Лекція Елементи теорії матриць і визначників



Скачати 92.94 Kb.
Дата конвертації30.12.2016
Розмір92.94 Kb.

Лекція 1. Елементи теорії матриць і визначників



План лекції:


  1. Визначники 2-го та 3-го, n-го порядку. Властивості визначників.

  2. Мінори та алгебраїчні доповнення.

  3. Правило знаходження визначника довільного порядку (теорема Лапласа).

  4. Матриці, дії з ними.

  5. Ранг матриці. Елементарні перетворення матриць.

  6. Обернена матриця, її обчислення.

________________________________________________________________________




  1. Визначники 2-го та 3-го порядку, їх властивості.

Визначником другого порядку називається число, записане у вигляді таблиці, яке дорівнює:

де , , , – елементи визначника, при цьому елементи , утворюють головну діагональ визначника, а елементи і – побічну.

Отже, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів головної та побічної діагоналей.

Приклад 1.

Обчислити визначник другого порядку .



Розв’язання:

.
Приклад 2.

Обчислити визначник другого порядку .



Розв’язання:

.

Визначник третього порядку – це число, одержане так:

Символи називаються елементами визначника, причому перший індекс показує номер рядка, а другий індекс – номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Елементи , , утворюють головну діагональ визначника 3-го порядку, а елементи , , – побічну діагональ.

Існує правило, яке називають правилом трикутника, або правилом Саріуса, яке дозволяє легко обчислити визначник 3-го порядку:




Отже, для обчислення визначника 3-го порядку за правилом трикутника, із знаком плюс беремо добуток елементів, що стоять на головній діагоналі, а також добутки елементів, які лежать на паралелях до цієї діагоналі з третім множником, що стоїть у протилежному куті таблиці; а з знаком мінус добуток елементів, що лежать на побічній діагоналі, а також добутки елементів, що стоять на паралелях до цієї діагоналі з третім множником, який стоїть у протилежному куті таблиці.

Отже, визначник – алгебраїчна сума всіх можливих добутків його елементів, взятих по одному з кожного рядка і з кожного стовпця з відповідним знаком.

Приклад 1.

Обчислити визначник третього порядку .



Розв’язання:


Приклад 2.

Обчислити визначник третього порядку .



Розв’язання:


Розглянемо (на прикладі визначників третього порядку) основні властивості визначників:

  1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями і навпаки.

  2. Від перестановки двох рядків або двох стовпців визначник змінює лише знак.

  3. Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) дорівнюють нулеві, то визначник дорівнює нулю.

  4. Спільний множник елементів будь-якого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

  5. Визначник, у якого елементи будь-яких двох рядків (стовпців) пропорційні, дорівнює нулю.

  6. Визначник, у якого елементи будь-яких двох рядків (стовпців) однакові, дорівнює нулю.

  7. Якщо кожний елемент якого-небудь рядка (стовпця) визначника є сума двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників. У одного з них елементами відповідного рядка (стовпця) будуть перші доданки, а у другого – другі. Всі інші елементи у цих двох визначників ті, що і в даного.

  8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне і те ж число.

Визначником - го порядку називається число, записане у вигляді:

де - номер рядка, а - номер стовпця.

Отже, визначником - го порядку називається число, рівне алгебраїчній сумі членів, кожен з яких є добуток його елементів, взятих по одному і тільки по одному з кожного з рядків і кожного з стовпців квадратної таблиці чисел, причому половина визначених членів береться з їх знаками, а інші – з протилежними.


  1. Мінори та алгебраїчні доповнення.

Введемо ще два поняття, які будуть потрібні нам для обчислення визначників будь-якого порядку.

Розглянемо визначник n-го порядку.



Мінором будь-якого елемента визначника n-го називається визначник (n-1) порядку, одержаний з даного визначника викреслюванням i-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких міститься даний елемент.

Мінор елемента позначимо .



Приклад 3. Обчислити мінор визначника .

Розв’язання:

Мінор елемента визначника дорівнює: .



Алгебраїчним доповненням будь-якого елемента називається його мінор, взятий зі знаком , тобто

Введені поняття мінору та алгебраїчного доповнення дають можливість одержати ще один метод обчислення визначників третього порядку, який узагальнюється на визначники будь-якого порядку.



  1. Правило знаходження визначника довільного порядку.

Теорема Лапласа: визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Дана формула називається розкладом визначника за елементами i-го рядка.



Наслідок 2. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Приклад 4. Обчислити визначник IV порядку, користуючись властивостями визначників:

.

До елементів третього стовпця додаємо елементи другого стовпця, помножені на два, а до елементів другого стовпця - елементи першого стовпця, одержимо:



.

Розкладемо одержаний визначник за елементами першого рядка; оскільки три елементи 1 рядка дорівнюють нулю, то обчислення визначника ІV порядку зводиться до обчислення тільки одного визначника III порядку:



.

  1. Матриці, дії з ними.

Прямокутна таблиця, яка складається з чисел, розташованих в рядках і стовпцях, називається матрицею і записується так:

або .

Числа називаються елементами матриці, перший індекс – номер рядка, другий – номер стовпця.

Запис означає розмір (розмірність) матриці. Число вказує на кількість рядків, а – кількість стовпців.

Матриця називається прямокутною, якщо , і квадратною, якщо ; тоді кількість рядків (стовпців) називається порядок матриці.

Дві матриці називаються рівними, якщо у них однакове число рядків і стовпців, і відповідні елементи рівні.

Матриця називається нульовою (нуль-матрицею), якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою .



Матрицею-рядком називається матриця, яка складається з одного рядка ( - матриця ).

Матрицею-стовпцем називається матриця, яка складається з одного стовпця (- матриця).

Матриця , яку одержимо з матриці заміною рядків стовпцями, називається транспонованою відносно матриці , тобто:



.

Головною діагоналлю квадратної матриці називається уявна пряма, яка з’єднує її елементи, індекси яких однакові, і її елементи називають діагональними.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елементи, крім тих, що не стоять на головній діагоналі, дорівнюють нулю.

У діагональній матриці не всі діагональні елементи відмінні від нуля.

Одиничною матрицею називається діагональна матриця, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці. Позначають одиничну матрицю Е.

Визначником квадратної матриці називається визначник, елементами якого є елементи матриці , він позначається .

Квадратна матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник не дорівнює нулю, і особливою (виродженою), якщо її визначник дорівнює нулю.



Приєднаною до квадратної матриці називається матриця того ж порядку, елементами якої являються алгебраїчні доповнення відповідних елементів визначника матриці , транспонованої до :

.

  1. Матриці, дії з ними.

З матрицями можна виконувати наступні дії: додавати (віднімати), множити матрицю на число, множити матриці.

Розглянемо кожну із дій окремо.



Сумою (різницею) двох матриць і однакового розміру називається матриця , елементи якої рівні сумі (різниці) відповідних елементів матриць і , тобто для суми матриць( – для різниці).

Добутком матриці на довільне число називається матриця, елементами якої є добутки елементів матриці А на число :



Добутком матриці розміром на матрицю розміром називається матриця розміром , елементи якої дорівнюють сумі добутків відповідних елементів - го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці , тобто:

, ,.

Це означення називають правилом множення рядка на стовпець.

Добуток матриці на матрицю позначається .

Таким чином, добуток має зміст лише при умові, що число стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці .



Приклад 5. Обчислити добуток двох матриць: .



  1. Ранг матриці. Елементарні перетворення матриць.

Розглянемо прямокутну матрицю А, яка складається з т рядків та п стовпців:

.

Виділимо в цій матриці довільно к рядків і к стовпців, де . Із елементів, які стоять на перетині виділених рядків і стовпців, складаємо визначник к –го порядку. Всі такі визначники називаються мінорами матриці А.

Обираючи різними способами рядків та стовпців, одержимо деяку кількість мінорів -го порядку. Розглянемо в матриці А ті її мінори різних порядків, які відмінні від нуля і нехай їх найбільший порядок дорівнює .

Рангом матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Таким чином, якщо ранг матриці r, то серед мінорів цієї матриці є принаймні один мінор r-го порядку, відмінний від нуля; в той же час всі мінори (r+1)-го і вищого порядку дорівнюють нулеві. Позначимо ранг матриці А через r(А).

Для обчислення рангу матриці її спочатку спрощують за допомогою елементарних перетворень.

Елементарними перетвореннями матриці називають:


  1. Перестановку двох рядків (стовпців);

  2. Множення всіх елементів рядка (стовпця) на довільне число ;

  3. Додавання до всіх елементів рядка (стовпця) відповідних елементів паралельного рядка (стовпця), помножених на одне і те ж число.

Теорема 1. (Про елементарні перетворення): При елементарних перетвореннях матриці її ранг не змінюється.

  1. Обернена матриця, її обчислення.

Оберненою матрицею для даної квадратної матриці називається така матриця , добуток на яку матриці є одиничною матрицею, тобто

.

Теорема. Для кожної неособливої квадратної матриці існує обернена і притому тільки одна. Для особливої квадратної матриці обернена не існує.

Обернену матрицю знаходять за формулою:



, або .

де – алгебраїчні доповнення елементів матриці .



Правило знаходження оберненої матриці:

  1. Обчислити визначник заданої матриці . Якщо визначник не дорівнює нулю, то матриця має обернену. (Якщо визначник рівний нулю, то розв’язання завдання закінчується. Матриця оберненої не має).

  2. Знайти алгебраїчні доповнення до елементів визначника.

  3. Скласти приєднану матрицю .

  4. Помножити приєднану матрицю на Це і буде шуканий результат.

  5. Виконати перевірку, помноживши знайдену обернену матрицю на задану матрицю , в результаті повинна вийти одинична матриця. Тобто .



База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка