Лекція тема Основи системного аналізу Заняття 1 Цільова функція складної системи план лекції вступ



Скачати 130.11 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір130.11 Kb.
НАУ УКРАЇНИ

Кафедра Систем управления



ЛЕКЦІЯ




Тема 6. Основи системного аналізу

Заняття 1,2. Цільова функція складної системи

ПЛАН ЛЕКЦІЇ
Вступ

  1. Формування цільової функції складної системи.

  2. Методика об’єднання окремих цільових функцій підсистем у цільову функцію складної системи

Заключення.
ЛІТЕРАТУРА:


  1. Черкашин Г.Н., Маслов Е.П., Писаренко В.Ф. Основы построения систем вооружения войсковой ПВО. Методы военно-научных исследований вооружения ПВО. К.: изд. Академии, 1984. – 64с.

  2. Денисов А.А., Колесников Д.Н.Теория больших систем управления. Учебное пособие – Ленинград: Энергиздат., 1982. – 288 с.

  3. Конспект лекції.


ВСТУП

Одним з головних напрямків розвитку суспільства є удосконалення різних видів цілеспрямованої діяльності. Звичайно та чи інша мета може бути досягнута різними шляхами, але завжди бажано знати кращий з них, так як в реальних умовах доводиться рахуватися з обмеженістю матеріальних ресурсів і часу, які витрачаються на досягнення мети. Поняття “кращий” відносне, воно починає дещо визначати тоді, коли призначений показник або критерій якості рішень, що приймаються (наприклад, “план А краще плану В з точки зору розмірів прибутку підприємства” або “система управління А краще системи В в розумінні бистродії” і т.ін.).

Роль критерію якості цим не вичерпується; як правило, має інтерес його кількісна оцінка. Якщо вона існує, з’являється можливість побудувати математичну модель системи, яка вивчається, або операції і визначити тим самим характер зв’язку прийнятого критерію з параметрами досліджуваних об’єктів. В математичній моделі критерій якості виступає у своїй головній ролі – формально подаючи мету, до якої прагне людина або система, що керує ним. Відшукання сукупності умов, які забезпечують досягнення екстремальних значень критерію, означає по суті вибір того “найкращого” шляху, про який говорилося вище. Характеристику (узагальнену), яка дозволяє визначити кращий варіант побудови або поліпшення характеристик системи, називають цільовою функцією.


  1. ФОРМУВАННЯ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ СКЛАДНОЇ СИСТЕМИ

Під рішенням задачі оптимального синтезу (дослідження) складної системи будемо розуміти процес вибору параметрів системи “” таких, що належать припустимій області G і забезпечують оптимальне значення деякої узагальненої характеристики системи (об’єкту) (). Цю характеристику, яка дозволяє визначити найкращий варіант побудови або поліпшення характеристик системи, як вже було сказано, називають цільовою функцією.

При синтезі системи вона виступає в якості критерію оптимальності. Залежно від мети синтезу необхідно одержати або максимум, або мінімум цієї величини на припустимій множині (максимальна швидкодія, максимальний рівень відверненого збитку, мінімальний промах тощо).

Проте, для технічних систем, функціональне призначення яких визначено, можна говорити про функціональну ефективність, оцінюючи її за допомогою цільової функції.

Цільова функція – це математично виражений результат дії системи.

Мета пізнання складної системи математично формулюється через цільову функцію системи. Правильний вибір і формування цільової функції є однією з основних умов успішного дослідження складної системи. Неправильно сформована функція призводить до утруднень або навіть зриву рішення задачі системою.

Проблема вибору цільової функції полягає у встановленні ознаки (або сукупності ознак), по якій визначається перевага варіанту системи. Наприклад, при оцінки дії системи ППО можуть застосовуватися такі критерії: математичне очікування числа збитих літаків, критерій відверненого збитку й інші. Тобто при порівнянні варіантів систем необхідно оперувати декількома показниками, які характеризують різні властивості і виражені частковими ЦФ Фк(), к= , тому може формуватися векторна ЦФ .

Тому виникає задача формування цільової функції по сукупності ознак, тобто з’являється проблема багатокритеріальності. При порівнянні варіантів систем, дій необхідно оперувати декількома показниками, що характеризують різноманітні властивості, особливості, ознаки системи. Ця проблема є найбільш загальною в теорії складних систем.

Для правильного формування цільової функції необхідно оцінити вимоги, яким вона повинна відповідати (рис. 1).


  1. Цільова функція повинна формуватися з урахуванням вимог теорії пізнання. Вона повинна бути об’єктивною, відносною, конкретною. Формулювання цільової функції повинно відповідати істині, яку повинен пізнати дослідник. Треба, щоб вона мала ясний фізичний зміст і об’єктивно відображувала процес функціонування системи.

  2. Цільова функція повинна бути представницькою на всіх рівнях ієрархії системи, тобто відтворювати фізичний зміст системи, й у той самий час має бути прийнята за цільову функцію на будь-якому рівні ієрархії.

  3. Цільова функція повинна бути критичною (чутливою) до структури і параметрів (підсистем) будь-якого рівня ієрархії в необхідному обсязі. Вона повинна бути виражена через такі узагальнені параметри системи, що є чутливим до будь-яких параметрів складових підсистем (для систем ППО: ракета, РЛС, людина тощо). Вона повинна вибиратися з урахуванням великої кількості факторів, пов’язаних між собою. Це визначає проблему багатомірності задач дослідження ССО.

  4. Цільова функція повинна враховувати розмір мети системи і витрати на її досягнення; повинна відбивати зв’язок витрат з експлуатаційно-технічними характеристиками системи.

  5. Цільова функція для більшості складних систем озброєння повинна врахувати тривалість процесу функціонування (тривалість операції, тривалість збереження тощо).

Отже, цільова функція системи озброєння повинна базуватися на тріаді функцій: „ефективність U() –вартість G() – час ()” і вимагати ряд дисциплінуючих умов.

  1. Цільова функція для багатьох систем повинна враховувати випадковий характер процесів, які представляють поведінку даної системи.

Формування цільової функції є однією з центральних задач системного дослідження, тому що від її властивостей залежить існування, одиничність і характеристичні властивості рішення.

При реалізації цих вимог у процесі вибору і формування цільової функції доводиться вирішувати специфічні задачі (рис. 2).



  1. Встановлення коректного жорсткого формалізованого взаємозв’язку між метою даної системи і потрібними ресурсами для її забезпечення. Наприклад, установлення взаємозв’язку між ефективністю системи озброєння і вартістю досягнення її заданого рівня.

  2. Пошук таких формульних виражень цільової функції, які з однаковою достовірністю дозволили б проводити оцінку якості складної системи озброєння в цілому і її підсистем на всіх рівнях ієрархії й етапах життєвого циклу. Доцільно що залежність визначати через статистичні характеристики, найбільше характерно для роботи складних систем озброєння.

  3. Для забезпечення існування й одиничності оптимального рішення при синтезі необхідно відшукати таку форму запису цільової функції, яка дозволила б проводити дослідження на одержання її глобального екстремуму.

При формуванні цільової функції необхідно розглядати роботу системи з різноманітних позицій – проаналізувати різноманітні зрізи складної системи.

У загальному випадку в складних системах доцільно розглядати три групи зрізів: критеріальні, структурно-параметричні і функціональні, що залишаються на єдиний основний цільовий зріз (рис. 3).

Критеріальні зрізи подані критеріями оцінки функціонування системи, найбільш часто уживаними при дослідженні складних систем для формування цільової функції.

Структурно - параметричні дозволяють описати структуру і досліджувані параметри системи через основні кількісні характеристики і функціональні залежності, пов’язані з цільовою функцією.

Функціональні зрізи подають функціонування найбільш важливих складових частин складної системи в аналізованому зрізі при проведенні горизонтальної декомпозиції.

У таблиці 1 подана досить повна характеристика найчастіше використовуваних зрізів складних систем.

Вибір відповідного зрізу залежить від мети дослідження. Розглянуте подання складних систем шляхом утворення різноманітних зрізів дає загальну методологію формування функції цілі, утворену в результаті проведення цільового зрізу.

У реальних системах звичайно формується єдина цільова функція. Про те залежно від мети дослідження системи цільова функція може деформуватися в напрямку різноманітних зрізів.

Наприклад, при дослідженні й оптимізації ергономічних характеристик системи і її цільової функції найбільш повно представляються характеристики координуючих і керуючих функцій людини, взаємозв’язки її з елементами системи при урахуванні творчої активності і реальної працездатності. Про важливість ергономічної оцінки говорять результати аналізу досвіду полігонних випробувань, який показав, що при протидії ППО точність бомбометання некерованими бомбами за рахунок психологічного ефекту знищується 1,5-2 рази.

Формування цільової функції здійснюється на трьох стадіях: логічній, структурній, параметричній.

Якщо математична модель відображує математичне формулювання цільової функції, то ці стадії збігаються з формуванням відповідно-логічної множини цілей системи, Gl , множини функціонально досяжних цілей системи, Gх , і множини оптимальних цілей системи, Gф .

Якщо математична модель будується на основі відображення фізичних процесів у системі, а цільова функція тільки необхідний результат функціонування системи, то формування математичної моделі не збігається з формуванням цільової функції, але зміст стадії формування цільової функції і методики їх виконання в основному аналогічне етапам формування множин G1 , G2 , Gф .



Методологічні основи формалізації цільової функції.

Цільова функція як критеріальна функція і функція дисциплінуючих умов (обмеження тощо) залежить від великого числа параметрів системи, її елементів. Ці параметри можна розбити на чотири групи: технічні, експлуатаційні, ергономічні й економічні. Одним із найбільш складних питань при визначенні цільової функції є кількість критеріїв, необхідних для рішення задачі оптимізації. Залежно від кількості критеріїв говорять про моно – або полікритеріальні задачі. При багатокритеріальній постановці в якості головної цільової функції вибирається одна з розглянутої вище тріади, а дві інші переводяться в розряд дисциплінуючих умов.

Частіше за все у якості цільової функції при дослідженні систем озброєння приймають ефективність, і задача зводиться до оптимізації параметрів і структури складної системи. За цільову функцію приймають критерій ефективності і математично задача формується в такому вигляді:
U  max, C  Cmp,   mp (1)

У виробничіх системах на перше місце в якості цільової функції часто висувається час. Математична модель такої задачі має вигляд:

  min, U  Ump, C  Cmp (2)

У багатьох випадках, особливо при розгляді питань матеріально-технічного забезпечення, першорядне значення має задача оптимізації розподілу ресурсів. Вона має вигляд:

C  min, U  Ump,   mp (3)

Тут Ump , Cmp , mp задані граничні значення U , C ,  ефективності, ресурсів і часу. Вирази (1), (2), (3) додатково містять обмеження.

До монокритеріальної постановки задачі також належить застосування дробової цільової функції у вигляді відношення (питомий ефект):
. (4)

або у вигляді оберненого відношення (питома вартість):


. (5)

Врахування декількох ЦФ деколи здійснюється шляхом використання складових адитивних і мультиплікативних цільових функцій



(6)

де - складові ЦФ;



- локальні ЦФ;

іі – коефіцієнти значимості „вагові” і еластичності часткової ЦФ в узагальненій ЦФ;

і – порядковий номер ЦФ.

Таке формулювання цільової функції системи особливого наукового змісту не має, тому що мінімум витрат це нуль, а з нульовими витратами домогтися якоїсь ефективності системи не можна. Проте ці співвідношення правильно відбивають інтереси функціонування систем. Для того, щоб звести таку задачу до стандартної задачі оптимізації, необхідно сформулювати додаткові гіпотези (обмеження), які не випливають із постановки задачі.

Наприклад, у якості цільової функції при дослідженні варіантів зенітно-ракетних комплексів іноді застосовують так званий показник тактико-техніко-економічного аналізу, у якості якого приймається критерій вартості витрачених засобів, що припадають одну уражену ціль в умовах нальоту ЗПН:
, (7)

де М – математичне очікування числа уражених цілей із нальоту ЗОН за час нальоту Тн;

nj – кількість знищених (уражених) зенітно-ракетних комплексів (або його елементів) j-го типу, вартість яких Сj;

mр – кількість витрачених і знищених ЗУК;

ср – вартість однієї ЗУР.

Таке подання цільової функції дозволяє у певній мірі провести комплексний аналіз і визначити оптимальні параметри складної системи озброєння в цілому. Стосовно вибору цільової функції системи можна дати деякі рекомендації:



  1. Обрана цільова функція повинна об’єктивно характеризувати ступінь виконання системою поставленої перед нею конкретної задачі. Отже, формувати цільову функцію треба з глобальним екстремумом. Необхідною умовою існування глобального екстремуму є тотожна рівність нулю повного диференціала dФ  0 або існування екстремумів по кожному з істотних параметрів, що утворюють цільову функцію:

(8)

  1. Цільова функція повинна мати ясний і однозначний фізичний зміст. Відсутність фізичного змісту призводить до неможливості проведення грамотної оптимізації.

  2. Цільова функція повинна бути чутливою і критичною до тих параметрів і характеристик, які необхідно оптимізувати. Звичайно вона не буває простою для обчислення.

  3. Кожна проблема має свою кращу цільову функцію.

  4. Обрана цільова функція повинна бути пов’язана з цільовими функціями системи на наступних рівнях ієрархії.

  5. Систему можна порівнювати за декількома цільовими функціями і відносно до них вибирати її характеристики. Проте це виявляється надзвичайно незручним для оптимізації, тому ставиться задача об’єднання часткових критеріїв у єдиний.

Треба пам’ятати, що недоліком багатокритеріального підходу до рішення задачі є складність і, як наслідок, суб’єктивізм у виборі єдиного критерію. Перевага багатокритеріального підходу полягає в можливості використання багатого арсеналу методів теорії прийняття рішень і математичного програмування. Це також робить важливим задачу формування єдиної цільової функції системи.

  1. МЕТОДИКА ОБ’ЄДНАННЯ ОКРЕМИХ ЦІЛЬОВИХ ФУНКЦІЙ ПІДСИСТЕМ У ЦІЛЬОВУ ФУНКЦІЮ СКЛАДНОЇ СИСТЕМИ

Послідовність етапів формування ЦФ слідуючи:

  1. Визначення множини цільових функцій.

  2. Формалізація ЦФ (структурна і параметрична).

  3. Скорочення множини ЦФ.

  4. Постановка задачі багатокритеріальної оптимізації і, по можливості, об’єднання часткових ЦФ у ЦФ складної системи.

Питання визначення множини ЦФ і їх формалізація розглянуті нами в першій частині лекції.

Скорочення множини цільових функцій може бути здійснено: методом послідовного аналізу, методом гілок і границь і на основі принципу Парето. Множина ЦФ створює деревоподібний граф. Метод послідовного аналізу використовується для побудови найкоротшого маршруту шляхом відсівання (відкидання) безперспективних дуг графу у процесі їх послідовної побудови, для чого вводиться показник переваги послідовності виконання задач за частковими ЦФ, за якими визначається перспективність гілки графу. Будується загальний граф цільових функцій системи, який складається з множини часткових графів, що приводять до загального розв’язання задачі. Оцінюються найбільш підходящі варіанти складаючи графів і вибирається оптимальний варіант загального графу ЦФ системи [ ]. Скорочення множини ЦФ може бути ефективно здійснюватись за допомогою методу гілок і границь. Така задача пошуку найкоротшого шляху і алгоритму її рішення наведені в [ ].

Загальний підхід до розв’язання задачі скорочення множини ЦФ на основі принципу Парето заключається в наступному. Нехай система досліджується при n ЦФ . Визначимо дві вибірки параметрів , при чому для всіх ЦФ мають місце нерівності

(8)

і хоча б одне з них строге.

Очевидно, що вибір має перевагу над . Тому всі вектори, що задовольняють (8), треба відразу виключити з розгляду. Є сенс займатися співставленням тільки таких , для яких не існує такого , що для всіх критеріїв задовольняється (8), але хоча б для одного k з n має місце нерівність .

Множину усіх таких значень називають множиною Парето. Воно створено параметрами, зміна яких не може призвести до одночасного поліпшення усіх ЦФ. На жаль оптимальне за Парето рішення не єдине і виникає задача вибору одного з них. В теорії прийняття рішень під принципом Парето розуміють: у якості рішення, але дозволяє звузити множину альтернатив. Рекомендації щодо побудови множини Парето наведені в [ ].

При наявності багатьох ЦФ , за якими здійснюється синтез системи, практично неможливо за допомогою одного набору параметрів забезпечити оптимальне значення усіх критеріїв. Для виключення неоднозначності рішення задачі векторної оптимізації переходять до формування спеціально сконструйованої скалярної ЦФ .

Процес створення скалярної ЦФ, що є узагальненою ЦФ для задачи багатокритеріальної оптимізації називають об’єднанням (звертанням) векторного критерію оптимальності.

Методи об’єднання відрізняють за наявністю інформації щодо важливості часткових цільових функцій (коефіцієнти і і хі в (6)). Найбільш проста узагальнена ЦФ подається виразом (6) при умові . При використанні поняття втрат за кожною цільовою функцією , де - оптимальна величина , скалярна ЦФ має вигляд

.

Більш детально скалярні методи об’єднання наведені в [ ].

При розгляді питань дослідження систем озброєння частіше всього зустрічаються імовірнісні математичні моделі.

Це пояснюється тим, що частина управляючих змінних і зовнішніх факторів є випадковими. Облік випадкових факторів повинен бути здійсненим при формуванні ЦФ і обмежень.

В залежності від наявності інформації про закон розподілення випадкової величини вибирають метод згортки. Наприклад, при відомих законах розподілення в якості ЦФ можна використовувати математичне очікування випадкової величини.

, де - випадкова величина.
ЗАКЛЮЧЕННЯ

Таким чином, показано, що при розв’язанні задач оптимального синтезу складних систем важливе значення має процес вибору, формування цільових функцій окремих підсистем та обґрунтоване об’єднання їх в єдину цільову функцію складної системи. Оволодіння викладеними методами та прийомами формування цільової функції складної системи, що синтезується, дозволить управлінцю в сучасних умовах адекватно оцінювати ситуацію, що склалася і творчо, науково обґрунтовано підходити до вирішення складних управлінських завдань.



Доцент Ситнік О.Г.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка