коли досягає певних успіхів, долає якісь перешкоди, коли каже: «Мені це вдалось». Будьте дуже уважні протягом уроку. Думайте, питайте, пропонуйте – бо щляхом до істини нам з вами йти разом.



Правила роботи для учнів на уроці.

Мій розумний учню, великий критику, співавторе уроку:

  • Цінуй набуті знання, час, наполегливість, уважність.

  • Продемонструй грамотність у виконанні поставлених завдань.

  • Сприймай зацікавлено, вдумливо.

  • Не бійся помилятися.

  • Повір у свої сили!

  • Май гарний настрій!

  • Досягай успіху!

Перевірка домашнього завдання у формі гри «Знайди помилку товариша».

Учні обмінюються зошитами і звіряють домашнє завдання свого товариша з виконаними завданнями на екрані і оцінюють роботу.




  • Мотивація вчителем наступної навчальної діяльності.

Хвилинка ерудита «ЩО?ДЕ?КОЛИ?»

Учитель

Вчені математики через свої праці у галузі математики прославилися на весь світ, навіть їх сучасники визнавали їх велич і по заслузі називали їх батьками, королями, музами математики.



  • Кого з жінок-математиків англійський меценат ХІХ століття Джордж Сільвестр в своєму сонеті назвав «небесною музою»? (Софію Ковалевську).

(15 січня 2015 року виповнилося 165 років від дня народження відомого російського математика, письменниці і публіциста Ковалевської Софії Василівни. Маловідомий той факт, що С.Ковалевська (уродженка Круковська) має українське коріння. Її батьки з Полтавщини, були родичами сім’ї Косачів – Л.Українки. А хто із українських математиків вплинув на становлення цієї видатної жінки ми дізнаємося протягом уроку).
Вчитель звертаючись до учнів із словами С.Ковалевської «… Мені здається, що поет повинен бачити те, чого не бачать інші, бачити глибше, ніж інші. Це саме повинен і математик», нагадує, що і серед учнів класу є прекрасні математики, і водночас поети, та запрошуєє переможницю міського конкурсу знавців української мови прочитати свій акровірш, який допоможе учням визначити змістову лінію алгебри.

Розв`язувати різні задачі життєві,

І вчитися з труднощів вийти миттєво,

В скруті й біді не лишатись навічно

Наука готує математична.

Як швидко знайти невідомі ікси,

Ніколи на втратить любов до краси,

Нам завжди здобути лише перемогу,

Я знаю, лиш алгебра дасть нам цю змогу!

Учитель

Рівняння – одна з провідних тем шкільного курсу математики, оскільки розв`язуваня багатьох практичних задач зводяться до складання й розв`язування рівнянь. Причому багато задач, різноманітних за змістом та з різних галузей діяльності людини, зводяться до рівняння певного виду, яке служить знаковою моделлю цієх групи задач. Уміння розв’язувати певний вид рівнянь дає можливість розв`язувати цілу групу задач. Метод рівнянь - один з математичних методів пізнання реальної дійсності. Алгебру називають теорією розв’язування рівнянь. Різноманітність видів рівнянь відображає наступна схема «Сходинки знань» (схема1).



«Сходинки знань» Схема1



















7
















6













5










4







3




2

1

АЛГЕБРАЇЧНІ

ТРАНСЦЕНДЕНТНІ

РІВНЯННЯ

  • Опора на особистий досвід учнів

Відкрити перші шість сходинок, узагальнити знання про рівняння, які отримали протягом шкільного курсу, учням пропонується через знаходження відповідності між рівняннями та їх видами (таблиця1).

Завдання 1. Співвіднесіть рівняння з його видом. Відповідь обґрунтуйте.

Таблиця 1


сходинки

Ріняння

Вид

Код

1.

5х +4 =0

показникові

Д

2.

2 -5х -2 = 0

лінійні

Д

3.



ірраціональні

В

4.



дробово-раціональні

С

5.

1- cos8х = sin4х

квадратні

О

6.

22х+1+ 3·2х -2 =0

тригонометричні

І


«Сходинки знань» Схема 2



















Логарифмічні
















Показникові

Д













Тригонометричні

І










Ірраціональні

В







Дробово-раціональні

С




Квадратні

О

Лінійні

Д

АЛГЕБРАЇЧНІ

ТРАНСЦЕНДЕНТНІ

РІВНЯННЯ

Після правильного виконання завдання учні отримають слово «Досвід». Піднімаючись по «Сходинкам знань» протягом шкільного курсу математики ви нарешті досягли останньої сходинки.

ІІ. Етап покладання мети

Для визначення теми уроку, над якою вони будуть працювати, а також мети і місця даного уроку в системі уроків теми «Логарифмічна функція», тем курсу алгебри і початків аналізу учням пропонується визначити вид наступних рівнянь і відкрити останню сьому сходинку.


Завдання 2. Визначити вид наступних рівнянь

  1. log3 (х -1) =2

  2. log5 (2х-3)=2

  3. logх (х +2) =2

  4. log3 (х2 -2) = log3 (4х-5)

  5. lg2x-2 lg х -3 = 0

  6. log2 (х +1) = 3 - log2 (х +3)

  7. log4 х +6 logх 4 = 5

  8. хlg--2 = 1000 .

Учні формулюють означення логарифмічного рівняння, і відкривається остання сьома сходинка в схемі 2.

Означення Логарифмічними рівняннями називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

Повідомлення теми і мети уроку, орієнтація учнів щодо місця заняття в темі

Вчитель разом з учнями визначає особистісно значущі завдання тієї діяльності, яку передбачено здійснити протягом уроку.

Учитель

Сьогодні ми будемо набувати вміння розв’язувати логарифмічні рівняння.

Результатом роботи стане опорний конспект, який буде вам допомагати на уроках та іспитах в подальшому житті. Визначити рівень своїх досягнень з даної теми ви зможете на наступному уроці під час виконання самостійної роботи Логарифмічні рівняння треба навчитися розв’язувати. Це є запорукою успішного складання зовнішнього тестування, шлях до вступу у вищі навчальні заклади, в стінах яких ви будете навчатися для того, щоб стати кваліфікованими компетентними спеціалістами (звертається увага учнів на програмні вимоги та вимоги до знань учнів на ЗНО з теми «Логарифмічні рівняння» (додаток1).

Досягати мету уроку за поданим маршрутним листом.



«Маршрутний лист»




  • Актуалізація опорних знань

«Багато чого з математики не залишається в пам’яті, але коли розумієш її, тоді легко при нагоді згадати призабуте».

М. В. Остроградський
Історична хвилинка

Випереджальне завданя – повідомлення про видатного російського математика почасти українського походження, письменницю і публіциста С.Ковалевську (додаток 2).

Заочне знайомство С.Ковалевської з українським математиком М. В. Остроградським

Петербурзі викладачем математики до неї запросили лейтенанта флоту О.М.Страннолюбського. Вже на перших заняттях викладача здивувало те, що дівчина так швидко засвоювала перші поняття з вищої математики — поняття границі, похідної тощо, «начебто вона їх раніше знала». Соня пояснила: «У ту хвилину, коли ви пояснювали мені ці поняття, мені раптом пригадалося, що все це було написано в лекціях Остроградського, якими була обклеєна наша кімната, і саме поняття про границю здалося мені давно відомим».
Учитель

Для розуміння наступного необхідно розуміти попереднє. Для розв’язування логарифмічних рівнянь потрібно знати основні відомості про логарифм та його властивості, властивості логарифмічної функції. Оцінити рівень засвоєння і розуміння навчального матеріалу з попередніх тем «Логарифм. Властивості логарифма. Логарифмічна функція», здійснити корекцію адекватності оволодіння навчальною інформацією, учням пропонується за допомогою розминки, теоретичної і практичної.



Перевірка теоретичних знань учнів

«Найкраща помилка та, яку допускають під час навчання».

Г.С.Сковорода

Теоретична розминка

Технологія «Мікрофон»
1. Що називають логарифмом числа b за основою а ()?

2. Який логарифм називають десятковим і який натуральним?

3.. Сформулюйте формули логарифмування.

4. Сформулюйте формулу переходу до логарифмів з іншою основою.

5. Яка функція називається логарифмічною?

6. Яка множина чисел є областю визначення логарифмічної функції?

7. При якому значенні а функція у= зростає на всій області визначення?

8. При якому значенні а функція у=  спадає на всій області визначення?



Практична розминка

Тест
Для успішного розв’язування вправ на уроці учням пропонується відповісти на питання тесту і пригадати вивчене на попередніх уроках.

До речі слово «test» в перекладі з англійської мови означає «випробування». Впеше його застосував у серпні 1966 року професор В.Серве з Бельгії. Отже, тестовій перевірці майже 50 років.

Тест

1.Який з виразів має зміст?




А

Б

В

Г

Д

log6 (-0,1)

log3 (-5)3

log14 0

log ½ 7

log -55

2. Яка з рівностей правильна?



А

Б

В

Г

Д

log7 1 =1

log2 16 = 5

log210 = 5

= -5

log17 17 = 0

3. Областю визначення функції у= log3 (3x+1)  є проміжок:




А

Б

В

Г

Д





(-∞; ∞)





4. Знайти значення х, якщо 




А

Б

В

Г

Д

18

11

9

24

27

5. Установіть відповідність між виразами (1-4) і їх числовими значеннями (А-Д).




  1. log3 А -1


2.  Б 0


  1.  В 

  2. log3 Г 1

Д 2

Самоперевірка знань учнів

Перевір себе!

Бланк правильних відповідей проектується на екран


1

2

3

4

5




А

Б

В

Г

Д

В

Б

Д

Г

1



















2
















3
















4















Відбувається корекція знань.


ІІІ. Етап проектування.

Залучення учнів до проектування діяльності, яка здійснюватиметься на уроці, через попередню роботу (випереджувальні завданя, повідомлення, презентації), складання та обговорення плану наступної роботи, яку передбачено виконати.


ІV. Етап організації виконання плану діяльності

Знання збираються по краплині, як вода в долині

Прислів`я

    1. Прийом «Рівний - рівному»

Розв`язання найпростіших логарифмічних рівнянь

Вчитель пропонує учням із розглянутих вище логарифмічних рівнянь вибрати ті рівняння, які вони можуть розв’язати спираючись на власний досвід.

Вводиться означення найпростіших рівнянь.

Розв'язання найпростіших логарифмічних рівнянь демонструють 5 учнів-консультантів, які самостійно випереджально опрацювали матеріал, і отримали консультацію вчителя (таблиця 2).


Таблиця 2

Найпростіше логарифмічне рівняння

logа х = с (де а > 0, а ≠ 1, х > 0)

Метод використання означення логарифма-

за допомогою рівносильних перетворень

loga x = loga b (а > 0, а 1, х > 0, b > 0).

Метод потенціювання

В загальному випадку

logа f (х)= с, де а > 0, а 1, х > 0.
1 учень

Розв`язати рівняння 1

log3 (х-1)=2(довідка - стор.209,таблиця23).

2 учень
Розв`язати рівняння 2

log5 (2х-3)=2((довідка стор.211).

3 учень
Розв`язати рівняння 3

logх (х+2)=2((довідка - стор.209, таблиця 23)- використання рівнянь-наслідків

В загальному випадку

logа f(х )= logа g(х ) (а>0, а ≠ 1)
4 учень

Розв`язати рівняння 4


І спосіб

 log8(x2 – 2) = log8 (4x - 5) ((довідка - стор.210, таблиця 23; стор.213)- за допомогою рівносильних перетворень



5 учень

Розв`язати рівняння 4

ІІ спосіб

log8(x2 – 2) = log8 (4x - 5) - використання рівнянь-наслідків ((довідка - стор.214)
Зауваження Звичайно, розглянуте рівняння можна було розв’язати з використанням рівнянь-наслідків, без врахуваня ОДЗ, але з перевіркою одежаних розв’язків з підстановкою в початкове рівняння.

Тому кожен має право обирати шлях розв’язування: або це буде використання рівнянь-наслідків, або рівносильні перетворення. Але для багатьох рівнянь перевірку одержаних коренів виконати досить непросто, а для нерівностей і звсім неможна користуватися наслідками. Це пов’язано зти що не вдається перевірити в і розв`язки – їх кількість у нерівностей, як правило, нескінченна. Отже, для нерівностей доводити виконувати тільки рівносильні перетворення (їх можна виконувати за орієнтирами, повнісю аналогічними наведеним вище).

це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.



4.2.Групова робота

Найкращий спосіб вивчити що-небудь –

це відкрити самому.
Д. Пойа

Групи сформовані за рівнем математичної підготовки учнів на початку уроку. Кожна група повинна розглянути розв`язання даного логарифмічного рівняння, користуючись довідковою таблицею 23 на стор.209-210, яка містить основні поняття, властивості, орієнтири для пошуку плану розв’язування, та наведеними прикладами на стор.212-220, у яких крім самого розв’язання міститься коментар, що допомагає скласти пам’ятку розв’язування аналогічного рівняння. Учні, консультуючись один з одним, працюють з підручником при вивченні нової теми. В кожній групі є підготовлений консультант, який контролює виконання завдань, своєчасно надає допомогу. Після виконання цього завдання, представник від кожної групи демонструє розв`язання свого рівняння на дошці з поетапним коментуванням. До розв`язування рівняння аналогічного типу запрошуються за бажанням учні з інших груп. За результатом спільної роботи всіх груп складається опорний конспект з пошуку розв`язання логарифмічних рівнянь.


І група - Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного методом заміни

Розв`язати рівняння

І.1. log х –2log2 x-3= 0 (довідка- коментар на стор.210, таблиця 23) – демнострує розвзання

представник від кожної групи на дошці з поетапним коментуванням.
І.2. ЗНО-2015

Розв’яжіть рівняння: log2x + log5 x = 2. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповіді, якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть у відповіді число 100.



- демонструє розв`язання аналогічного типу, за бажанням, представник з інших п груп на дошці з поетапним коментуванням.

.

ІІ група - Метод застосування властивостей логарифма, для рівнянь, які містить алгебраїчну суму логарифмів з однаковою основою
Розв`язати рівняння

ІІ.1.log2 (х+1) =3 -  log2 (х+3) за допомогою рівносильних перетворень (довідка - коментар на стор.210, таблиця 23) і рівнянь-наслідків (довідка - коментар на стор.213-214, пункт 3 ) – демнострує розвзання

представник від кожної групи на дошці з поетапним коментуванням.

ІІ.2.lg(x – 2) - lg (3x - 6) = lg2. (довідка - коментар на стор.215, приклад1)- - демонструє розв`язання аналогічного типу, за бажанням, представник з інших п груп на дошці з поетапним коментуванням.

.

ІІІ група - Метод зведення логарифмів до однієї і тієї ж основи


Розв`язати рівняння

ІІІ.1.log4 х  +6 logх 4 = 5 - (довідка - коментар на стор.217- Приклад3 ) – демнострує розвзання

представник від кожної групи на дошці з поетапним коментуванням.

ІІІ.2.  (№7.178*)- демонструє розв`язання аналогічного типу, за бажанням, представник з інших п груп на дошці з поетапним коментуванням.

.

ІV група - Метод логарифмування обох частин рівняння

Розв`язати рівняння

ІV.1. х lgx-1 = 1000. (коментар на стор.217- Приклад 4 ) – демнострує розвзання

представник від кожної групи на дошці з поетапним коментуванням.

ІV.2.  (№7.033**)- демонструє розв`язання аналогічного типу, за бажанням, представник з інших п груп на дошці з поетапним коментуванням.

На екрані з`являється колективний продукт у вигляді опорного конспекту (додаток 3).

Обговорення результатів роботи

Які розглянуті рівняння виявилися найбільш складними? Чому?

Досвід, який ви набули, при розв’язуванні логарифмічних рівнянь допоможе вам для успішного проходження незалежного оцінювання.


  1   2   3


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка