Лекція №6 Тема Лекціі: Розрахунок електричних кіл методами вузлових напружень та еквивалентного генератора



Скачати 138.17 Kb.
Дата конвертації31.12.2016
Розмір138.17 Kb.




Лекція № 6
Тема Лекціі: Розрахунок електричних кіл методами вузлових напружень та еквивалентного генератора.

1.Уведення. Загальний підхід до розрахунку кола синусоідального струму.

Методи розрахунку.

2.Метод рівнянь Кірхгофа.

3.Метод контурних струмів.

4.Метод накладення.

5.Метод вузлових напружень.

6.Метод еквівалентного генератора.


Л і ті р а т у р а

Л1. с.61-63, 70-87. Л2. с.179-211, 158-165. Л3. с. 134- 140, 144-147.


1.Введення.Загальний метод підходу до розрахунку

кола синусоїдального струму. Методи розрахунку.

В основі методів розрахунку в електричних колах синусоїдального струму полягає закон Ома, а також перший і другий закони Кірхгофа. Використовуючи структуру кола, вибирають незалежні вузли, гілки електричних кіл, а також контуру. При цьому, кожен електричний контур повинний містити, як мінімум одну незалежну гілку. На підставі згаданих законів створюється система рівнянь, що дозволяє одержати шукані параметри електричного ланцюга. Для кіл з постійним струмом розрахунки ведуться з дійсними числами. У випадку застосування електричних кіл, на які впливають синусоїдальні коливання, розрахунки ведуться з використанням комплексних струмів, напруг, опорів і проводимостей.

На практиці застосування знайшли такі методи:

1.Метод рівнянь Кирхгофа. 2.Метод контурних струмів. 3.Метод вузлових напругжень. 4.Метод накладення. 6.Метод еквівалентного генератора.

Найбільш широке застосування знайшли перші три методи.
2. МЕТОД РІВНЯНЬ КИРХГОФА

Найбільш загальним методом розрахунку складних електричних кіл є метод рівнянь Кирхгофа. Сутність цього методу складається в визначенні системи рівнянь відповідно до першого і другого законів Кирхгофа і рішенні цієї системи щодо невідомих струмів.

Якщо складне електричне коло має n вузлів і m гілок, а отже, m невідомих струмів, то необхідно скласти і вирішити систему m лінійно незалежних рівнянь. Покажемо, що ці рівняння можна скласти за першим і другим законах Кирхгофа.

за першим законом Кирхгофа можна скласти всього стільки рівнянь, скільки вузлів має коло, тобто n рівняннь. Однак лінійно незалежними будуть тільки n—1 рівнянь. Це випливає з того, що після додавання n—1 рівнянь, складених для усіх вузлів, крім одного, одержимо рівняння, до якого входять тільки струми, що сходяться в останньому вузлі, тому що інші струми ввійдуть у суму два рази з протилежними знаками і скоротяться. Це рівняння буде відрізнятися від рівняння для останнього вузла тільки знаками струмів. Помножимо його на —1, одержимо рівняння для останнього вузла.

Для ілюстрації цього положення складемо рівняння за першим законом Кирхгофа для схеми, приведеної на мал. 1:

для першого вузла



I1 – I2 + I3 = 0; (6.1)

для другого вузла



I5 – I3 - I4 = 0; (6.2)

для третього вузла



I2 – I1 + I4 – I5 = 0; (6.3)

Склавши вираження (6.1) і (6.2), одержимо



- I2 + I1 - I4 + I5 = 0.

Помножимо це рівняння на -1, одержимо рівняння для третього вузла (6.3),

тобто рівняння для останнього вузла можна одержати лінійними комбінаціями з рівнянь, складених по першому закону Кирхгофа для перших (n—1) вузлів. Таким чином, для ланцюга, що має n вузлів, за першим законом Кирхгофа можна скласти (n— 1) лінійно незалежних рівнянь.

Інші k = m - (n—1) лінійно незалежні рівняння складаються за другим законом Кирхгофа.

Для того, щоб показати це, скористаємося топологічними властивостями електричного кола. Тому що при додаванні зв'язку графа до дерева графа схеми електричного кола утвориться один контур, то число зв'язків графа схеми дорівнює числу незалежних контурів електричного кола. Якщо врахувати, що дерево графа містить усі вузли електричного кола, число яких дорівнює n, а число гілок на дереві графа на одиницю менше числа вузлів, тобто дорівнює n - 1, то загальне число гілок у колі буде

m = (n-1)+ k , (6.4)

де k - число зв'язків графа схеми електричного кола, рівний числу незалежних контурів.



1 2 1 2

3 3


Мал. 6.2 Мал. 6.3

Звідси виходить вираження для визначення числа зв'язків дерева графа, а отже, і числа незалежних контурів електричного кола



k = m – ( n – 1). (6.5)

Для ілюстрації цього розглянемо схему електричного кола, приведену на мал. 6.2. Граф схеми цього кола приведений на мал. 6.2, а одне з дерев графа на мал. 6.3. Дерево графа цього кола містить три вузли і дві гілки, тобто (n- 1) гілок. Число зв'язків графа схеми дорівнює трьом. Тому що всього гілок на графі п'ять, отже, виконується співвідношення для числа зв'язків графа схеми (6.5), а виходить, і для числа незалежних контурів



k = m – (n – 1) = 5 - (3 -1) = 3,

Таким чином, для кола, що має n вузлів і m гілок, за другим законом Кирхгофа можна скласти k = m—(n—1} лінійно незалежних рівнянь. При цьому загальне число рівнянь, складених за першим і другим законами Кирхгофа, буде дорівнює числу гілок, тобто числу невідомих струмів, що дозволяє знайти струми у всіх гілках електричного кола.

Розрахунок електричних кіл за допомогою законів Кирхгофа доцільно робити в наступному порядку:

1. Визначити число вузлів n і число гілок m у колі. Відповідно до цього визначити кількість рівнянь, яку необхідно скласти за першим і другим законами Кирхгофа.

2. Позначити на схемі кола струми в гілках і довільно вибрати їхні позитивні напрямки. Вибрати незалежні контури кола. Це доцільно зробити таким чином, щоб у кожний наступний контур входила хоча б одна нова гілка. Довільно задатися напрямком обходу контурів.

3. Скласти (n – 1) рівнянь за першим законом Кирхгофа.

4. Скласти k = m—(n—1) рівнянь за другим законом Кирхгофа. При складанні цих рівнянь ЕРС вважаються позитивними, якщо їхній напрямок збігається з напрямком обходу контурів. Спадання напруги буде позитивним, якщо напрямок обходу контуру збігається з обраним напрямком струму.

5. Вирішити складену систему рівнянь щодо невідомих струмів. Якщо при цьому деякі струми вийдуть негативними, то це означає, що їхні дійсні напрямки протилежні спочатку обраним позитивним напрямкам.

Достоїнством розглянутого методу розрахунку складних електричних кіл за допомогою законів Кирхгофа є його узагальнююча властивість, а недолік -громіздкість (велике число рівнянь, що дорівнює числу гілок). Тому розроблений ряд методів і прийомів, що спрощують розрахунок.

У наступних підрозділах розглянемо деякі з цих методів, що стосуються тільки розрахунків лінійних електричних кіл.



3.Метод контурних струмів.

Розрахунок складних електричних ланцюгів методом контурних струмів зводиться до рішення системи рівнянь, складених тільки по другому законі Кирхгофа. Цих рівнянь виходить тільки k = m – (n-1) , тобто на (n – 1) менше, ніж при розрахунку ланцюга методом рівнянь Кирхгофа. Це полегшує розрахунок складних ланцюгів.




Рис. 6.4

Сутність цього методу розглянемо на прикладі розрахунку ланцюга, схема якого приведена на мал. 6.4. Система рівнянь, складених для цього ланцюга по першому і другому законах Кирхгофа, має вид:


I1 - I2 - I3 = 0

Z1 I1 + Z3 I3 = E1 (6.6)

Z2 I2 - Z3 I3 = - E2
Виключимо з цієї системи рівнянь струм I3, що протікає в галузі, що входить одночасно в два контури. Цей струм дорівнює I3 = I1 - I2 .

Підставивши його в рівняння, складені по другому законі Кирхгофа, одержимо:



Z1 I1 + Z3 (I1 - I2 ) = E1 (6.7)

Z2 I2 - Z3 (I1 - I2 ) = -- E2

чи


(Z1 + Z3 )I1 - Z3 I2 = E1 (6.8)

-Z3 I1 +( Z2 + Z3 ) I2 = -- E2

Ця система рівнянь дає підставу вважати, що в кожному незалежному контурі протікає свій, так називаний контурний струм (ток), що незалежно від інших струмів створює спадання напруги на тих опорах ланцюга, по яких він протікає. Контурні струми звичайно позначаються буквою I з римськими індексами. У розглянутій схемі, приведеної на мал. 6.4, напрямок контурних струмів II і III показано стрільцями усередині контурів. Ці струми дорівнюють струмам у галузях I1 і I2 ,по яких протікає тільки один з контурних струмів, тобто II = I1 і III = I2.

При розрахунку електричних ланцюгів розглянутим методом крім контурних струмів уводять ще ряд понять: контурні э.д.с., власні і взаємні опори.

Контурної э.д.с. називають алгебраїчну суму усіх э.д.с. контуру. При цьому обхід контуру роблять по напрямку контурного струму і э.д.с. беруть зі знаком «плюс», якщо її напрямок збігається з напрямком контурного струму, і зі знаком «мінус», якщо ці напрямки протилежні. Контурні э.д.с. звичайно позначають буквою Е с римськими індексами, що відповідають номерам контурів.

У розглянутому прикладі контурні э.д.с. EI = E1 і EII = - E2 .

Власним опором контуру називають суму всіх опорів, що входять у даний контур. При цьому кожен опір береться з позитивним знаком. Власні опори контурів позначаються буквою Z з подвійними індексами, що відповідають номеру контуру.

У розглянутому прикладі власні опори контурів

Z11 = Z1 + Z3 і Z22 = Z2 + Z3 .

Взаємними опорами контурів називають опору, що одночасно входять у два різних контури. Вони позначаються буквою Z із двома індексами, перший з який відповідає номеру розглянутого контуру, а другий — номеру контуру, що має загальний опір з розглянутим контуром. Взаємні опори вважаються позитивними, якщо контурні струми, що протікають по цих опорах, мають однаковий напрямок, і негативними, якщо напрямку контурних струмів протилежні.

У розглянутому прикладі взаємний опір першого контуру з другим Z12 = - Z3, а другого контуру з першим Z21 = - Z3. Звідси видно, що Z12 =Z21, тобто взаємні опори, що відрізняються одне від іншого порядком індексів, рівні між собою. Це справедливо тільки для електричних ланцюгів, що не містять залежних джерел э.д.с. чи струму.

З урахуванням уведених понять систему рівнянь (6.8) для розглянутого приклада можна записати у виді:



Z12 II + Z12 III = EI (6.9)

Z21 II + Z22 III = EII

Вирішивши цю систему рівнянь, знайдемо контурні струми II , III . Якщо деякі з цих струмів виходять негативними, то їхні дійсні напрямки будуть протилежні спочатку прийнятим позитивним напрямкам. Знаючи контурні струми, можна знайти струми в галузях. Якщо в галузі протікає тільки один контурний струм, то щирий струм у галузі буде дорівнює цьому струму. Струми в галузях, по яких протікають кілька контурних струмів, рівні їхній алгебраїчній сумі.

У загальному випадку для електричного ланцюга, що містить п незалежних контурів, система контурних рівнянь має вид:

Z11 II +Z12 III +…+ Z1n IN = EI

Z21 II +Z22 III +…+ Z2n IN = EII

……………………………………….. (6.10)

Zn1 II +Zn2 III +…+ZnnIN=EN

де Zkk -власний опір k-гo контуру;

Zkj -- взаємний опір k-гo і j -го контурів;

Ekконтурна э.д.с. k - гo контуру.

Вирішуючи цю систему рівнянь за допомогою визначників, знайдемо струм у будь-якому k-м контурі



Ik = Δ k /Δ, (6.11)

де Δ — визначник системи:



Z11 Z12 … Z1n

Z21 Z22 … Z2n

Δ = ……………...

Zn1 Zn2 … Znn

Цей визначник для пасивних ланцюгів, що не містять залежних джерел э.д. с. і струму, симетричний щодо його головної діагоналі, тому що для таких ланцюгів будь-які взаємні опори Zkj і Zjk рівні між собою.

Визначник Δ k виходить з визначника Δ k шляхом заміни k -го стовпця вільними членами:

Z11 Z12 …EI …Z1n

Z21 Z22 …EII …Z2n

Δk = …………….

Zn1 Zn2 …EN …Znn
Розкладаючи у вираженні (6.11) визначник Δ k по елементах k-ro стовпця, одержимо n

I = Δ1k /Δ*EI + Δ2k /Δ*EII + … + Δnk /Δ*EN = Σ Δjk /Δ*Ej , (6...12)

j=1


де Δjk - алгебраїчне доповнення визначника системи, що виходить шляхом викреслювання в ньому j-й рядка і k-гo стовпця і множення на(-1) j+k.

При розрахунку електричних ланцюгів методом контурних струмів доцільно дотримувати наступного порядку:

1.Вибрати незалежні контури ланцюга і вказати позитивні напрямки контурних струмів у них.

2. Обчислити власні і взаємні опори контурів, а також контурні ЕРС.

3. Скласти систему рівнянь для контурних струмів у відповідності з другим законом Кирхгофа.

4. Вирішити отриману систему рівнянь одним з відомих методів, тобто визначити контурні струми.

5. Визначити струми в галузях.

На закінчення необхідно відзначити, що контурні струми в загальному випадку є розрахунковими величинами, а реально існуючими струмами є струми, що протікають у галузях електричного ланцюга.

Достоїнством розглянутого методу контурних струмів є менше число рівнянь у порівнянні з методом рівнянь Кирхгофа і можливість формалізації рішення, що дозволяє розраховувати дуже складні електричні ланцюги з застосуванням обчислювальних машин.

4. МЕТОД НАКЛАДЕННЯ

Метод накладення, застосовуваний для розрахунку електричних ланцюгів, заснований на принципі накладення, що затверджує, що струм у будь-якій галузі лінійного електричного ланцюга, що містить кілька джерел ЕРС, можна розглядати як алгебраїчну суму часткових струмів, створених у цій галузі дією кожної ЕРС окремо.

Справедливість цього принципу випливає безпосередньо з вираження (6.12)

n

Ik = Σ Δjk /Δ *Ej ,



j=1

отриманого в попередньому підрозділі. Дійсно, якщо в цьому вираженні покласти усі ЕРС, крім E1, рівними нулю, то одержимо частковий струм у k-й галузі I!k, викликаний дією тільки э.д.с. Е1 . Якщо вважати Е2 =/=0, а інші ЕРС рівними нулю, то одержимо частковий струм I!k, викликаний дією

тільки ЕРС Е2, і т.д. Алгебраїчна сума всіх часткових струмів дасть дійсний струм, що протікає в k-й галузі.

. Рис. 2.24 Рис. 2.25

Цей принцип застосуємо не тільки до струмів, але і до напруг, тому що вони лінійно зв'язані зі струмами. До розрахунку ж потужності цей принцип застосувати не можна, тому що потужність є не лінійної, а квадратичною функцією чи струму напруги. Насправді, якщо по ділянці ланцюга з опором Z проходить струм I = I1 + I2 , то потужність P = ZI2 = Z(I1 + I2)2 = ZI12 +2ZI1I2 +ZI22 , а не ZI12 +ZI22 ,як варто було б із принципу накладення.

Застосування принципу накладення до розрахунку електричних ланцюгів складає зміст методу накладення. Використовуючи цей метод, можна знайти струми в галузях без складання і рішення системи рівнянь, а безпосередньо за законом Ома. При цьому спочатку знаходять часткові струми від дії кожного джерела ЕРС окремо, приймаючи інші э.д.с. рівними нулю і залишаючи в схемі тільки їхні внутрішні опори, а потім-дійсні струми як алгебраїчні суми часткових струмів.

На закінчення необхідно відзначити, що метод накладення застосуємо тільки до лінійних електричних ланцюгів.



5. МЕТОД ВУЗЛОВИХ ПОТЕНЦІАЛІВ

Розрахунок складних електричних ланцюгів методом вузлових потенціалів, чи вузлових напруг, зводиться до рішення системи рівнянь, складених тільки по першому законі Кирхгофа. З цих рівнянь визначають напруги

у вузлах схеми електричного ланцюга щодо деякого базисного вузла, потенціал якого приймають рівним нулю, а струми в галузях, що з'єднують

вузли, знаходять за законом Ома.

Сутність цього методу розглянемо на прикладі електричного ланцюга (мал. 2.26), джерела енергії якої задані у виді джерел струму.

Потенціал одного з вузлів, наприклад нульового, зафіксуємо і будемо вважати його рівним нулю. Такий вузол звичайно називають базисним вузлом. При цьому потенціали інших вузлів будуть дорівнюють напругам між цими вузлами і базисним вузлом.

Вибравши позитивні напрямки струмів, складемо рівняння по першому законі Кирхгофа для незаземлених вузлів:

J1 = I1 + I3 = (φ1 – φ0) g1 + (φ1 – φ0) g3;

J2 = I2 - I3 = (φ2 – φ0) g2 + (φ1 – φ2) g3;

де g1 = 1/Z1 ; g1 = 1/Z1 ; g1 = 1/Z1 .

З огляду на, що φ0 = 0, після перетворення одержимо;

J1 = (g1 + g31 – g3 φ2 ;

J2 = - g3 φ1 + (g2 + g3) φ2 ;
Позначивши g11 = g1 + g3 ; g22 = g2 + g3 ; g12 = g21 = - g3

одержимо:



J1 = g11 φ1 + g12 φ2 ;

J2 = g21 φ1 + g22 φ2 ;
У загальному випадку для електричного ланцюга, що має (n+1) вузлів, система рівнянь для визначення вузлових потенціалів буде мати вид:

g11 φ1 + g12 φ2 + … + g1n φn = J1

g21 φ1 + g22 φ2 + … + g2n φn = J2

…………………………………



gn1 φ1 + gn2 φ2 + … + gnn φn = Jn
де gkk власна провідність k-го вузла, рівна сумі про-водимостей усіх галузей, з'єднаних з цим вузлом; ця провідність завжди позитивна;

gkjвзаємна провідність між k-м і j-м вузлами, рівна сумі проводимостей гілок, що з'єднують ці вузли; ця провідність при обраному напрямку усіх вузлових напруг до базисного вузла для ланцюгів, що не містять залежних джерел електричної енергії, завжди негативна;

Jk - вузловий струм k-го вузла, дорівнює алгебраїчній сумі струмів джерел струму, приєднаних до k- му вузла, ці струми беруться зі знаком «плюс», якщо вони спрямовані до вузла, і зі знаком «мінус», якщо спрямовані від вузла. Вище передбачалося, що джерела електричної енергії задані у виді джерел струму.

У випадку якщо яка-небудь галузь містить ідеальне джерело э.д.с., тобто її опір дорівнює нулю, і, отже, напруга між двома вузлами задано, доцільно як базисний вузол вибрати один з вузлів даної галузі. У цьому випадку число невідомих вузлових напруг і, отже, число вузлових рівнянь скоротиться на одиницю.

Для пасивних ланцюгів завжди справедлива рівність gkj = gjk ,а для активних ланцюгів ця рівність може виявитися несправедливим.

Рішення одним з відомих методів системи рівнянь (2.42) дає можливість знайти потенціали вузлів, знаючи які, можна за законом Ома знайти струми у всіх гілках. При розрахунку електричних ланцюгів методом вузлових потенціалів доцільно дотримувати наступного порядку:

1.Прийняти потенціал одного з вузлів рівним нулю, тобто заземлити один з вуз-

лів і пронумерувати один за одним інші вузли.

2. Обчислити вузлові струми.

3. Визначити власні і взаємні провідності вузлів.

4. Скласти і вирішити систему рівнянь вузлових потенціалів.

5. Знайти струми в гілках.



2.8. МЕТОД ЕКВІВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Метод еквівалентного генератора, застосовуваний для розрахунку електричних ланцюгів, заснований на теоремі про еквівалентний генератор напруги, який стверджує, що струм у будь-якій гілці аб



Мал. 2.28 Мал. 2.29

(мал. 2.28) лінійного електричного ланцюга не зміниться, якщо іншу частину електричного ланцюга замінити еквівалентним джерелом напруги (мал. 2.29), ЕРС якого Еэ дорівнює напрузі на затисках розімкнутої гілки аб, а внутрішній опір Zэ дорівнює опору між точками розриву аб, за умови, що джерела ЕРС і токи (струм) замінені їхнім внутрішнім опорами.

Метод розрахунку електричних ланцюгів, заснований на теоремі про еквівалентний генератор, особливо зручно застосовувати тоді, коли потрібно знайти струм в одній з гілок електричного ланцюга.

Ця гілка розглядається як навантажувальний опір. Уся схема електричного ланцюга, що залишилася, розглядається як еквівалентний генератор. У загальному випадку гіалка електричного ланцюга, у якій необхідно знайти струм, може містити джерела ЕРС, а в частині схеми, що залишилася, електричного ланцюга можна виділити кілька еквівалентних генераторів.
Висновки.

1.Метод рівнянь Кирхгофа є універсальним і найбільш трудомістким у розрахунках.

2.Метод контурних струмів заснований на рішенні рівнянь, які складаються за другим законом Кирхгофа щодо невідомих контурних струмів.Канонічність рівнянь, складених по цьому методі, можливість формалізації рішення дозволяє розраховувати складні електричні ланцюги з застосуванням ЕОМ.

3.Метод накладення відображає сутність другого закону Кирхгофа.



4.Метод вузлових потенціалів напруг використовує рішення незалежних вузлових рівнянь, складених за першим законом Кирхгофа.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка