Лекція 6 Методи планування експерименту При моделюванні використовують пасивний і активний експерименти. Пасивний експеримент характерний тим, що при ньому



Скачати 69.22 Kb.
Дата конвертації20.11.2016
Розмір69.22 Kb.
Лекція 6
Методи планування експерименту

При моделюванні використовують пасивний і активний експерименти.

Пасивний експеримент характерний тим, що при ньому відсутня можливість вибирати умови досліду за власним розсудом і встановлювати значення факторів у кожному досліді.

Вибір виду залежності вихідного параметра макромоделі y (у загальному випадку розглядається вектор вихідних параметрів у) від зовнішніх параметрів, об'єднаних у вектор факторів Q, здійснюється проектувальником.

Звичайно в методах планування експерименту використовують лінійні

(6.1)

або квадратичні моделі



(6.2)

де А – вектор-рядок коефіцієнтів (параметрів) моделі; У – вектор, що включає фактори qk, ті чи інші добутки з двох, трьох і більше факторів і, можливо, квадрати факторів ; р – число факторів.

Число дослідів N, як правило, повинне перевищувати число обумовлених параметрів вектора А. Параметри розраховують за NHK, тобто з умови мінімізації суми квадратів відхилень значень , встановленнях за рівнянням моделі (6.1), і обмірюваних значень

, (6.3)

де l – номер досліду.

Перевага активних експериментів перед пасивними полягає в тому, що відкривається можливість одержання оптимального розташування області адекватності, у її збільшеному обсязі, у спрощенні оцінок точності і т.п.

Регресивний аналіз


Зв'язок між у і Q може бути не функціональним, а статистичним, що особливо характерно при пасивних експериментах. Для одержання моделі в такій ситуації часто застосовують регресивний аналіз. Модель шукаємо у формі рівняння регресії (6.1), в якому роль коефіцієнтів аk у векторі А виконують коефіцієнти відносної регресії.

Алгоритм обчислення аk:

1) За результатами пасивних експериментів одержують оцінки математичних чекань Му, Мх, середньоквадратичних відхилень відповідно для вихідного у і зовнішніх qk параметрів, а також коефіцієнти кореляції rk між у і qk, що утворять вектор R, і коефіцієнти кореляції αkj, між факторами і qj, що утворять матрицю D.

2) Розв’язуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:



(6.4)
і отриманий вектор η=( η1, η2,…,ηр) використовуємо при розрахунку відносних коефіцієнтів регресії за формулою

(6.5)

У випадку, якщо фактори qk некорельовані, то D – одинична матриця і немає необхідності вирішувати систему (6.4), тому що



Експериментальне визначення оптимальних параметрів світлотехнічних і електротехнічних пристроїв методом градієнтного спуску. Побудова багатофакторного експерименту


Через відсутність точної математичної моделі пошук конструктивних та інших параметрів, забезпечення максимального наближення до ідеальних лампових або вольтсекундних характеристик запобіжників можливо тільки на основі експерименту. Розглянемо розв’язання задачі оптимального планування експерименту. Для її вирішення скористаємося методом градієнтного спуску. Відповідно до цього методу для руху до оптимуму вибираємо найкращий локальний напрямок найшвидшої зміни функції (тобто за градієнтом).

Для вибору кроку ітерації можна використовувати числа Фібоначчі, що дозволяє істотно скоротити обсяг обчислень у порівнянні з методом золотого перетину, розділення відрізка навпіл та ін. Для ілюстрації методу розглянемо функцію Ф(х1,…,хn), що залежить від параметрів, де Ф0 – задане значення, яке потрібно одержати при проектуванні нового виду освітлювача.

Тоді поставлена задача може бути сформульована як задача вирішення отриманого на основі експерименту нелінійного рівняння

(6.6)
де Ф(х1,…,хn) – реально існуюча, але невідома нам складна функціональна залежність, окремі значення якої будемо встановлювати експериментально.

Вирішення рівняння (6.6) доцільно звести до задачі мінімізації функції декількох змінних



(6.7)

Пошук глобального мінімуму функції (6.7) дозволив би розв’язати тим самим рівняння (6.6). Тому будемо вирішувати наступну задачу оптимізації:





,
де х – область визначення функцій (6.6) і (6.7).

Для вирішення задачі (6.7) звернемося до одного з методів спуску. Сутність цього методу полягає в тому, що при заданому наближенні визначається будь-який напрямок, в якому функція убуває, і здійснюється переміщення наближення у цьому напрямку. Наближення оцінюємо у вигляді



(6.8)
а значення αm знаходимо з умови

. (6.9)

Таким чином, даний алгоритм полягає в послідовній мінімізації функції однієї змінної αm. Матимемо на увазі, що у виразі (6.8) і (6.9) є вектором



Введемо позначення для допоміжної функції однієї змінної:



(6.10)

Слід зазначити, що в одержанні повного рішення задачі мінімізації (6.9) немає необхідності. Доцільно досягти лише деякого зсуву убік мінімуму допоміжної функції однієї змінної і потім перейти до наступного кроку ітераційного процесу. В околиці точки свого мінімуму допоміжна функція однієї змінної змінюється незначно і перебування її точки мінімуму не призведе до істотного зменшення розглянутих значень функції, коли врахувати, що



(6.11)

Зважаючи на специфіку нашої функціональної залежності (значення якої встановлюється лише експериментальним шляхом), для перебування часткових похідних за параметрами можна скористатися наближеною формулою



(6.12)

Для мінімізації функції однієї змінної ψ(αm) скористаємося планом Фібоначчі пошуку екстремуму, оскільки він вимагає найменшої кількості дій при заданій точності. Задавшись точністю ξ, визначимо αm з умови



де ul+1число Фібоначчі, яке розраховуємо за формулою ul+1=ul+ul-1, u1=u2=1. Знаходимо необхідне число ітерацій для визначення αm із заданою точністю.


Методика з обробки і планування експерименту на основі ЕОМ

Багато з розглянутих вище методів планування експерименту, що дозволяють одержати оптимальні в деякому плпні рішення експериментальних задач, вимагають великого обсягу обчислень. Тому прагнуть максимально використовувати ЕОМ, а в деяких випадках майже повністю автоматизувати експеримент.



Обробка статистичної сукупності даних


При обробці результатів експерименту над n об'єктами х1, х2,…,хn однієї генеральної сукупності можна виділити наступні етапи:

- упорядкування за величиною результатів спостережень (складання варіаційного ряду);

- складання статистичного ряду, тобто таблиці емпіричного розподілу;

- побудова гістограмами або полігону емпіричного розподілу;

- обчислення математичного чекання, дисперсії, середньоквадратичного відхилення, коефіцієнтів асиметрії й ексцесу досліджуваної випадкової величини;

- обчислення χ2 – критерію емпіричного розподілу.

Перераховані етапи обробки дослідних даних можна записати на будь-якій алгоритмічній мові. Однак, незважаючи на існуючі формальні прийоми розбивки діапазону величин, що спостерігаються, при відсутності апріорних даних про їхній закон розподілу важко заздалегідь призначити кількість розрядів статистичного ряду і їх границь. У цьому випадку доцільно автоматизувати роботу з упорядкування і розрахунку повторюваності складових простого варіаційного ряду, а побудову гістограми розподілу здійснювати вручну. З аналогічних міркувань доцільно доручити ЕОМ трудомісткі розрахунки математичних чекань, коефіцієнтів асиметрії й ексцесу, χ2-критерію, а статистичну перевірку зі значущістю, що вимагає табличних значень, виконувати окремо.

Апроксимація дослідних даних багаточленом оптимального ступеня


Якщо при апроксимації дослідних даних у вигляді багаточлена

(6.13)
передбачається, що шукана залежність f(x) може бути точно представлена багаточленом m-ступеня, то виникає задача вибору оптимального ступеня.

Згладжування помилок Δyi обмірюваних значень yi за методом найменших квадратів можливо при m

Якщо вид формули невідомий заздалегідь, то при необхідності підвищити ступінь апроксимуючого багаточлена за методом найменших квадратів потрібно перерахування всіх коефіцієнтів bj(j=1,2,…,m),знайдених для багаточлена ступеня m-1.

Представимо шукані залежності y=f(x) у вигляді узагальненого полінома



(6.14)
де φj(xi) – базисні поліноми Чебишева, що володіють властивостями ортогональності й нормування:

(6.15)

(6.16)
і дозволяють обчислити коефіцієнти аj при будь-якому ступені багаточлена за формулою

. (6.17)

При цьому передбачається, що обмірювана величина yi має тільки незалежну і нормально розподілену випадкову помилку Δyi з однаковою дисперсією при рівноточних вимірах.

Ступінь апроксимації багаточлена yi вважається оптимальним при досягненні мінімуму оцінки дисперсії наближення:

(6.18)
де відповідно до (6.14), (6.16)

, (6.19)
якщо сума квадратів відхилень Δyi від yi. Базисні поліноми Чебишева обчислюються в два етапи. Спочатку обчислюють поліноми

(6.20)
а потім поліноми вищих ступенів за формулою

(6.21)

Попередньо необхідно визначити





(6.22)

Якщо є повторні (q=1,…,ni) для кожного i=1,…,N, досвіду qk, то знаходять середнє



(6.23)

Відповідно до сказаного обчислювальний алгоритм реалізується в два етапи: спочатку знаходимо за формулами (6.22), (6.20), (6.16), (6.17), (6.19), (6.18), а потім за формулами (6.21), (6.16), (6.17), (6.19).








База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка