Лекція Математичний опис потоку однорідних подій



Скачати 223.14 Kb.
Дата конвертації05.05.2017
Розмір223.14 Kb.
Лекція 4. Математичний опис потоку однорідних подій.
2. Моделі, що використовують методи теорії масового обслуговування

2.1. Загальна характеристика систем масового обслуговування


При дослідженні багатьох практичних складних систем виникає необхідність у рішенні задач, які належать до таких, що вирішуються методами теорії масового обслуговування. Ці задачі зустрічаються найбільше часто при оцінці ефективності окремих комплексів і систем комплексів в цілому.

Черга вимог. Одною з основних характеристик СМО є її продуктивність або перепускна здатність. Ця характеристика визначає інтенсивність виконання процесу обслуговування вимог і ту їх кількість, яку здатна забезпечити СМО своїми послугами. Якщо вхідний потік вимог має підвищену інтенсивність, а СМО за своїми характеристиками не може забезпечити їх безупинне обслуговування, то на її вході виникає черга вимог, які очікують свого обслуговування. Черга вимог, яка може виникати у КМО, вміщується у його спеціальний структурний елемент – накопичувач. Накопичувач - це елемент КМО, який призначений для перебування певний час в ньому вимог, що очікують початку свого обслуговування. У накопичувачі вимоги очікують моментів звільнення якого-небудь з каналів для початку процесу свого обслуговування. У ряді КМО накопичувачі мають спеціальні назви (бункер, резервуар, запам'ятовуючий пристрій, тощо).

Вихідні потоки вимог. Потоки вимог, які залишають КМО, називаються вихідними потоками. Слід зазначити, що у КМО вихідні потоки можуть створюватися не тільки тими вимогами, які пройшли повний процес обслуговування (на рис.1 – потік ). Можуть існувати і інші причини, що змушують вимоги залишати КМО і створювати тим самим локальні вихідні потоки. Так можна навести приклади відсутності у магазині необхідного товару, зайнятості потрібного абонента у телефонній мережі, скасування вильоту рейсового літака, тощо. У загальному випадку серед вимог, які залишають КМО, можуть бути вимоги, не обслуговані зовсім („клієнт” не дочекався звільнення телефонної лінії), або обслуговані частково (пасажир пройшов реєстрацію у аеропорту, але відмовився від перельоту літаком, оскільки рейс затримали на невизначений термін).

Крім того, ці задачі зустрічаються при плануванні і дослідженні оптимальності систем матеріально-технічного забезпечення, експлуатації і ремонту систем літаків. Характерною рисою таких задач є наявність обслуговуючої системи, до якої у випадкові моменти часу надходять заявки. Обслуговуюча система має канали (лінії), які виконують сукупність операцій, що розуміється під словом “обслуговування” [22, 23]. У якості такого каналу обслуговування можна навести базу (цех) по ремонту літаків тощо



Послідовність подій будемо називати потоком. Потік, що складається з вимог на обслуговування, будемо називати потоком вимог. Потік вимог, що потребують обслуговування і надходять у систему, будемо називати вхідним потоком.

Теорія масового обслуговування, головною метою якої є розроблення математичних методів для пошуку основних характеристик масового обслуговування, оцінки якості функціонування обслуговуючої системи, у більшості випадків розглядає найпростіші потоки, коли імовірність надходження на обслуговування рівно “k” вимог в проміжок часу t задається формулою:





(2. 119)

де  − щільність потоку вимог в одиницю часу.

Формула (2. 119) виражає закон розподілу Пуассона. Тому часто найпростіший потік називають пуассонівським. З (2. 119) очевидно, що функція щільності f(z) випадкової величини ј при j>0 для найпростішого потоку має вигляд показового розподілу з параметром .



,

(2. 120)

де  − інтенсивність (щільність) потоку, яка для стаціонарних потоків з обмеженою післядією визначається виразом

,

(2. 121)

де µ − середня довжина інтервалу між послідовними заявками.

Як приклад стаціонарного потоку можна навести потік із рівномірним розподілом інтервалів часу між заявками. Функція щільності в цьому разі має вигляд:



.

(2. 122)

Оскільки математичне очікування величини дорівнює b/2, то щільність потоку, що задається функцією (2. 122), дорівнює

.

(2. 123)

Крім пуассонівських потоків розподілу в практиці дослідження систем масового обслуговування військ мають важливе значення потоки Ерланга.

Потоком Ерланга порядку називається ординарний стаціонарний потік з обмеженим наслідком, для якого



,

(2. 124)

де  m.

Легко показати, що інтервали ј при j > 1 потоку Ерланга порядку m представляються у вигляді суми m незалежних величин, що мають показовий розподіл із параметром .

Найпростіший потік задовольняє таким трьом основним вимогам.

1. Стаціонарність потоку, що означає, що для будь-якої групи з кінцевого числа відрізків часу , що не перетинаються, імовірність появи в них відповідно К1, ..., Кn вимог залежить тільки від цих чисел і довжин відрізків часу, але не залежить від їхнього розташування на осі часу, тобто імовірність появи К вимог в інтервалі часу (Т, Т+t) не залежить від Т і є функцією К і t.

2. Відсутність наслідку, яка полягає в тому, що імовірність надходження К вимог протягом (Т, Т+t) не залежить від того, скільки вимог і як вони надійшли до цього часу, тобто відсутність наслідку означає взаємну незалежність появи того або іншого числа вимог на пересічних відрізках часу.

3. Ординарність потоку вимог, що виражає практичну неможливість появи двох або декількох вимог у той самий момент часу,





(2. 125)

де n − довжина інтервалу часу;

− імовірність появи більш однієї вимоги.

Слід зазначити, що найпростіші потоки в теорії масового обслуговування і у практиці дослідження процесів функціонування складних систем грають дуже важливу роль і використовуються як математичні схеми для наближеного представлення реальних потоків, що зустрічаються в практичних задачах дослідження систем.

На практиці іноді зустрічаються і нестаціонарні потоки [22, 23], що являють собою пуассонівський потік із змінними параметрами. Проте сутність використання того або іншого потоку не має якогось істотного впливу на процес створення математичних моделей систем масового обслуговування.

Після ознайомлення із методами математичного опису потоків однорідних подій, можна перейти до формального представлення процесів функціонування самих систем масового обслуговування.

У загальному випадку гіпотетична система масового обслуговування може складатися з n - каналів, спроможних одночасно і незалежно друг від друга обслуговувати заявки (кожний канал спроможний незалежно “обслуговувати” літак, що з'явився у аеропорту). У будь-який момент часу канал знаходиться в одному із двох станів − вільний або зайнятий.

Припустимо, що в деякий момент часу в систему (комплекс) надходить заявка. Якщо в цей момент є вільні канали, то заявка (літак) приймається до обслуговування. У протилежному випадку заявка залишається в системі протягом деякого часу n (час, скажімо, перебування літака в зоні аеропорта) як претендент на обслуговування.

За час n заявка повинна бути прийнята до обслуговування, у протилежному випадку вона вважається загубленою (одержує відмову), а в нашому випадку ціль не досягнута.

Залежно від величини системи масового обслуговування діляться на три істотно різних класи, які мають свою специфіку як у побудові процесу, так і в математичному формулюванні віднесених до них задач.

1. Якщо n  , то заявка, що надійшла, у даний момент часу або негайно приймається до обслуговування, якщо є вільні канали, або отримує відмову, якщо всі канали зайняті. Такі системи масового обслуговування називаються системами з відмовою. Ці системи у військах ППО СВ реалізовані у вигляді систем ракетного або артилерійського забезпечення тощо

Для цих систем показниками якості звичайно є імовірність відмови, середнє число відмов за даний інтервал часу тощо (імовірність підготовки, доставки ЗКР і перезарядження пускових установок стрільбового каналу в ході відбиття нальоту).

Середня частка відмов R(t0, t)визначається як



(2. 126)

де − середнє число відмов за інтервал часу (t0, t0+t);

− середнє число заявок, що надходять на обслуговування протягом інтервалу часу (t0, t0+t). У випадку стаціонарного вхідного потоку розмір не залежить від t0 і дорівнює



(2. 127)

Для систем обслуговування з постійними параметрами і моментів часу достатньо віддалених від початку обслуговування, величина m(t0, t)також не залежить від t0 і може бути виражена співвідношенням

m = відмt,

(2. 128)

де відм − інтенсивність потоку відмов.

Тоді середня частка відмов R дорівнює постійній величині





(2. 129)

яка не залежить від тривалості інтервалу часу t. Величина (2. 140) має сенс імовірності відмови для заявки, що надійшла в систему в довільний момент часу.

2. Якщо  , заявки, що надходять, відмов не одержують, а очікують (якщо всі канали зайняті) у черзі до того моменту, коли вони будуть прийняті до обслуговування. Ці системи називаються системами з чеканням. Прикладом таких систем у військах можуть служити система ремонту озброєння, системи підготування ЗКР на технологічних потоках.

Показниками якості таких систем можуть бути середній час чекання заявки, середня довжина черги.

3. Якщо  n , заявка, що застала всі лінії зайнятими в момент надходження, очікує протягом n у черзі, а після закінчення цього часу одержує відмову. Такі системи називаються змішаними. Ці системи одержали найбільше поширення у військах. До них віднесені окремі комплекси, групи комплексів і система ППО СВ у цілому.

Якість обслуговування в цьому випадку оцінюється імовірнісними характеристиками як кількості відмов, так і часу чекання, а в більшості випадків більш складними показниками − математичним очікуванням числа збитих цілей, що враховує обидва ці моменти якості обслуговування, або відверненого збитку, що враховує стратегічний виграш у конкретному бої з урахуванням втрат бойового потенціалу засобів повітряного нападу і системи ППО військ.

Дуже важливо пам'ятати, що крім параметру n для характеристики властивостей обслуговування необхідно задати також 3 − час обслуговування однієї заявки (час обслуговування літака з моменту його виявлення і до ураження або часу ремонту СНР, ПУ, ЗКР тощо з моменту надходження до виходу з ремонтного органу) або, як його називають інакше, час зайнятості каналу.

Заявка, прийнята до обслуговування, займає один із каналів на час 3. Після закінчення цього часу канал звільняється і може приступити до обслуговування нової заявки.

Як правило, n і 3 вважаються випадковими величинами з заданими законами (або спільними законами) розподілу. Іноді припускають, що одна з них або обидві фіксовані.

Дуже важливо знати при дослідженні систем озброєння військ, як систем масового обслуговування, можливі найбільш поширені варіанти порядку зайняття каналів заявками, що надходять на обслуговування.

Найбільш часто на практиці використовуються такі правила.

1. При відсутності черги заявок:

канали займаються в порядку їхніх номерів. Канал із колишнім номером не може бути притягнутий до обслуговування, якщо заявка не обслугована каналом із меншим номером (системи ремонту, системи технологічної підготовки ЗКР до бойового використання);

канали займаються в порядку черги. Канал, що звільнився, надходить у чергу і не починає обслуговування заявок до використання всіх каналів, що звільнилися раніше (система контролю технічного стану ЗКР тощо);

канали займаються у випадковому порядку відповідно до заданих ймовірностей (наприклад, імовірність появи літака в зоні ураження даного ЗРК). Якщо в момент надходження чергової заявки є nсв − вільних каналів, то в найпростішому випадку імовірність зайняти деякий вільний канал може бути прийнята рівною



.

(2. 130)

У більш складних випадках імовірності Р1, ... ., Рn зайняти канал вважаються залежними від номерів каналів, моментів їхнього звільнення й інших параметрів (комплекси, групи комплексів, системи ППО СВ у цілому як системи масового обслуговування).

2. При наявності черги заявок (найбільш поширений випадок у військах ППО СВ):

заявки приймаються до обслуговування в порядку черги. Канал, що звільнився, приступає до обслуговування тієї заявки, яка у найкоротший час може одержати відмову (літак знаходиться ближче інших до рубежу перехоплення);

заявки приймаються до обслуговування по мінімальному часі одержання відмови. Канал, що звільнився, приступає до обслуговування тієї заявки, яка у найкоротший час може одержати відмову (скажемо, літак, що може найближчим часом вийти з зони);

заявки приймаються до обслуговування у випадковому порядку відповідно до заданих ймовірностей. Якщо в момент звільнення каналу у черзі є m заявок, то в найпростішому випадку імовірність вибрати для обслуговування деяку визначену заявку може дорівнювати q = 1/m. У більш складних випадках імовірності q1, ... qm вважаються залежними від часу перебування заявки в системі, часу, що залишається до одержання відмови й інших параметрів.

Дуже важливим і поширеним типом обслуговування у військах є обслуговування з перевагою (пріоритетом). Кожній заявці, що надходить у систему, приписується коефіцієнт переваги − пріоритет (наприклад, найбільш високий пріоритет при відбитку нальоту присвоюється носіям ядерних ударів, постачальникам перешкод тощо).

При цьому можуть бути різноманітні варіанти дисципліни черги.

При одному із варіантів у момент звільнення каналу на обслуговування надходить заявка з черги, у якої пріоритет найбільший.

При іншому варіанті можливо припинення обслуговування заявки, що займає канал, якщо в систему надійшла заявка з більшим пріоритетом, ніж у тієї, що була на обслуговуванні.

Слід зазначити, що ми надалі будемо розглядати моделі систем масового обслуговування для випадку, коли заявки утворюють найпростіший (пуассонівський) потік. Немає сумніву в тому, що для практики побудови складних систем масового обслуговування становлять інтерес потоки заявок, які помітно відрізняються від найпростішого. Проте, з огляду на важливість методологічних аспектів, ми розглянемо найпростіші типи моделей і методику їхньої побудови.

2.11.2. Модель системи масового обслуговування з відмовами, обмеженим часом перебування заявок у системі й упорядкованим обслуговуванням

Постановка задачі. Розглядається робота n − канальної системи ППО з обмеженим часом перебування заявки в системі.

Алгоритм роботи системи такий: якщо до моменту надходження заявки в систему вільний хоча б один з n − каналів, то ця заявка приймається до обслуговування тільки одним (будь-яким) із вільних каналів. Якщо до моменту надходження заявки в систему всі канали зайняті, то дана заявка залишається без обслуговування. На зайнятий канал діє пуассонівський потік звільнень з інтенсивністю . Ця інтенсивність складається з інтенсивності потоку виходів заявки з-під обслуговування, що позначимо через 



   .

(2. 131)

Величина  характеризує інтенсивність виходів заявок із системи (не чекаючи кінця обслуговування). Інтенсивність вхідного потоку заявок дорівнює .

У будь-який момент часу t аналізована система може знаходитися в одному із таких станів:



хо − у системі немає жодної заявки (вільні всі канали);

х1 − одна заявка знаходиться в системі й одна обслуговується одним (будь-яким) із n каналів;

хk − рівно k заявок (1 ≤ kn) знаходиться в системі, й усі вони обслуговуються (кожна заявка одним каналом);

хn − рівно n заявок обслуговується n каналами.

Граф можливих станів такої системи з вказівкою параметрів потоків подій, що переводять систему ППО зі стану в стан, зображені на рис. 2.28.

Відповідно до наведеного на цьому рисунку графу і мнемонічного правила [23] система диференціальних рівнянь для ймовірностей станів буде мати вигляд:



(2. 132)


Цю систему диференційних рівнянь, як правило, інтегрують при таких початкових умовах



.




(у початковий момент t=0 система вільна). Для будь-якого моменту t виконується нормована умова:



(2. 133)

Граф, зображений на рис. 2.28, із точністю до позначень збігається з графом станів класичної системи масового обслуговування, тому імовірності станів системи в стаціонарному режимі можуть бути знайдені за формулою



(2. 134)

де ; (2. 135)

(k,a) і R(n, a) - табличні функції пуассонівського розподілу [23].

Для аналізованої системи імовірність обслуговування заявки вже не може бути визначена як імовірність того, що заявка, що надійшла в систему, застане вільним хоча б один з каналів. Це лише необхідна умова обслуговування. Для того, щоб заявка була обслугована, потрібно, щоб до моменту надходження її в систему був вільний хоча б один із каналів і щоб за час обслуговування заявка не покинула систему.

Для пошуку імовірності обслуговування заявки скористаємося виразом


.

(2. 136)

Середнє число зайнятих каналів підраховується за формулою



(2. 137)

звідки

.

(2. 138)

При 0 аналізована система перетворюється в систему масового обслуговування з відмовами.

Продовжимо дослідження системи з обмеженим часом перебування заявки в системі.

Щільність потоку заявок, що обслуговуються, буде дорівнювати

.

(2. 139)

Імовірність того, що канал (будь-який) буде зайнятий, дорівнює

.

(2. 140)




Час зайнятості каналу за умовою розподілений за показовим законом з параметром  . Отже, середній час зайнятості каналу буде



(2. 141)




Середній час простою каналу визначимо на підставі ергодичної властивості

.

(2. 142)




Середній час, протягом якого зайняті всі канали (середній час повного завантаження системи), дорівнює

.

(2. 143)




Звідси середній час неповного завантаження системи знайдемо за формулою

,

(2. 144)




де



(2. 145)




імовірність того, що в системі зайняті всі канали (система цілком завантажена).

Наведені залежності (2.134 − 2.145) являють математичну модель поведінки системи ППО як системи масового обслуговування і дозволяють досліджувати процес її функціонування і визначити її основні характеристики.


Типові задачі при дослідженні системи ППО

Задача 1. Система ППО з відмовами й упорядкованим обслуговуванням характеризується такими даними:

скорострільність кожної пускової установки ПУ (1/хв.);

імовірність ураження цілі однією ракетою Р = 0.57;

станція наведення забезпечується двома ПУ ( g = 2 );

довжина смуги обстрілу а = 35 км;

швидкість літаків, що налітають, v = 1300 км/год;

середній лінійний інтервал між літаками (j = 7 км;

загальне число каналів наведення n = 2.

Визначити імовірність ураження цілі, середнє число зайнятих каналів, імовірність того, що канал зайнятий, середній час зайнятості каналу і середній час простою каналу.

Рішення.

1. Розрахуємо параметри роботи системи:



=0,380 1/хв.;

  = 0, 620 1/хв.;

=  +  = 1 1/хв.;

 = = 2 1/хв.;

= = 2.

2. Імовірність ураження будь-якої окремої цілі



=0,225.

3. Середнє число зайнятих каналів

  = 1,18.

4. Імовірність того, що канал зайнятий

з.к = = 0,59.

5. Середній час зайнятості каналу



з к = = 1 хв.

6. Середній час простою каналу



= 0,695 хв.

Задача 2. Для тієї ж системи ППО (задача 1) визначити наскільки підвищиться її ефективність, якщо збільшити довжину зони обстрілу, тобто збільшити її до 72 км.

Всі інші характеристики залишаються старими.



Рішення.

1. Розрахуємо параметри системи:

  g  0,380 1/хв.;

   0,302 1/хв.;

=  +  = 0,682 1/хв.;

 = = 2 1 /хв.;

= =3.

2. Імовірність ураження окремої цілі буде дорівнювати



=0,262.

3. Середнє число зайнятих каналів



К= = 1,38.

Порівнюючи отриманий результат із результатом задачі 1, бачимо, що значне збільшення зони обстрілу (майже в два рази) приводить до несуттєвого збільшення імовірності ураження цілі − усього на 14%.



Задача 3. Визначити ефективність розглянутої системи ППО (задача 1) за умови, що число каналів у ній збільшилося в два рази (n = 4). Опускаючи проміжні розрахунки, визначимо імовірність ураження будь-якої цілі

=380/1 .

Зауважимо, що при необмеженому збільшенні числа каналів (n ) отримаємо



.

Якщо в умовах задачі 2 (коли збільшили зону обстрілу майже в 2 рази) узяти n , то отримаємо



.

Таким чином, збільшення числа каналів приводить до помітного зростання ефективності системи ППО. Проте навіть необмежене число каналів у системі ППО без взаємодопомоги каналів не може забезпечити ураження літака з високою імовірністю. Це пояснюється тим, що за час його перебування в зоні, він обстрілюється тільки одним каналом без допомоги тих, що звільнилися.



Задача 4. Розглянемо систему ППО, що відрізняється від системи ППО, обстеженої в задачі 1, лише тим, що скорострільність кожного каналу збільшена приблизно в 4 рази і доведена до  = 1,21 (1/хв.). Визначимо, наскільки збільшиться ефективність даної системи. Опустимо проміжні розрахунки і наведемо тільки значення імовірності ураження цілі.

Робс = 0,550.

Таким чином, при збільшенні скорострільності в 4 рази імовірність ураження цілі збільшується майже в 2,5 рази. Треба відзначити, що взагалі значне збільшення ефективності системи ППО досягається в основному при збільшенні ефективної скорострільності кожного каналу. Цей висновок можна узагальнити і на інші системи масового обслуговування.

2.11.3. Модель системи з чеканням і упорядкованим обслуговуванням
Розглянемо випадок, коли літак, що влетів у зону обстрілу при всіх зайнятих каналах, не одержує відмови і надалі може бути ще обстріляний.

У цьому випадку за цим літаком здійснюється спостереження за допомогою спеціальних станцій (умовно літак очікує своєї черги обстрілу). Якщо звільняється стрільбовий канал, то ця станція передає літак на обстріл за умови, що цей літак не вийшов із зони обстрілу.

У загальному випадку час перебування літака в зоні обстрілу може залежати від того, обстрілюється літак чи ні. При обстрілі літака може бути включений форсаж тощо. Тому параметр, що характеризує час перебування літака в зоні обстрілу за умови, що він не обстрілюється, позначимо через . Величина  обернено пропорційна середньому часу перебування в зоні обстрілу. Параметр  підраховується за формулою



(2. 146)

де − швидкість польоту літака за умови, що він не обстрілюється;

− глибина зони обстрілу.

У окремому випадку, якщо всі параметри польоту не залежать від того, чи обстрілюється літак, параметр  = .



Задача 5. Визначити, наскільки збільшиться імовірність ураження цілі системою ППО, розглянутої в задачі 1, якщо в неї ввести дві станції, що стежать за ціллю (m = 2). Визначити характеристики такої системи за умови, що обстрілюваний літак має швидкість 840 км/год.

Рішення. Крім тих параметрів, що розраховувалися при рішенні задача 1, необхідно розрахувати ще такі параметри:

= 0,4 (1/хв.);

;

.

У нашому випадку ціле число, тому для підрахунку імовірності ураження літака даною системою скористаємося формулою



.

Отже, введення двох станцій (два додаткові цільових канали), що стежать за цілями, збільшує імовірність ураження на величину = 0,285 − 0,225 = 0,06, що складає близько 21%.

Якщо необмежено збільшувати число спеціальних станцій, що стежать за цілями, то імовірність обслуговування в нашому випадку буде дорівнювати Робс(m) = 0,295, тобто збільшується усього на 3,5%. Отже, подальше збільшення числа спеціальних каналів спостереження за ціллю не приводить до помітного збільшення ефективності стрільби.

Знайдемо інші характеристики. Середнє число зайнятих каналів:





.

Середнє число зайнятих станцій слідкування (середнє число заявок у черзі)



Імовірність того, що буде зайнята хоча б одна спеціальна станція (імовірність наявності черги) дорівнює



Середній час наявності черги



Імовірність того, що канал зайнятий



Середній час зайнятості каналу стрільбою



= 1,27 хв.,

= 1,53.

Середній час простою каналу



= 0,424 хв.,

= 0,444 хв.

2.11.4. Модель системи з чеканням і взаємодопомогою між каналами


Розглянемо ту ж систему ППО. Взаємодопомога між каналами складається в тому, що одну ціль можуть одночасно обстрілювати каналів, при цьому ефективна скорострільність збільшується в l разів.

Задача 6. Розглядається чотирьохканальна система ППО (n = 4) із чеканням (m = 2) і взаємодопомогою між каналами ( = 2).

Характеристики системи такі:

скорострільність кожної ПУ  = (1/хв.);

імовірність ураження однією ракетою Р = 0,57;

станція наведення забезпечується двома ПУ (g = 2);

довжина смуги обстрілу a = 35 км;

швидкості літаків, що налітають, за умови, що літак не обстрілюється, Vнр = 840 км/год, а за умови, що літак обстрілюється, V = 1300 км/год;

середній інтервал між літаками (j=7 км)

число каналів n = 4;

число станцій слідкування m = 2;

максимальне число взаємодіючих каналів = 2.

Визначити пропускну спроможність системи ППО.



Рішення.

Розраховуємо параметри роботи системи:



0,380 1/хв.;  = 0,620 (1/хв.);

=  +  = 1 (1/хв.);  = = 0,4 (1/хв.);

 = = 2 (1/хв.);  = =2;

 = = 5;  = = 5;

h = = 2;

e =  1,45; = = 3,23;

 = =4,45.

Далі визначається імовірність Р того, що будуть вільні всі канали [23]

Р = 0,166.

Для визначення середнього числа зайнятих каналів К знайдемо значення функції



.

Тоді = 3,73.

Імовірність ураження цілі дорівнює

Робс= = 0,709.

Порівняємо отриману імовірність ураження цілі з імовірністю ураження цілі при відсутності взаємодопомоги при інших рівних параметрах (задача 1)



= 0,709 − 0,390 = 0,319.

Таким чином, ми бачимо, що при наявності взаємодопомоги між каналами в даному випадку різко збільшується імовірність ураження цілі (приблизно на 82%).

Слід зазначити, що застосування методів теорії масового обслуговування для розробки функціонування складних систем має певні обмеження, що полягають у такому.

Як правило, методи теорії масового обслуговування застосовуються тоді, коли інтенсивність потоку  заявок на обслуговування не дуже велика, але і не дуже мала (у порівнянні з параметром  для систем без взаємодопомоги і з величиною для систем із взаємодопомогою).

Тому, перед тим, як детально досліджувати систему масового обслуговування, варто провести якісний аналіз. При цьому можна дати такі практичні рекомендації:

якщо для систем без взаємодопомоги або для систем із взаємодопомогою , то можна практично вважати параметр  малим;

якщо  n то можна вважати параметр  великим.

2.11.5. Модель функціонування ремонтного органу військ як системи масового обслуговування


Для побудови зазначеної моделі скористаємося теорією побудови математичних моделей для класичної системи масового обслуговування з чеканням.

Задача. На вхід n - канальної (є n однакових ремонтних цехів) системи ремонту радіолокаційного озброєння надходить найпростіший потік заявок на ремонт РЛС із щільністю . Щільність найпростішого потоку обслуговувань кожного каналу (цеху) (тобто продуктивність цеху) дорівнює . Якщо РЛС, яка надійшла для ремонту, застане вільним хоча б один цех, вона приймається на обслуговування й обслуговується до кінця (заявки “терплячі”). Якщо РЛС застане всі цехи зайнятими, вона стає в чергу і “терпляче” очікує свого ремонту.

Дисципліна черги природна: хто раніш оформив документи - той раніш і обслуговується (ремонтується); максимальне число місць у черзі m (максимальне число прийнятих РЛС на ремонт за досліджуваний період). Якщо РЛС застане усі m місць у черзі зайнятими, то вона одержує відмову і виключається з обслуговування. Кожна РЛС може ремонтуватися тільки одним цехом (взаємодопомоги між цехами немає). Величини n,   m будемо називати параметрами системи ремонту, як системи масового обслуговування. Стан аналізованої системи будемо зв'язувати з числом заявок, що знаходяться в системі (що обслуговуються в черзі):



Xk − у системі є k заявок (kn), вони обслуговуються k каналами, черги немає;

Хn+r − у системі є n + r заявок ( r m), із них n обслуговуються в каналах і r заявок знаходиться в черзі.

Таким чином, система має n + m + 1 станів. Граф станів аналізованої системи показаний на рис. 2.29.

Цьому графу станів відповідає система диференціальних рівнянь для імовірностей станів, що справедлива і для змінних  й . Як правило, цю систему диференціальних рівнянь, що була розглянута в п. 2.7.2, інтегрують при початкових умовах:



(2. 147)

тобто, коли в момент t = 0 система вільна від заявок.

Зауважимо, що аналізований нами граф станів СМО з чеканням із точністю до позначень збігається з графом станів СМО з відмовами і частковою взаємодопомогою . Тому при аналізі стаціонарного режиму роботи аналізований СМО з чеканням, коли  = сonst,  = сonst, m  , t  , можна скористатися залежностями, використовуваними для дослідження згаданої вище СМО.

У цьому випадку математична модель може бути подана у вигляді таких основних розрахункових формул.

1. Імовірність того, що зайняті рівно k цехів, а черги немає:



,

де , .

2. Імовірність того, що всі канали зайняті й у черзі є r заявок на ремонт РЛС

(r = 0,1,... ,m).

При =1 (а=n) одержимо



3. Імовірність обслуговування (ремонту) РЛС дорівнює



.

(2. 148)

4. Середнє число зайнятих каналів (середнє число РЛС, що обслуговуються)

.

(2. 149)

5. Середнє число заявок на ремонт РЛС, що знаходяться в черзі


(2. 150)


6. Середній час перебування заявки в черзі

.

(2. 151)

7. Середній час перебування заявок на ремонт РЛС у системі

.

(2. 152)

Таким чином, наведена модель дозволяє планувати роботу ремонтних органів, оцінювати їх можливості і прогнозувати їх стан і розвиток у зв'язку з розвитком РЛС.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка