Лекція [Б. 257-261, ит. 225-233] Топологічна класифікація 2-вимірних многовидів



Скачати 32.95 Kb.
Дата конвертації28.12.2016
Розмір32.95 Kb.
Диференціальна геометрия та топологія

(4-ий семестр, математики, лектор О.О.Пришляк)
Лекція 1. [Б.257-261, ИТ.225-233]

Топологічна класифікація 2-вимірних многовидів.

Склеювання многокутників. Приклеювання ручок та листів Мьобіуса. Теорема класифікації. Тріангуляція 2-вимірних многовидів. Канонічні склейки многокутників. Ейлерова характеристика та рід 2-вимірних многовидів. Зв’язна сума.



Лекція 2. [Б.108-127, ИТ.49-70, П.15-17] 3.3.24-32, 35, 36*, 37*, 44, 45, 47.

Поверхні. Друга квадратична форма.

Друга квадратична форма, нормальна кривина. Головні кривини. Індикатриса Дюпена. Гаусова та середня кривини. Класифікація точок на поверхні.



Лекція 3. [Б.128-139, ИТ.71-76, 24-26, П.17-20]

Дериваційні рівняння. Теорема Гауса. 3.4.6, 7, 9, 10, 13, 20, 59, 16*, 18*.

Дериваційні рівняння Вейнгартена-Гаусса. Символи Кристофеля. Формули Гауса та Петерсона-Кодацці. Теорема Гауса. Теорема Боне.

Лекція 4. [Б.140-148, ИТ.82-93, П. 21-22]

Геодезичні лінії. 4.2.6, 9, 12, 14, 17-23, 4.3.1, 8, 14, 4.4.2, 3, 6.

Лінії кривини та асимтотична лінії. Геодезична кривина. Геодезичні лінії. Їх рівняння. Геодезичні лінії на площині Лобачевського.

Лекція 5. [Б.149-159, ИТ.77-81, П.22,53] 4.4.6, 31, 32, 37, 45.

Коваріанта похідна дотичного векторного поля.

Властивості геодезичних ліній. Коваріанта похідна дотичного векторного поля. „Паралельний” перенос дотичного вектора вздовж кривої на поверхні.

Лекція 6. [Б.190-200, ИТ’.4-18, П.48-51] 5.1.1.

Тензори. Означення та приклади.

Координатне, інваріантне та лінійне означення тензорів. Вектор, диференціал, білінійна форма.



Лекція 7. [Б.200-202, ИТ’.19-31, П. 51-52] 5.1.2-8

Алгебраїчні операції над тензорами.

Лінійні комбінації, перестановка індексів, згортка, тензорний добуток, упускання та підняття індексів, симетрування та альтернація.



Лекція 8. [Б.203-209, ИТ.88-98, П.53-54]

Коваріантне диференціювання. 5.1.23,24,42

Евклідова та афінна зв’язності, коваріантна похідна за напрямком



Лекція 9. [Б.203-209, ИТ.99-121, П.53-54] 5.1.40, 5.2.35-40

Властивості коваріантного диференціювання. Паралельний перенос і геодезичні.

Алгебраїчні властивості коваріантного диференціювання. Ріманова зв’язність (зв’язність Леві-Чевіта). Паралельний перенос. Геодезичні. Нормальні координати. Екстремальні властивості геодезичних.



Лекція 10. [Б.210-211, ИТ.130-147, П. 54-55] 5.1.47, 5.3.88

Тензор кривизни. Тензор Рімана.

Тензор кривини (координатне означення). Комутатор (дужка Лі) векторних полів. Інваріантне означення тензора кривини. Симетрії тензора кривини. Тензор кривини поверхні.



Лекція11. [Б.262-265]

Гомотопні відображення. Гомотопічний тип.

Гомотопні відображення. Гомотопічно еквівалентні простори.



Лекція12. [Б.265-275]

Фундаментальна група.

Означення фундаментальної групи. Залежність від точки. Гомоморфізм фундаментальних груп породжений відображенням т.п.



Лекція 13.

Зовнішні диференціальні форми.

Кососиметричні коваріантні тензори. Зовнішній добуток. Диференціал. Перенесення форм відображенням. Властивості цих операцій. Значення n-форми на n-ці векторів.



Лекція 14.

Многовиди з межею.

Многовиди з межею. Орієнтація межі, породжена орієнтацією многовида. Інтегрування форм за підмноговидами. Формула Стокса (без дов.)



Лекція 15. [ИТ.32-87]

Когомології де Рама.

Групи когомологій де Рама. Рівність гомоморфізмів когомологій, породжених гомотопними відображенням. Когомології Rn, S1,S2.



Лекція 16. [ИТ.148-161, Б.286-289] [Б. 292-296]

Степінь відображення. Теорема Гауса-Боне.

Ревність степенів гомотопних відображень. Незалежність степені від точки. Сферичне відображення поверхонь. Теорема Гауса-Боне.

_________________________________________________________________

Література: [Б] О.А.Борисенко. Диф. геом. та топологія. Х. 1995

[ИТ] А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Лекции по класич. диф. геом. М. 2006

[ИТ’] А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Тензорный анализ на многообразиях. 2006

[П] О.О.Пришляк. Диф. геометрія. К. 2004



Н.И.Кованцов и др. Диф. геом, топлогия, тенз. анализ. Сб. задач.   К. 1989


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка