Лекція показникові та логарифмічні рівняння



Скачати 240.06 Kb.
Дата конвертації30.12.2016
Розмір240.06 Kb.
ЛЕКЦІЯ


ПОКАЗНИКОВІ
ТА ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ


Відомості із вищої математики. Для наближеного обчислення показникової і логарифмічної функцій можна використати такі розклади

,

Збіжність послідовності також маємо, якщо





Показникову функцію можна розкласти в ряд:



Збіжність ряду можна поліпшити, узявши



Значення логарифмів можна знайти з таких розкладів:





Узявши , дістанемо такий розклад:



Ці розклади можна використовувати в разі комплексних значень аргументів. В подальшому припускаємо, що всі аргументи і функції є дійсними.



8.1. Показникова функція

Наведемо деякі основні властивості показникової функції

1. . 5. .

2. . 6. .

3. . 7. .

4. .

Якщо , показникова функція зростає при всіх значеннях х; якщо , ця функція спадає при всіх значеннях х (див. рисунок).

8.2. Логарифмічна функція

Логарифмічна функція це функція, обернена до показникової функції

Якщо , логарифмічна функція зростає при ; якщо , логарифмічна функція спадає при (див. рисунок).


Логарифмом числа b при основі а називається степінь, до якого потрібно піднести основу а, щоб дістати число b:

Звичайно вважають, що

Основна логарифмічна тотожність:

Наведемо деякі властивості логарифмів.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. Формула переходу до нової основи :

.

8. .

9. .

10.

11. .

12. .

Доведення формул (8—11) випливає з формули (7).

8.3. Приклади перетворень
логарифмічних виразів

Обчислити значення виразів (112).



1.

  • .

2.

  • .

3.

  • .

4. .



5.

  • .

6. .

  • .

7. .

  • Позначимо , тоді ,

.

Остаточно маємо:





8.

  • Позначивши , дістанемо:

.

Остаточно маємо:



.

9.

  • .

10.

  • .

11.



12.



13. Знайти , якщо .

  • .

14. Дано: . Знайти .



15. Знайти , якщо .

  • Переходимо до основи х:

;

.

8.4. Способи розв’язання логарифмічних рівнянь

1. Перехід до спільної основи. Якщо в рівнянні маємо логарифми з різними основами, то переходимо до спільної основи.
Приклад. Розв’язати рівняння .

  • ,


Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Переходимо до основи 5: Позна­чивши дістанемо звідки

.

2. Потенціювання. Якщо під знак логарифма входить сума або різниця, то рівняння потенціюють. Розв’язок неодмінно перевіряють.
Приклад. .

  • Перейдемо до основи 2: .

Далі виконуємо потенціювання: .

Корінь не задовольняє рівняння.


Приклад. Розв’язати рівняння

  • За умовою маємо: звідки .

Корінь не задовольняє рівняння.

3. Логарифмування. Якщо в показник при невідомому входять логарифми невідомого, то звичайно обидві частини рівняння логарифмують.
Приклад. Розв’язати рівняння

  • , .

Логарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10: .

4. Метод заміни змінної. Логарифмічне рівняння зводиться до алгебраїчного рівняння.
Приклад. Розв’язати рівняння .

Позначимо


Приклад. Розв’язати рівняння

  • Позначимо . Тоді



5. Розклад на множники. Рівняння подається у вигляді і кожний множник прирівнюється до нуля.
Приклад. Розв’язати рівняння





Далі маємо:
Приклад. Розв’язати рівняння

.

  • Позначивши , дістанемо рівняння , або , звідки маємо Прирівнюємо до нуля кожний множник:

1)

2)

Корінь не задовольняє рівняння.

6. Графічний спосіб розвязування. Рівняння записують у вигляді . Далі будують графіки функцій і відшукують точки їх перетину, які визначають розв’язок рівняння.
Приклад. Розв’язати графічно рівняння .


  • Графіки функцій перетинаються в точці . Маємо розв’язок .

Розв’язуючи логарифмічні рівняння здебільшого застосовують кілька способів їх перетворення.
Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Переходимо до основи 3:

.

Потенціюємо рівняння:



;

; .

Логарифмуємо рівняння за основою 3:




Приклад. Розв’язати рівняння

.

  • Розглядаємо два випадки:

1) , тоді рівняння перетворюється на тотожність

звідки ;

2) , тоді .

Потенціюємо рівняння:



8.5. Способи розв’язування
показникових рівнянь


1. Прирівнювання показників
при однаковій основі

Із рівності випливає .


Приклад. Розв’язати рівняння .

Далі маємо: .
Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Прирівнюємо показники при основі 5:

, або Позначивши дістанемо:

.

Корінь не задовольняє рівняння.



2. Логарифмування рівняння

Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Логарифмуємо обидві частини рівняння при основі 3:

,

.

Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Оскільки , то можна логарифмувати рівняння.

.

3. Метод заміни змінної

Приклад. Розв’язати рівняння

  • Позначивши , дістанемо:

;

.
Приклад. Розв’язати рівняння

  • Позначивши , дістанемо ;


Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Позначивши дістанемо: ; .

4. Однорідні рівняння

Рівняння можна переписати у вигляді



.

Виконавши заміну, , дістанемо рівняння .


Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Перепишемо рівняння у вигляді: Виконавши заміну дістанемо , звідки .


Приклад. Розв’язати рівняння





х ≈ 1,18681439.
Приклад. Розв’язати рівняння

  • Запишемо рівняння у вигляді:

Позначивши , дістанемо:



.

5. Розклад рівняння
на множники

Рівняння намагаємося подати у вигляді і прирівнюємо до нуля кожний множник.


Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Узявши , розкладемо рівняння на множники: . Далі маємо: ; . Роз­в’язавши останнє рівняння графічно, знаходимо корінь .


Приклад. Розв’язати рівняння

.

  • Узявши , згрупуємо члени з множниками :

.

Прирівняємо кожний множник до нуля:

1) 2) , ;

. Корінь не задовольняє рівняння.

8.6. Показниково-степеневі рівняння

Розглядається рівняння



.

Наведемо частинні випадки цього рівняння.

1) , функція існує.

2) , функції існують.

3) , , .

4) , а — цілі числа одинакової парності.



Приклад. Розв’язати рівняння .

  • 1.  .

2. .

3. . Підставляючи в рівняння, дістаємо . Оскільки вираз не має сенсу, то корінь не задовольняє рівняння.

4. .
Приклад. Розв’язати рівняння .


  • 1. .

2. .

3. — не задовольняє рівняння.

4. .

Деякі рівняння можна розглядати і як показникові, і як логарифмічні.


Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Потенціюємо обидві частини рівняння:

Позначивши , дістанемо:

.
Приклад. Розв’язати рівняння .

  • Переходимо до основи 3: .

Позначивши дістанемо звідки

Повертаючись до початкових позначень, маємо:

1)

2) .


Приклад. Розв’язати рівняння .





8.7. Системи показникових і логарифмічних рівнянь

Під час розв’язування систем показникових і логарифмічних рівнянь поєднують прийоми, застосовувані під час розв’язування відповідних рівнянь і систем алгебраїчних рівнянь.


Приклад. Розв’язати систему рівнянь .

  • Позначивши , дістанемо:



.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь

  • Логарифмуючи обидва рівняння при основі 2, дістаємо систе­му лінійних рівнянь

з очевидним розв’язком .


Приклад. Розв’язати систему рівнянь .

  • Виключаючи , приходимо до одного рівняння:


Приклад. Розв’язати систему рівнянь .

  • Поділивши перше рівняння на друге, дістанемо:

.
Приклад. Розв’язати систему рівнянь .

  • Запишемо систему рівнянь у вигляді:

, або , звідки
Приклад. Розв’язати систему рівнянь .

  • Подамо систему у вигляді ;

Другий розв’язок не задовольняє рівняння.


Приклад. Розв’язати систему рівнянь .

Приклад. Розв’язати систему рівнянь .

  • З першого рівняння знаходимо: . Позначивши , дістанемо:

.

Друге значення не задовольняє умову .

Остаточно маємо: .

1. Графіки показникових і логарифмічних функцій.

2. Знайти границі: .

3. Властивості показникових функцій.

4. Властивості логарифмів.

5. Способи розв’язування логарифмічних рівнянь.

6. Способи розв’язування показових рівнянь.

Обчислити значення виразів (110). Відповідь



1. 10

2. 1

3. 4

4. 0

5. 0

6. , якщо

7. 169

8. 0

9. 16

10. 81

  1. Розвязати рівняння (11—33).


11. 0

12. 3

13. –1; 1

14. 37

15.

16.

17. 1; 2

18.

19.

20. 20

21.

22.

23. 9

24. 9

25. –0,5

26. 0

27.

28.

29. 2

30.

31.

32.

33. –1; 3
  1. Розвязати систему рівнянь (34—43).


34. . (1; 2), (16; – 28)

35. . (5; 1), (5; – 1)

36. . 3; 27

37. . 4; 2

38. .

39. . 1; 1

40. . 8; 4

41. . 4; 1

42. .

43. . (27; 4),



Елементарна математика


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка