Лекція Узагальнений метод найменших квадратів



Скачати 53.42 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір53.42 Kb.
Лекція 4.Узагальнений метод найменших квадратів.

Передумови, якi висуваються в разі оцінювання параметрів моделі за методом 1 МНК, на практиці часто можуть порушуватись. Однією з таких передумов є незмiннiсть дисперсії залишків для всіх спостережень вихідної сукупності. Це явище називається гомоскедастичнiстю. У практичних дослідженнях воно часто порушується. Наприклад, в економетричнiй моделі, що характеризує залежність витрат на споживання від доходу, дисперсiя залишків може змінюватися для спостережень, які характеризують розмір доходів різних груп населення.

Якщо дисперсiя залишків при побудові економетричної моделі змінюється для кожного спостереження або груп спостережень, то це явище називається гетероскедастичнiстю. При гетероскедастичностi дисперсiя залишків така: М(uu)=2uS , де S діагональна додатно визначена матриця розміром nxn.

Гетероскедастичнiсть призводить до порушення властивостей незмiщеностi та ефективності оцінок параметрів моделі, здобутих за допомогою 1 МНК. Тому завжди постає потреба вивчати це явище i, якщо воно існує, для оцінювання параметрів моделі застосовувати узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена).

Для визначення гетероскедастичностi вдаються до таких чотирьох критеріїв:

1) критерій ;

2) параметричний тест Гольдфельда-Квандта;

З) непараметричний тест Гольдфельда- Квандта;

4) тест Глейсера.

Критерій .

Цей метод прийнятний тоді, коли вихідна сукупність спостережень досить велика. Для цього користуються таким алгоритмом.

• Крок 1. Вихiднi данi вектора залежної змінної У розбиваються на r груп (r = 1,…,k ) згідно зі зміною абсолютної величини його компонентів вектор У доцільно спочатку впорядкувати від меншого до більшого значення компонентів

• Крок 2. Для кожної групи даних обчислюють суму квадратів відхилень:.

• Крок З. Обчислюється сума квадратів відхилень у цілому по всій сукупності спостережень:



  • Крок 4. Обчислюється параметр :

де n - загальна сукупність спостережень nr — кiлькiсть спостережень r-ї групи.



  • Крок 5. Обчислюється критерій  :2ln, який наближатиметься до розподілу 2 при ступенях свободи k —1, коли дисперсiя всіх спостережень стала. Тобто, якщо значення  менше від табличного значення 2 за вибраного рівня значущості i ступеня свободи k —1, то явище гетероскедастичностi відсутнє.

Параметричний тест Гольдфельда—Квандта.

Коли сукупність спостережень невелика, то розглянутий метод визначення гетероскедастичностi незастосовний. Гольдфельд i Квандт розглянули випадок, коли , тобто дисперсiя залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з незалежних змінних моделі:



Y = XA + u

Для виявлення гетероскедастичностi вони запропонували параметричний тест, який потребує виконання таких кроків.



  • Крок 1. Упорядкувати спостереження одного з векторів пояснюючих змінних, який може призводити до гетероскедастичностi.

  • Крок 2. Відкинути с спостережень, які міститимуться в центрі цього вектора, запропонувавши оптимальні спiввiдношення між параметрами с i n, де n — кiлькiсть елементів вектора Хj : c/4=n/15.

  • Крок 3. Побудувати дві економетричнi моделі на основі 1 МНК за двома створеними сукупностями спостережень (n — с)/2 за умови, що (n — с)/2 перевищу кiлькiсть змінних m.

  • Крок 4. 3найти суму квадратів залишків S1 i S2 за першою (1) i другою (2) моделями:

де u1, u2 –залишки відповідно за першою та другою моделями.

Крок 5. Обчислити критерій: R*=S1/S2, який наближено матиме F- розподіл з (n-c-2m)/2 i (n-c-2m)/2 ступенями свободи, де n — кількість пояснюючих змінних. Обчислене значення R* порівнюють з табличним значенням F –критерію при ступенях свободи (n-c-2m)/2

i (n - с – 2m)/2 i вибраному рiвнi значущості. Якщо R* F то гетероскедастичностi немає.

Непараметричний тест Гольдфельда – Квандта.

Цей метод прийнятний тоді, коли висновки про наявність гетероскедастичностi можна роботи на основі графіка зміни залишків після упорядкування спостережень за тією пояснювальною змінною, яка може призводити до гетероскедастичностi.



Тест Глейсера.

Ще один тест за допомогою якого можна перевірити наявність гетероскедастичностi був запропонований Глейсером: за цим тестом будується регресійне рівняння значень залишків |ui| від тієї пояснюючої змінної, яка може призвести до гетероскедастичностi, тобто вiдповiдає змiнi дисперсії . Для цього застосовуються такі види функцій:



Висновок про вiдсутнiсть гетероскедастичностi залишків робиться на пiдставi статистичної значущості коефiцiєнтiв а0 та а1. Переваги цього тесту полягають у можливості розрізняти випадок чистої i змішаної гетероскедастичностi. Чиста гетероскедастичнiстю зумовлюється лише однією змінною, змішана — кількома. Чистий гетероскедастичностi вiдповiдають значення параметрів а0 =0, а10, а змiшанiй— а0 0, а10. Залежно від цього потрібно користуватися різними матрицями S. ,

Якщо при економетричному моделюванні для певних вихідних даних буде виявлено явище гетероскедастичностi, то оцінювання параметрів моделі потрібно виконувати згідно з узагальненим методом найменших квадратів. Оператор оцінювання цим методом запишеться:,

де Х — матриця пояснюючих змінних моделі;

Х — матриця, транспонована до матриці Х ;

У — вектор залежної змінної:



У цій матриці залежно від висунутої гіпотези маємо:

1) або i =1/хij ,

2) або i =1/х2ij ,

3) або i ={|ui|}2 ,

У разі чистої гетероскедастичностi доцільно застосовувати першу або другу гіпотезу, при змiшанiй — третю.

Прогноз на основі економетричної моделі, в якій параметри оцінюються узагальненим методом найменших квадратів, можна дістати на пiдставi такого спiввiдношення:

де u — вектор залишків, який вiдповiдає оцiнцi параметрiв моделi на основi 1 МНК;

W — вектор, транспонований до вектора коварiацiй поточних i прогнозованих значень залишків.

Оскільки V = 2uS, то V-1 =S-1.



Непрямий метод оцінювання параметрів економетричної моделі.

Наявність прямих та зворотних зв’язків між економічними показниками нерідко зумовлює потребу застосовувати систему одночасних рівнянь, що містить, як правило, лiнiйнi рівняння. Нелiнiйнiсть зв’язків апроксимується лiнiйними спiввiдношенями. Динаміка економічних зв’язків ураховується за допомогою часових лагів або лагових змінних.

Система одночасних структурних рівнянь у матричному вигляді є такою:

Y=A Y + BХ + u.

Розв’язавши кожне рівняння системи відносно У, дістанемо зведену форму моделі:

Y= RX +

де залишки  є лiнiйною комбiнацiєю залишків u.

Зв’язок між коефiцiентами структурної i зведеної форм моделі визначиться залежностями:



або

або

Якщо економетрична модель будується на основі системи одночасних структурних рівнянь, то порушується, як правило, третя умова щодо застосування 1 МНК. Згідно з цiєю умовою мат пояснюючих змінних та вектор залишків мають бути незалежними.

Оцінка параметрів моделі методом 1 МНК даватиме таке їх зміщення:

, де mzz –момент другого порядку залежної змінної, що прямує до деякої константи, коли n.

Оцінка параметрів моделі на базі одночасних структурних рівнянь пов’язана з проблемою ідентифікації. Необхідна умова ідентифікації системи – виконання нерівності для кожного рівняння: ks-1 m-ms,

де ks — кількість ендогенних змінних, які входять в s - те рівняння структурної форми;

m— загальна кількість екзогенних змінних моделі;

ms — кiлькiсть екзогенних змінних, які не входять в s-те рівняння структурної форми моделі.

Коли записане співвідношення виконується як рiвнiсть, то вiдповiдне рівняння є строго iдентифiкованим, а коли — як нерiвнiсть, то рівняння є надiдентифiкованим.



Для оцінювання параметрів строго iдентифiкованим рівнянь моделі можна застосувати непрямий метод найменших квадратів (НМНК). Алгоритм цього методу складається з чотирьох кроків.

  • Крок 1. Перевіряється умова iдентифiкованостi для кожного рівняння. Якщо кожне рівняння строго iдентифiковане, то переходимо до кроку 2.

  • Крок 2. Перехід від структурної форми моделі до зведеної.

  • Крок З. Оцінка параметрів кожного рівняння зведеної форми моделі 1 МНК.

  • Крок 4. Розрахунок оцінок параметрів рівнянь структурної форми згідно зі спiввiдношенням .


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка