Лекція 3 Характеристики випадкових похибок Випадкові похибки загальні



Скачати 226.24 Kb.
Дата конвертації16.04.2017
Розмір226.24 Kb.
Лекція 3

Характеристики випадкових похибок



  1. Випадкові похибки(загальні відомості)

  2. Густина та функція розподілу випадкової похибки.

  3. Довірчі границі похибки

  4. Числові характеристики випадкових похибок

  5. Типові моделі густини розподілу випадкової похибки

  6. Обробка результатів непрямих вимірів

  7. Приклад обробки ряду прямих вимірів

  8. Обробка результатів непрямих вимірів

Випадкові похибки(загальні відомості)

Похибки вимірювань зазвичай носять випадковий характер. Випадковість зумовлюється: нестаціонарністю і випадковим характером вимірюваної фізичної величини; несталістю метрологічних характеристик засобів вимірювань, яка визначається випадковим характером формування коефіцієнтів перетворення вимірювальних пристроїв; випадковим характером впливу зовнішніх факторів на засіб вимірювання у процесі вимірювального експерименту

Випадкові похибки - це похибки, що змінюються в часі нерегулярне непередбачувано (рис. 3.1, а), а їх майбутні значення можна прогнозувати лише певною часткою ймовірності.

Випадкові похибки є частиною загальної (сумарної) похибки Δ , що в загальному випадку складається з суми випадкових Δ∑В та суми систематичних Δ∑ С похибок:

Δ = Δ∑В∑ С .
Результати вимірювань, спотворені випадковим похибками, змінюються хаотично. На практиці буває важко відразу відрізнити випадкову похибку від змінної регулярної, наприклад, періодичної.

Незважаючи на хаотичність змін чергових значень випадкових похибок, для них характерна стабільність певних, усереднених в часі, властивостей, наприклад, частоти появи тих чи інших значень, середнього та середнього квадратичного значень, статистичного взаємозв'язку між значеннями через певний інтервал часу тощо. Ці властиво випадкових похибок використовують для зменшення їх впливу на результат вимірювання.


Рис. 3.1. Графік поведінки випадкової похибки (а) та густина розподілу її значень (б)



Густина та функція розподілу випадкової похибки.

Однією з найважливіших характеристик випадкової похибки є її густина (закон, щільність) розподілу значень р(∆). Вона характеризує частість появи тих чи інших значень похибки.

Нехай вимірювання деякої величини супроводжувалося випадковою похибкою, яка в різні моменти часу набувала різні значення, а результати вимірювань були проквантовані (рис. 3.1, а). Якщо уявити, що рівні квантування - натягнені дротинки, а результати вимірювань - кульки, що можуть ковзати по них то, струсивши отримані за певний, досить тривалий час, всі кульки в один бік (рис. 3.1,6), одержимо наочний аналог густини розподілу випадкової похибки.

Залежно від того, які значення може набувати похибка, густина розподілу може бути неперервною або дискретною (квантованою за значенням) функцією. При квантуванні випадкової похибки кількість значень, що потрапили до одного кванта, віднесена до загальної кількості результатів, є оцінкою ймовірності появи похибки певного значення (подібно як на рис. 3.1,6).

Для неперервної інтенсивності значень випадкової похибки її густина розподілу (рис. 3.2) не є ймовірністю, але за її допомогою можна встановити імовірність Р того, що похибка потрапить у певний інтервал ∆1 ≤ ∆ ≤ ∆2 (подібно до того, як питома густина матеріалу якогось об'єкта не є масою, але дає можливість визначити масу конкретної частини об'єму цього об'єкта). Для цього потрібно проінтегрувати густину розподілу в межах заданого інтервалу (що є площею криволінійної трапеції (рис. 3.2, а))




Рис. 3.2. Густина (а) та функція розподілу (б) випадкової похибки
Оскільки ймовірність появи якоїсь події не може бути від'ємною, а також більшою за 1 (чи 100 %), то густина розподілу має такі властивості:

- вона є невід'ємною функцією:



- площа під її кривою (інтеграл у нескінченних межах) дорівнює одиниці:



Це означає, що в усьому діапазоні можливих значень похибка обов'язково набуде якесь значення (зокрема, можливо, і нульове).

Розраховуючи так звані інтервальні характеристики випадкових похибок (інтервалів, в яких з певною ймовірністю може знаходитись випадкова похибка), використовують функцію розподілу F(∆), яка за означенням відображає ймовірність появи похибки в діапазоні від -∞ до поточного значення ∆

Функція розподілу є інтегральною характеристикою густини розподілу



Вона є додатною (як ймовірність), неспадною функцією (рис. 3.2, б), що змінює своє значення від 0 до 1.

Знаючи функцію розподілу, можна відразу, оминаючи густину розподілу, знайти ймовірність появи похибки в інтервалі

.

Знаючи функцію розподілу випадкової похибки, диферен­ціюючи її, легко розрахувати густину розподілу

.
Довірчі границі похибки

Випадкова похибка може набувати довільні, зокрема теоретично як завгодно великі значення (густина розподілу простягається від - ∞ до +∞). Виключити її неможливо тому, що невідомо яке конкретне значення вона прийме при даному вимірі. Тому для оцінювання впливу випадкової похибки на результат виміру задаються діапазоном похибок ∆н та ∆в (відповідно до очікуваного значення вимірювальної величини Х) та знаходять вірогідність того, що істине значення вимірювальної величини знаходиться між Х-∆н та Х+∆в . Інтервал Х-∆н та Х+∆в називають довірчим інтервалом, а вірогідність того, що Хі знаходиться всередині цього інтервалу довірчою ймовірністю Рд



Рд = Р (∆н ≤ ∆ ≤ ∆в ) .

Зазвичай вибирають ∆н = ∆в, тоді



Рд = Р ( ∆ ≤ ∆н ).

Функція розподілу похибки може бути визначена (рис. 3.3, а):

знизу

і зверху ,

де α = - ймовірність (ризик) виходу похибки за, межі довірчих границь (рис. 3.3, б).



Рис. 3.3. Довірчі границі випадкової похибки

Числові характеристики випадкових похибок
Найуживанішими числовими характеристиками випадкових похибок є математичне сподівання та дисперсія.

Математичне сподівання m характеризує серединне значення, навколо якого групуються можливі значення похибки (рис. 3.4, а). Його практичною оцінкою є середнє значення випадкової похибки. Під час теоретичного аналізу математичне сподівання (операцію математичного сподівання позначають символом М[∆] ) знаходять, обчислюючи інтеграл від добутку похибки на її густину розподілу

.

При нормальному розподілі параметр m якраз і є математичним сподіван­ням.

Розмірність математичного сподівання дорівнює розмірності похибки.

Рис. 3.4 Властивості математичного сподівання (а) та середньо-квадратичного відхилення (б) похибки


Дисперсія. Математичне сподівання не повністю характеризує випадкову похибку. Зокрема, на рис. 3.4, б показано два нормальні розподіли з однаковими математичними сподіваннями. Як бачимо, похибки, що описуються цими розподілами, мають зовсім інший характер: в одному випадку вони тісніше групуються навколо математичного сподівання, а в іншому - мають значне більше розсіяння. Мірою тісноти групування значень похибки навколо математичного сподівання чи мірою розсіювання випадкової похибки є її дисперсія. Дисперсію при теоретичному аналізі знаходять як математичне сподівання квадрата відхилення похибки від її математичного сподівання, тобто обчислюємо інтеграл

.

Чим більше розсіяння похибки, тим більша її дисперсія. Власне слово "дисперсія" і означає розсіяння.



Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності похибки.

Враховуючи, що розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності похибки її використання на практиці незручно. Тому замість дисперсії використовують так зване стандартне відхилення, або середнє квадратичне значення похибки (середнє квадратичне відхилення (СКВ) очікуваного результату вимірювання)



що має ту ж саму розмірність, що і вимірювана величина.

СКВ характеризує ширину розсіянь значень похибки навколо серединного значення m. Зі збільшенням σ густина розподілу стає біль сплющеною до горизонтальної осі (більше розсіяння похибок), а при зменшенні σ вона витягується у вертикальному напрямку (менше розсіяння похибок) (рис. 3.4,б )


Типові моделі густини розподілу випадкової похибки
У кожному конкретному випадку розмір похибки може мати різний розподіл. Для зручності аналізу використовують теоретичні моделі розподілів. Є величезне розмаїття моделей густини розподілів. Серед таких моделей виділимо два, як пев­ною мірою найхарактерніші - рівномірний та нормальний (гауссівський) розподіли.

Рівномірний розподіл. Для рівномірного розподілу (рис. 3.5, а) характерна однакова частота появи різних похибок в діапазоні від а до b,. Ніякі значення похибки не мають переваги над іншими. Густина рівномірного розподілу має простий аналітичний опис

Висоту прямокутника розподілу h легко знайти, виходячи з другої властивості густини (площа під кривою розподілу дорівнює одиниці). Оскільки ширина прямокутника розподілу дорівнює b - а, то його висота



,

де ν =b - a - розмах густини розподілу. Для рівномірного в межах розподілу від а до b функція розподілу є прямою лінією (рис. 3.5, б).

Для рівномірного у межах від a до b розподілу похибки математичне споді­вання можна знайти без обчислення інтеграла як середину прямокутника

,

а дисперсія становить одну дванадцяту від квадрату розмаху



.

Рис. 3.5. Густина та функція розподілів рівномірного (а, б) та нормального (в, г) законів


Нормальний розподіл. Густина нормального (гауссівського) розподілу (рис. 3.5, в) має характерну дзвоно-подібну форму.

За такої форми розподілу при повторних вимірюваннях



  • менші за модулем похибки слід очікувати значно частіше ніж більші,

  • поява додатних та від'ємних похибок рівноможлива.

У практику такий розподіл ввів Гаусс, тому його називають ще й гауссівським. Особливістю нормального розподілу є його стійкість, що проявляється двояко.

Перше - алгебраїчна сума довільної кількості випадкових похибок, кожна з яких розподілена за нормальним законом, завжди має нормальний розподіл.

Друге - розподіл алгебраїчної суми великої кількості випадкових похибок з різними розподілами прямує до нормального (так званий закон великої кількості). Більше того, якщо серед похибок немає таких, що явно домінують над іншими, тобто вони приблизно є рівноважними, то вже при 5-6 складових розподіл їх алгебраїчної суми настільки близький до нормального, що для багатьох практичних застосувань фактичний розподіл приймається як нормальний.

Аналітично нормальний розподіл описується виразом



де m та σ параметри розподілу.

Якщо прийняти, що m = 0 та σ = 1 то будемо мати так званий стандартний нормальний розподіл(рис. 3.6 ), для якого розраховані таблиці значень (затабульовані) густини вірогідності р(Δ) та її функції F (Δ) .

Рис. 3.6 Стандартний нормальний розподіл


Для стандартного нормального закону розподілу (при відсутності систематичної складової у сумарній похибці) густина вірогідності р(Δ) та її функція F (Δ) можуть бути знайдені за виразами

,

,

де - функція Лапласа, що затабульована.

Якщо ми маємо у складі загальної похибки ще систематичну складову Δс, то наведені формули приймають вигляд

,

.

Оцінку попадання похибки у довірчій інтервал Δн - Δв при наявності систематичної складової Δс провадять за виразом



.

При виконанні розрахунків треба враховувати, що функція Лапласа має властивість

Ф(-z) = - Ф(z).

Якщо систематична складова відсутня, то маємо вираз



.

На практиці дуже часто використовують симетричні границі похибки, тобто Δнв = Δ. Тоді маємо



.
Якщо розподіл похибки невідомо то для оцінювання довірчої ймовірності можна скористатися нерівністю Чебищева

,


справедливому при будь-якому розподілі похибок. Нижче наведена таблиця значень імовірності, отриманих для нормального розподілу й за допомогою нерівності Чебишева.



Таблиця 1. Залежність імовірності залежно від значення



Розподіл похибок

Імовірність Р у залежності від значення К

К=1

К=2

К=3

К=4

К=5

Нормальний

0,6828

0,9545

0,9973

0,999937

0,9999994

Довільний

0

0,7500

0,8889

0,9375

0,9600


Таблиця 2. ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ЛАПЛАСА


Z

Ф(z)

Z

Ф(z)

1

2

3

4

0,0

0,00000

2,1

0,48214

0,1

0,03983

2,2

0,48610

0,2

0,77926

2,3

0,48928

0,3

0,11791

2,4

0,49180

0,4

0,15542

2,5

0,49379

0,5

0,19146

2,6

0,49534

0,6

0,22575

2,7

0,49653

0,7

0,25804

2,8

0,49744

0,8

0,28814

2,9

0,49813

0,9

0.31594

3,0

0,49865

1,0

0,34131

3,1

0,49903

1,1

0,36433

3,2

0,49931

1,2

0,38493

3,3

0,49952

1,3

0,40320

3,4

0,49966

1,4

0,41924

3.5

0,49977

1,5

0,43319

3,6

0,49984

1,6

0,44520

3,7

0,49989

1,7

0,45543

3,8

0,49993

1,8

0,46407

3,9

0,49995

1,9

0,47128

4,0

0,499968

2,0

0,47725

4,5

0,499999

Ця модель може бути використана при використанні при обчисленні середнього значення вимірюваваного параметра за результатами більш, ніж 20 спостережень.

При малому числі спостережень (n<20) довірчий інтервал визначають за допомогою коефіцієнта Стьюдента t , для якого - Pд = t.

Коефіцієнт t можна визначити з таблиці 3 по числу спостережень n і заданої /обраної/ довірчої ймовірності P.


Таблиця 3

n

P




0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,99

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1,00

1,38

2,0

3,1

6,3

12,7

63,7

3

0,82

1,06

1,3

1,9

2,9

4,3

9,9

4

0,77

0,98

1,3

1,6

2,4

3,2

5,8

5

0,74

0,94

1,2

1,5

2,1

2,8

4,6

6

0,73

0,92

1,2

1,5

2,0

2,6

4,0

7

0,72

0,90

1,1

1,4

1,9

2,4

3,7

8

0,71

0,90

1,1

1,4

1,9

2,4

3,5

9

0,71

0,90

1,1

1,4

1,9

2,3

3,4

10

0,70

0,88

1,1

1,4

1,8

2,3

3,3

12

0,70

0,87

1,1

1,4

1,8

2,2

3,1

14

0,69

0,87

1,1

1,4

1,8

2,2

3,0

16

0,69

0,87

1,1

1,3

1,8

2,1

2,9

18

0,69

0,86

1,1

1,3

1,7

2,1

2,9

20

0,69

0,86

1,1

1,3

1,7

2,1

2,9

Показником точності є інтервал, у якому із установленою ймовірністю P знаходять сумарну похибку виміру:



Х; (x) від н(х) до в(х); P,

де: (x), н(х), в(х) - похибка виміру відповідно з нижньою й верхньою границею, у тих же одиницях;

Р імовірність, з якої похибка виміру перебуває в цих границях.

Наприклад: 121 м/с; від -1 до 2 м/с; Р = 0,99.

При симетричному довірчому інтервалі допускається записувати результат у вигляді (Х ); Р. Наприклад: (100±1) В; Р=0,95,

При запису результату вимірювань необхідно дотримувати наступні правила:



  • число значущих цифр у показнику точності повинне бути не більше двох;

  • останній розряд середнього визначається останнім розрядом похибки.

Обчислення показників точності виконують у такому порядку:

1/ обчислюють середнє арифметичне серії вимірів X ;

2/ знаходять оцінку СКВ результату x,

3/ задавшись імовірністю P по табл. 3, знаходять t із графи, що відповідає даному P і числу спостережень n;



4/ знайдений довірчий інтервал представляють у вигляді tx
Приклад обробки ряду прямих вимірів
При вимірі напруги джерела живлення отримані наступні результати, В: 9,78; 9,65; 9,83; 9,69; 9,74; 9,80; 9,68:9,71; 9,81. Знайти результат і похибку виміру напруги й записати в стандартній формі, якщо систематична похибка відсутня, а випадкова розподілена за нормальним законом.

Рішення:
1. Знаходять середнє арифметичне й приймають його за результат виміру:


2. Визначають СКО похибки результату виміру:

3. Визначають довірчий інтервал похибки виміру. Оскільки в розглянутому завданні число вимірів n<20, те довірчий інтервал визначається коефіцієнтом Стьюдента t(n,p). Задавшись імовірністю 0,95 (n=9),по табл. 3 знаходимо значення коефіцієнта Стьюдента: t=2,306. Границі довірчого інтервалу: = tx =0,0215.2,306=0,0496(0,05 У.

  1. Записують результат виміру відповідно до першого форми Гост 8.011-72:

9,74 В; від -0,05 до 0,05 В; Р = 0,95.
Обробка результатів непрямих вимірів
При непрямих вимірах, коли виміряється не сама величина безпосередньо, а інші величини, зв'язані певною залежністю з величиною, що підлягає виміру, похибка результату залежить від похибки кожного із прямих вимірів, що входять у непрямий вимір.

Припустимо, що варто визначити величину В прямими вимірами інших величин x1, x2 …...., x, з якими вона зв'язана залежністю y = f(x1, x2…..., xm). Нехай для кожної з величин xi відомий результат, систематична похибка ci, CKO випадкової похибки xi. Потрібно знайти результат й оцінити похибку визначення.

Завдання вирішується в такий спосіб.
1. Значення величини y знаходять, підставляючи в залежність y=f(x1, x2,…, xm) відомі значення xi .

2. Систематичну похибку виміру У визначають по формулі:
,
де частки похідні обчислюють при .
3. СКО випадкової похибки для y знаходять за виразом:
,

де rij - коефіцієнт кореляції між i-й й j-й похибками.

Якщо похибки коррельовані ri= ± 1, вираження для y прийме вигляд:

При незалежних похибках rij=0, і вираз для СКО можна записати як:

Приклад. Визначити результат і похибку непрямого виміру потужності за результатами прямих вимірів струму й опору з незалежними випадковими похибками, розподіленими за нормальним законом: I=(15,00,02) А; P=0,99;

R=(10,00,8) Ом; P=0,9.



Результат записати в стандартній формі для P= 0,96.
Рішення:
1. Визначають результат непрямого виміру потужності по формулі Р=I2R= 5,02*10,0 = 250 Вт.

2. Визначають СКО випадкової похибки непрямого виміру. Для цього спочатку знаходять СКО похибок прямих вимірів I й R.

, де I= 0,01 А - половина довірчого інтервалу випадкової похибки виміру струму, ZI- значення аргументу Z для функції Лапласа (Z) при

3. По табл. 2 для (Z)= 0,495 знаходять, що ZI = 2,58.

Звідси I = 0,01/2,58 = 0,0039 А.

Аналогічно для знаходження R визначають . По табл. 2 для (Z)= 0,45 знаходять ZR = 1,65 й

R=R/ZR=0,8/1,65 = 0,485 Ом.

Обчислюють частки похідні:





Остаточно визначають СКО непрямого виміру:



4. Визначають довірчий інтервал для похибки непрямого виміру потужності з довірчою ймовірністю P=0,96.

Для (Z)=PP/2=0,96/2 = 0,48 по табл. 2 знаходять ZP = 2,04 й обчислюють довірчий інтервал:



  1. Записують результат у стандартній формі:

Р=25024,9 Вт, Р=0,96. .


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка