Лекція Типові динамічні ланки



Скачати 218.34 Kb.
Дата конвертації03.04.2017
Розмір218.34 Kb.
Лекція 1.4.

  1. Типові динамічні ланки:

Підсилювальна ланка;

Ланки 2-го порядку;

Ланки, що інтегрують.

Ланки, що диференціюють.

Інші типи динамічних ланок.




  1. 1.4.1. Підсилювальна ланка.

Підсилювальна ланка є без-інерційною (миттєвої дії, без затримки), яка забезпечує пропорційне відношення між вихідним і вхідним сигналами. Це пропорційне відношення називається передаточним коефіцієнтом або передаточною функцією ланки. Ми відносимо до підсилювальних ланок елементи САУ, які мають практично без-інерційні властивості. При цьому ми можемо не враховувати інерційні властивості цих ланок у порівнянні із інерційними властивостями всієї САУ.

Приклади:



  1. механічна передача;

  2. сельсини (прилади перемінного струму, які призначені для дистанційної передачі інформації стосовно кутів обертання різних елементів САУ).

Рівняння руху:

(1.4.1.1)

Передаточна функція:



Перехідна характеристика (step response):


Мал.1. Перехідна характеристика (step response) підсилювальної ланки.

If , тоді:



(1.4.1.2)

Згідно з Рівн.(1.4.1.3):



(1.4.1.4)

Якщо

Тоді

Завдяки без-інерційним властивостям цієї ланки фазовий зсув є таким:



(1.4.1.5) – він визначає частотні характеристики ланки.

Частотна передаточна функція:



(1.4.1.6)

Таким чином, амплітудно-фазово-частотна характеристики не залежатиме від частоти.

Враховуючи частотну передаточну функцію, амплітудно-фазово-частотна характеристика цієї ланки є точкою на комплексній S-площині з координатами: .
Мал.2. Амплітудно-фазово-частотна характеристика.

K
Мал.3. Амплітудно-частотна характеристика.

Фазово-частотна характеристика.


Мал.4. Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика.

Logarithmic phase frequency characteristic:



; (1.4.1.7)

Логарифмічна фазово-частотна характеристика:







1.4.2. Ланки 2-го порядку.
Рівняння руху:

(1.4.2.1)

Передаточна функція:



(1.4.2.2)

Стандартна форма передаточної функції:



(1.4.2.3)

деe:


- безрозмірний коефіцієнт демпфірування;

- частота власних коливань.

Розглянемо перехідну характеристику ланки як реакцію на одиничну ступеневу функцію (step response – 1/s):



(1.4.2.4)

Використовуючи таблицю перетворень Лапласа, знайдемо оригінал функції:



(1.4.2.5)

де:


(1.4.2.6)

(1.4.2.7)

У виразі - це часова константа експоненти, яка визначає ступінь зменшення амплітуди коливань синусоїдальної форми (складової вільних коливань загального рішення диференційного рівняння руху САУ), амплітуда яких зменшується протягом часу; а - це частота коливань синусоїдальної форми.

Якщо ми проаналізуємо наступні передаточні функції:



тоді ми побачимо, що вони є нестійкими (амплітуда коливань збільшується потягом часу - .





Мал.5. Види перехідних характеристик ланок 2-го порядку.

Умовні позначки:



  1. underdamping ( and complex) – коливальна ланка (корені і є комплексними);

  2. critical damping ( and real and equal) – випадок критичного демпфірування (корені і є дійсними і рівними);

  3. overdamping ( and real and unequal) - випадок пере-демпфірування (корені і є дійсними і нерівними). Другий та третій випадки – це так звані аперіодичні ланки 2-го порядку.

Передаточна функція – Рівн.(1.4.2.3) має 2 полюси:

(1.4.2.8)

Якщо , тоді ці полюси є різними і дійсними за величиною, і синусоїдальна компонента змінюється на суму двох експонент:



(1.4.2.9)

де:






- часові постійні САУ.



Мал.6. Перехідні характеристики (step response) ланок 2-го порядку (Y-вісь вихідний сигнал; X-вісь - ).

Якщо , тоді обидва полюси є дійсними і рівними за величиною:



(1.4.2.10)

де

Якщо , ми вважаємо, що ця ланка є коливальною;

Якщо ми розглянемо стійкі ланки 2-го порядку (з негативним значенням коефіцієнта ) ми побачимо 4 випадки:

A. - коливальна ланка;

B. - аперіодична ланка 2-го порядку з критичним значенням коефіцієнта ;

C. - аперіодична ланка 2-го порядку;

D. -ми маємо нескінченні коливання з постійною амплітудою – так звана консервативна лака.


Для стаціонарних САУ (LTI - linear time-invariant control system, характеристики яких не залежатиме від часу):

Якщо - одинична імпульсна функція (функція), тоді згідно з Рівн.(1.2.5.8) ми отримуємо:



Потім використовуючи інтеграл згортки - Рівн.(1.3.1.4) ми маємо:



(1.4.2.10)

Нагадую Вам, що вагова функція будь-якої САУ дозволяє визначити реакцію цієї САУ на початкові умови і форму перехідної характеристики.

Таким чином, ми отримуємо:

(1.4.2.11)


  1. Аперіодична ланка 2-го порядку.

Передаточна функція:

(1.4.2.12)

(1.4.2.13)

; (1.4.2.14)

Перехідна характеристика:



(1.4.2.15)

Вагова функція:



(1.4.2.16)

Приклади:



  1. мотор постійного струму;

  2. RL і RC контури.

Частотна передаточна функція:

(1.4.2.17)

Амплітудно-частотна характеристика:



(1.4.2.18)

Фазово-частотна характеристика:



(1.4.2.19)

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика будується згідно з наступним виразом:



(1.4.2.20)

t

0
Мал.7. Перехідна характеристика (step response) і функція ваги (impulse response) для аперіодичної ланки 2-го порядку.

-20
-40





Мал.8. АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ і ЛФЧХ для аперіодичної ланки 2-го порядку.
Побудова асимптотичної ЛАЧХ:

1. Зліва від 1-ої частоти зрізу :



(1.4.2.21)

2. В межах діапазону частот :



(1.4.2.22)

У цьому випадку ми приблизно маємо пряму лінію з кутом нахилу -20dB/декаду.

3. Якщо :

(1.4.2.23)

У цьому випадку ми приблизно маємо пряму лінію з кутом нахилу -40dB/ декаду.

Дійсна ЛАЧХ відрізняється від асимптотичної у точках зламу на 3dB.
Ви в змозі побудувати перехідні характеристики для ланок 2-го порядку з урахуванням різних значень коефіцієнта демпфірування (0.2;0.5;1;2) використовуючи наступну програму Matlab:

zeta=[0.2 0.5 1 2]

for k=1:4

G=tf([1],[1 2*zeta(k) 1]);

step(G)

hold on


end

hold off



  1. В. Коливальна ланка.

Вагова функція:

(1.4.2.11)
Мал.9. Вагова функція коливальної ланки.

Частотна передаточна характеристика:



(1.4.2.24)

-1800


ω

00




Мал.10. АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ і ЛФЧХ для коливальної ланки.
Амплітудно-частотна характеристика:

(1.4.2.25)

Фазово-частотна характеристика:



(1.4.2.26)

Приклади:



  1. RLC-контури;

  2. мотор постійного струму;

  3. електромеханічні гіроскопічні прилади.

Необхідно відзначити, що максимум АЧХ -:

(1.4.2.27)

Максимум АЧХ отримується при наступній частоті:



(1.4.2.28)

ЛАЧХ можна збудувати згідно з наступним виразом:



(1.4.2.29)

Але будуючи асимптотичні логарифмічні характеристики ми повинні врахувати резонансні характеристики цієї ланки.

1. ми повинні відокремити постійний множник :

(1.4.2.30)

Побудова 1 складового Рівн.(1.4.2.30) є дуже легкою процедурою.

Другу складову Рівн.(1.4.2.30) можна збудувати як функцію відносної частоти для різних значень коефіцієнту демпфірування у вигляді нормалізованих кривих ліній (див.Мал.11).

2. Для визначення дійсного значення ЛАЧХ необхідно обрати її нормалізоване значення, яке відповідає встановленому коефіцієнту демпфірування , потім підняти її паралельно самої собі на і на частотній осі перейти від відносної частоти до дійсної частоти.

ЛФЧХ побудована згідно з виразом:

(1.4.2.31)
Таким чином, для побудови ЛАЧХ можна використати 2 асимптоти з кутами нахилу 0 (20lgK) і (-40db/декаду), причому пряма лінія з кутом нахилу (-40db/декаду) починається при значенні частоти і доданням виправлення, яке пов”язане з резонансними характеристиками ланки згідно з Мал.11.



Мал.11. Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика ланок 2-го порядку в залежності від коефіцієнту демпфірування (Y-вісь у dB; Х-вісь відносна шкала частот - ).



Мал.12. Логарифмічна фазово-частотна характеристика ланок 2-го порядку в залежності від коефіцієнту демпфірування (Y-вісь кут у градусах; Х-вісь відносна шкала частот - ).
С. Консервативна ланка.
Консервативна ланка є особливим (ідеалізованим) випадком коливальної ланки, коли коефіцієнт демпфірування .

Передаточна функція:



(1.4.2.32)

У цьому випадку ми ігноруємо втрати енергії у ланці.

Часові характеристики відповідають безперервним коливанням з круговою частотою
Мал.13. Перехідна характеристика і вагова функція консервативної ланки (step response, impulse response).

Перехідна характеристика:



(1.4.2.33)

Вагова функція:



(1.4.2.34)

Частотна передаточна функція:



(1.4.2.35)

Амплітудно-частотна характеристика:



(1.4.2.36)

Фазово-частотна характеристика:



(1.4.2.37)


Мал.14. АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ і ЛФЧХ для консервативної ланки.
1.4.3. Ланка, що інтегрує.
А. Ідеальна ланка, що інтегрує.

Ця ланка є ідеальною інтегруючою ланкою, яка широко застосовується в різних САУ:



  1. інтегруючій операційний підсилювач;

  2. гідравлічний пристрій, який гасить коливання;

  3. інтегруючій гіроскоп.

Рівняння руху ідеальної ланки:



(1.4.3.1)

Передаточна функція:



(1.4.3.2)

0

ω


Мал.15. Перехідна характеристика, вагова функція, АФЧХ, ФЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ ідеальної ланки, що інтегрує.

Перехідна характеристика:

(1.4.3.3)

Вагова функція:



(1.4.3.4)

Частотна передаточна функція:



(1.4.3.5)



ЛАЧХ будується згідно з виразом:



;

ЛАЧХ – пряма лінія з кутом нахилу -20dB/декаду. Точка перетину відповідає частоті зрізу .

ЛФЧХ – пряма лінія , яка паралельна осі частот.
B. Ланка, що інтегрує із затримкою.
Рівняння руху:

(1.4.3.6)

Передаточна функція:



(1.4.3.7)

Приклади:



  1. мотор постійного струму (вихідна величина – кут обертання, який є інтегралом кутової швидкості);

  2. амортизатор;

  3. сервомотор.

Ми можемо представити передаточну функцію цієї ланки у наступному вигляді:

(1.4.3.8)

Перехідна характеристика:



(1.4.3.9)

Вагова функція:



(1.4.3.10)

Частотна передаточна функція:



(1.4.3.11)

ω


Мал.16. Перехідна характеристика, вагова функція, АФЧХ, ФЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ ланка, що інтегрує із затримкою.

ЛАЧХ:


(1.4.3.12)

Ми маємо 2 прями лінії з негативним кутом нахилу:

-20 dB/декаду (якщо );

-40 dB/декаду (якщо ).

Властивості вказаних ланок широко застосовуються для поліпшення характеристик САУ.
1.4.4. Ланки, що диференціюють.


  1. Ідеальна ланка, що диференціює.

Рівняння руху:

(1.4.4.1)

Передаточна функція:



(1.4.4.2)

Перехідна характеристика:



(1.4.4.3)

Вагова функція:



(1.4.4.4)

Приклади:



  1. тахогенератор постійного струму;

  2. операційний підсилювач, що диференціює.

Частотна передаточна функція:

(1.4.4.5)

;

ω
ω

Мал.17. Перехідна характеристика, вагова функція, АФЧХ, ФЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ ідеальної ланки, що диференціює.


  1. Ланка, що диференціює, із затримкою.

Рівняння руху:

(1.4.4.6)

Передаточна функція:



(1.4.4.7)

Ми в змозі представити умовно цю ланку як послідовне з”єднання ідеальної ланки, що диференціює і аперіодичної ланки 1-го порядку.

Приклади:


  1. операційній підсилювач, що диференціює;

  2. RC контур;

  3. RL контур;

  4. гідравлічний амортизатор із пружиною.



ω
20lgk
Мал.18. Перехідна характеристика, вагова функція, АФЧХ, ФЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ ланки, що диференціює, із затримкою.

Перехідна характеристика:



(1.4.4.8)

Вагова функція:



(1.4.4.9)

Частотна передаточна функція:



(1.4.4.10)

ЛАЧХ:


(1.4.4.11)

Асимптотична ЛАЧХ можна побудувати використовуючи 2 прями лінії:



  1. лінія з кутом нахилу +20dB/декаду при ;

  2. лінія, яка паралельна осі X при .

  1. Висновки:

  2. Передаточній коефіцієнт наближається до значення при ;

  3. Фазовий зсув, який утворюється цією ланкою, має макс. значення у діапазоні низьких частот; у діапазоні високих частот він наближується до 0 при ;

  4. Властивості цієї ланки подібні характеристикам ідеальної ланки, що диференціює у діапазоні низьких частот.


1.4.5. Інші типи динамічних ланок.


  1. Ланка затримки.

Ми відносимо до ланок, що затримують, ти, які можна описати за допомогою лінійних рівнянь у часткових похідних – це систем із розподіленими параметрами, наприклад, довгі електричні лінії. Вихідна величина таких ланок відтворює вхідну величину із часовою затримкою.

(1.4.5.1)

Мал.19.Характеристики ланки із затримкою.

Використовуючи розкладення у ряд Тейлора за ступенями , ми в змозі отримати наступний вираз для передаточної функції цієї ланки:



(1.4.5.2)

Якщо порівняти Рівн.(1.4.5.2) з відомим рядом:



;

Тоді ми в змозі отримати наступний вираз:



(1.4.5.3)

(1.4.5.4)

АФЧХ цієї ланки – окружність з одиничним радіусом на початку координат (див. Мал.20).


Мал.20. Gain-phase frequency characteristic of delaying link.
АЧХ не залежатиме від частоти і дорівнює:

(1.4.5.5)

ФЧХ:


(1.4.5.6)


  1. Мінімально-фазові і немінімально-фазові ланки.

Ви вивчали стійкі і нестійкі ланки. Нестійкі ланки – ти ланки, мають необмежений вихідний сигнал після подачі на її вхід вхідного впливу (наприклад, одиничної ступеневої функції). Таки ланки мають передаточні функції із полюсами у правій частині S-площини.

Наприклад, нестійка ланка 1-го порядку:

(1.4.5.7)

має полюс у правій частині S-площини, а її перехідна характеристика є експонента, яка необмежено зростає.

Якщо порівняти АЧХ і ФЧХ стійкої і нестійкої ланок 1-го порядку, ми бачимо, що їх АЧХ не відрізняються друг від друга, а ФЧХ нестійкої ланки має більший фазовий зсув .

;


Мінімально-фазові ланки мають передаточні функції, нулі і полюси яких (включаючи і нульовий полюс) розташовані у лівій напівплощині комплексної S- площини.

У цьому випадку фазова характеристика цієї ланки матиме однозначну відповідність до амплітуди, тобто якщо її ЛАЧХ змінюється на , тоді її фазова характеристика наближується до , а якщо її ЛАЧХ змінюється на , тоді її фазова характеристика наближується до . Ми можемо віднести до мінімально-фазових ланок такі:



.
Якщо нулі і полюси передаточних функцій ланок розташовані у правій напівплощині комплексної S- площини, тоді такі ланки називаються немінімально-фазовими ланками.

До таких ланок відносяться наступні:




Всі трансцендентні ланки є також немінімально-фазовими.



База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка