Лекція 7 Методи багатоваріантного аналізу. Аналіз чутливості



Скачати 63.21 Kb.
Дата конвертації30.12.2016
Розмір63.21 Kb.
Лекція 7

Методи багатоваріантного аналізу. Аналіз чутливості
Аналіз чутливості стосовно до розгляданих в курсі світлотехнічних пристроїв і електричних апаратів дозволяє встановити, якою мірою характеристики пристроїв змінюються при зміні параметрів конструкцій, умов експлуатації або випробувань. Зміни параметрів конструкції можуть бути викликані необхідністю модернізації, відкладеннями (допусками) на матеріали, застосуванням нових методів, змінами технології і т.п. Зміна умов експлуатації чи випробувань може знадобитися, по-перше, для виявлення випадків, при яких характеристики приймають екстремальні значення, що дозволяє, зокрема, скоротити обсяг випробувань шляхом проведення їх у найбільш важких умовах. Наприклад, при створенні нових серій апаратів треба знати, як повинні змінюватися параметри конструкції і які виходять функціональні характеристики при переході з одного номінального струму (чи напруги) на інший. Ті ж проблеми мають місце й у світлотехнічних пристроях. Нарешті, аналіз чутливості дозволяє виявити запас надійності пристрою по всіх зазначених аспектах.

Нехай y=F(x·Q) – вектор вихідних параметрів пристрою, що є функцією його внутрішніх x і зовнішніх Q параметрів. Аналіз чутливості дозволяє оцінити чутливість вихідних параметрів yi до зміни внутрішніх xi і зовнішніх Qi параметрів, що кількісно оцінюється за допомогою часткових похідних:



,

де xio і yio – базові значення; aij, bij – абсолютний і відносний коефіцієнти чутливості, що утворять матриці чутливості.

Досить ефективним є метод приросту для розрахунку коефіцієнтів чутливості, заснований на чисельному диференціюванні залежності yi(xi) у деякій точці х0:



де l – число вихідних параметрів, чутливість яких визначається; m – число змінюваних внутрішніх параметрів; Δxj – малий приріст j-го внутрішнього параметра.

Для розрахунку чутливості вихідних параметрів, що мають вигляд функціоналів, використовують співвідношення

Розрахунок матриці чутливості ведуть, обчислюючи коефіцієнти aij за виразом



де

Скалярний добуток, що має розмірність n вектора:

і вектора



Важливим частковим випадком аналізу чутливості є перерахування параметрів. Захисні апарати, світлотехнічні пристрої, як і більшість електротехнічних пристроїв, відрізняються різноманітною номенклатурою, великою кількістю типовиконань і частою модифікацією виробів, що вимагає виконання значного обсягу обчислень для аналізу при повторюваних розрахунках, пов'язаних зі зміною параметрів конструкції. Але повне перерахування, особливо при використанні моделей високого порядку, може призвести до значних витрат машинного часу і вартості. Істотне скорочення обсягу обчислень при перерахуванні може бути досягнуто, якщо використовувати результати розрахунку базової конструкції.

При розрахунку багатьох фізичних процесів – розподіл електричних і температурних полів, механічної міцності застосування чисельних методів припускає оперування з матричними рівняннями вигляду

(7.1)

де k – матриця електропровідності (теплопровідності, твердості); φ – відгук конструкції на вплив конструкції F. Якщо базова конструкція, наприклад, світлотехнічного пристрою відповідає матриці k0, вектор навантаження F0, то її відгук φ0, тобто реакція на вплив навантаження є рішенням рівняння



(7.2)

Якщо в конструкцію вносяться зміни, що приводить до необхідності побудови нової матриці k1, то замість того, щоб шукати новий відгук φ1 шляхом розв’язання рівняння



(7.3)

можна використовувати інформацію, закладену в (7.2), і зробити перерахування за допомогою формування послідовності векторів за допомогою процесу



(7.4)

При помірних змінах параметрів конструкції послідовності сходяться до φ1. Зважаючи на те, що найкращою збіжністю володіють раціональні апроксимації Паде, було вирішено використовувати їх для перерахування параметрів, що забезпечує достатню точність навіть при великих змінах параметрів.


Розглянемо рівняння


(7.5)

всі члени якого розкладаються в ступеневий ряд. При цьому nxn – матриця k(x) розкладається в матричний степеневий ряд вигляду



(7.6)

в якому коефіцієнти k(i) являють собою матриці, що враховують залежності довільного порядку від зміни параметрів конструкції.

Векторний ступеневий ряд для вектора відгуку має вигляд

(7.7)

а вектор навантаження можна розкласти в ряд



(7.8)

де коефіцієнти F(i) враховують залежність довільного порядку вектора навантаження від змін конструкції.

Якщо розкладання (7.6), (7.7), (7.8) підставити в (7.5) і обчислити коефіцієнти при однакових ступенях х у правій і лівій частинах, то одержимо

(7.9)

Будемо обчислювати (7.9) для розв’язання на основі використання (7.2), прийнявши:



Ця задача еквівалентна відшуканню статечного ряду для φ(х) і обчисленню його значення при х=1, виходячи із співвідношення



(7.10)

Векторні коефіцієнти φ(i) для ряду φ(х) визначатимемо за алгоритмом



(7.11)

Шуканий відгук φ(х) можна записати у вигляді раціональної функції



(7.12)

в якій права частина є відношенням багаточленів. Висока швидкість збіжності ряду для φ(х), характерна для раціональної апроксимації, дозволяє обійтися невеликим числом членів для одержання необхідної точності. Інженерна точність при раціональній апроксимації досягається за допомогою 9 членів.

У висновку відзначимо, що аналіз чутливості може виконуватися шляхом чисельного, апаратного експерименту, а також моделюванням.

Статистичний аналіз


Мета статистичного аналізу – одержати інформацію про розподіл вектора вихідних параметрів у при заданому законі розподілу випадкового вектора х внутрішніх параметрів об'єкта.

Основним методом статистичного аналізу в САПР є метод статистичних випробувань (метод Монте-Карло). Кожне k-е статистичне випробування полягає в присвоєнні елементам хi вектора х випадкових значень xik і розрахунку вектора вихідних параметрів yk за допомогою одноваріантного аналізу. Після виконання запланованого числа N статистичних випробувань їх результати уk обробляються з метою оцінки числових характеристик розподілів вихідних параметрів.

В основу алгоритму завдання випадкових значень параметрів лежить формула

за допомогою якої випадкове значення ξ величини, рівномірно розподіленої в інтервалі [0,1], перетвориться у випадкове значення xik величини xi, що має щільність розподілу p(xi). Для вироблення значень ξ використовують стандартні підпрограми, що існують в програмному забезпеченні будь-якого ПК. Вироблене значення ξ інтерпретується як значення F(xik) функції розподілу величини хi, тому що



Функція розподілу F(xi) – монотонна в пам'яті ЕОМ може бути представлена в табличній формулі. Тому перетворення ξ у xik зводиться до пошуку потрібного інтервалу таблиці і визначеного результату за допомогою інтерполяції.

Замість значень ξ рівномірно розподіленої випадкової величини можна використовувати значення uk нормованого нормального вектора u=(u1, u2, un) і в алгоритмі здійснювати перетворення uik у xik. Елементи вектора u некорельовані, тому якщо потрібне пошук значень корельованих випадкових величин xi, то вводиться проміжний вектор корельованих нормальних величин z і матриця А перетворення u в z. У цьому випадку алгоритм задання випадкових значень параметрів xi спочатку виявляє n випадкових значень uik, потім перетворить їх у вектор zk=Auk, і далі значення цього вектора – в шукані значення xik корельованих параметрів елементів.

Матриця перетворення А, як і таблиця перетворення z (або V) у х, визначається на основі обробки результатів попередньо виконаних вимірів параметрів на партії тестових зразків або виробів даного чи аналогічного вигляду.

Результати статистичних випробувань yk використовуються для побудови гістограм обчислення математичних чекань і дисперсій вихідних параметрів. У разі потреби можна розраховувати і коефіцієнти кореляції між вихідними yj і внутрішніми xi параметрами, що застосовуються для визначення коефіцієнтів регресії yj на xi.

Оскільки відносні коефіцієнти регресії є аналогами коефіцієнтів впливу xi на yj, регресивний аналіз, що сполучається зі статистичним аналізом, слід розглядати як можливий підхід до аналізу чутливості.



Точність і трудомісткість статистичних випробувань залежать від числа N. Звичайно вибирається N=50÷200. Але у певних випадках, наприклад, при встановленні імовірності виходу придатних виробів при значеннях цієї імовірності, близьких до 1 чи 0, прийнятна точність вимагає значно більшого числа випробувань. Це свідчить про трудомісткість статистичного аналізу. З цієї причини його проводять на заключних ітераціях процесу проектування виробів.





База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка