Лекція 22 Тема 11. Складний опір >11 Поняття про складний опір Розтяг, стиск, кручення, згин спричиняються простими видами навантаження



Скачати 102.35 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір102.35 Kb.
Лекція 22

Тема 11. Складний опір
11.1. Поняття про складний опір

Розтяг, стиск, кручення, згин спричиняються простими видами навантаження.

Складне навантаження – це комбінація простих.

Опір матеріалів дії різних комбінацій простих навантажень називається складним.

Види складного опору:



  1. Косий і складний згин.

  2. Згин з розтягом (стиском).

  3. Позацентровий розтяг (стиск).

  4. Згин з крученням.

Для визначення напружень використовують принцип суперпозиції: напруження при складному опорі представляють як суму напружень, спричинених кожним видом простого навантаження окремо.

При обчисленні напружень використовують наступне правило знаків для згинальних моментів: згинальний момент будемо вважати додатнім, якщо він викликає в точці першого квадранта розтягувальні напруження.


11.2. Косий і складний згин


Згин, при якому всі зусилля діють в одній площині, що проходить через вісь балки, але не збігається з головними площинами балки, називається косим.

Складний згин створюється силами і моментами, що діють в різних площинах, які проходять через вісь балки.

Оскільки при складному згині вісь балки не є плоскою кривою, цей згин називається ще неплоским або просторовим.








11.2.1. Визначення напружень при косому і складному згині.

Косий і складний згин розглядаються як одночасний згин у двох головних площинах і , де , - головні центральні осі інерції перерізу.

Порядок розрахунку:


  1. Всі зовнішні сили і моменти проектуємо на головні площини , .

Для наведеного раніше прикладу косого згину будемо мати.

Косий згин

(11.1)

Пл.



Пл.



При складному згині кут для різних сил не буде однаковим.

  1. В кожній із головних площин будуємо епюри згинальних моментів .

3. Нормальні напруження в точці з координатами в будь-якому перерізі визначаємо як суму напружень, спричинених моментами , що діють в цьому перерізі:



(11.2)

Величина і визначається за по епюрами. Напрямок дії моментів в перерізі визначаються по розміщенні епюр, які будуються на стиснутих волокнах. Знак і – за наведеним вище правилом. В формулі (11.2) підставляються зі своїми знаками.


11.2.2. Визначення положення нейтральної лінії

Встановимо рівняння нейтральної лінії. Оскільки для точок нейтральної лінії напруження дорівнюють нулю, підставимо у вираз (11.2) . Одержимо рівняння нейтральної лінії:



, де - координати точок нейтральної лінії.

Звідси кут нахилу нейтральної лінії до осі



. (11.3)

Формула (11.3) справедлива як для косого, так і для складного згину. Для косого згину формулі (11.3) можна надати інший вигляд. З рівняння (11.1) маємо



.

В результаті



. (11.4)
Нейтральна лінія проходить через центр перерізу і повернута на відносно осі в ту ж сторону, в яку силова лінія повернута відносно осі на кут .

В загальному випадку нейтральна лінія не перпендикулярна до силової лінії. Тільки для поперечних перерізів, у яких (квадрат, круг), нейтральна лінія перпендикулярна до силової лінії.



11.2.3. Визначення прогинів

Для того щоб визначити прогин балки при косому або складному згинах, вираховуємо методом Мора або Верещагіна переміщення в кожній із головних площин. Нехай прогин в напрямку осі , а в напрямку осі . Тоді повний прогин



.

Прогин при косому згині перпендикулярний до нейтральної лінії. Оскільки при косому згині нахил нейтральної лінії постійний по довжині бруса, викривлення осі бруса проходить в одній площині, перпендикулярній до нейтральної лінії. Ця площина називається площиною згину.

При складному згині прогин не завжди перпендикулярний до нейтральної лінії.
11.2.4. Розрахунок на міцність

Визначаємо небезпечний переріз, а в цьому перерізі – небезпечну точку.

При косому згині небезпечний переріз той, де діє максимальний сумарний згинальний момент .

При складному згині перевіряють на міцність в ряді перерізів, де і досягають великих значень.

Для визначення небезпечних точок в перерізі розглянемо декілька випадків.

1) Загальний випадок – поперечний переріз довільного профілю.

а) За допомогою епюр визначають величину і напрямок моментів в перерізі.

б) Визначаємо положення нейтральної лінії

.

в) Знаходимо координати точок, найбільш віддалених від нейтральної лінії.

г) Запишемо умови міцності для цих точок

(11.5)

Для матеріалів, що однаково опираються розтягу і стиску, і тому перевірка на міцність проводиться в одній найбільш віддаленій точці.



2) Окремі випадки:

а) Поперечний переріз прямокутного профілю або профілю, що вписується в прямокутник і має з ним спільні кути.

Небезпечні точки – кутові як найбільш віддалені від нейтральної лінії при будь-якому її положенні. Умова міцності

(11.6)

Оскільки, а для конструкційних матеріалів , перевірку на міцність в т.B не проводять.

б) Круглий поперечний переріз

Тут немає точок, де підсумовуються напруження і . Тому формулою (11.6) користуватись не можна.

Небезпечні точки знаходяться на контурі в площині, де діє сумарний згинальний момент

Умова міцності матиме вигляд



. (11.7)

Як і в попередньому випадку умову міцності для точки, де діють стискувальні напруження, перевіряти недоцільно.



Лекція 23


11.3. Згин з розтягом (стиском)

Якщо на балку діє поздовжнє і поперечне навантаження в перерізах виникають згинальні моменти, поперечні і поздовжня сили: .

Нормальні напруження в точці з координатами будуть визначатися за формулою

(11.8)

Оскільки від напруження рівномірно розподіляється по поперечному перерізу, то небезпечними будуть ті точки, де виникають максимальні і мінімальні напруження від одного згину. Тому, щоб знайти небезпечні точки, знаходимо положення нейтральної лінії при дії тільки (без ). Кут нахилу нейтральної лінії до осі Z визначається як при складному згині:



. (11.9)

Небезпечними будуть найбільш віддалені від нейтральної лінії – точки А і В.

Якщо від згину в т. А виникають розтягувальні напруження, а в т. В – стискувальні, тоді

(11.10)

Для перерізів прямокутного профілю, або тих що вписуються в прямокутник і мають з ним спільні кути, небезпечними є кутові точки, і тому



(11.11)

Для круглого перерізу:



(11.12)
11.4. Позацентровий розтяг (стиск) прямого бруса
Позацентровий розтяг (стиск) має місце тоді, коли брус розтягується (стискується) силами, рівнодійна яких паралельна осі бруса, але не збігається з віссю.

Точка прикладання рівнодійної осьових сил називається полюсом сили і позначається – .



– координати полюса;

– ексцентриситет.

У будь-якому перерізі бруса діють:



(11.13)

Тобто позацентровий розтяг (стиск) – це окремий випадок складного згину з розтягом (стиском).


11.4.1. Визначення напружень

Напруження в точці А з координатами :



.

Підставляючи в формулу значення зусиль згідно з (11.13), одержимо



(11.14)

В формулу (11.14) сила і координати підставляються зі своїми знаками.

Представимо формулу (11.14) в іншому вигляді.

. Введемо поняття радіусів інерції відносно осей:

. Остаточно одержимо

(11.15)

В формулі (11.15) силу Р і координати підставляємо зі своїми знаками.


11.4.2. Рівняння нейтральної лінії

Прирівнюючи в формулі (11.15) напруження до нуля, одержимо рівняння нейтральної лінії



.

Положення нейтральної лінії в перерізі будемо встановлювати за допомогою відрізків, які вона відсікає на осях координат. Для їх визначення підставимо в рівняння по черзі і . Одержимо



; . (11.16)

11.4.3. Розрахунок на міцність

Небезпечні точки – найбільш віддалені від нейтральної лінії. Умови міцності:



(11.17)

Для прямокутного перерізу з формули (11.14) маємо



.

Для круглого перерізу . Умови міцності .


11.4.4. Ядро перерізу (для самостійного вивчення)

Положення нейтральної лінії залежить від положення полюса р. Якщо сила прикладена в центрі ваги, нейтральна лінія знаходиться на нескінченності. В міру віддалення сили Р від центра перерізу нейтральна лінія наближається до перерізу.








Ядро перерізу – це область навколо центра ваги, прикладання сили в якій спричиняє в усіх точках перерізу напруження одного знаку.

Щоб визначити ядро перерізу необхідно уявити, що нейтральна лінія обкочується навколо перерізу і для кожного її положення знайти полюс р, який накреслить контур ядра.

Методика побудови ядра перерізу:

1. Проводимо нейтральну лінію, дотичну до контуру.

2. Визначаємо графічно .

3. Використовуючи формули (11.16), знаходимо координати полюса.



; .

4. Проводимо другу нейтральну лінію і т. д.


Приклади:

  1. Визначити ядро круглого перерізу.

; ;



,

  1. Визначити ядро прямокутного перерізу.

; ; ;

.

Нейтральна лінія :



; ; .

Нейтральна лінія :



; .

При повороті нейтральної лінії навколо фіксованої точки контуру перерізу (кутової точки), точка прикладання сили Р переміщається вздовж прямої. Одержимо ядро перерізу у вигляді ромба.

Визначення контуру ядра має практичне значення для стержнів, матеріал яких погано опирається напруженням розтягу. Потрібно подбати про те, щоб стискувальна сила прикладалась у границях ядра, тоді в усіх точках перерізу будуть тільки стискувальні напруження.


Лекція №24



11.5. Згин з крученням
На згин з крученням працюють вали, стержні просторових рам тощо.


Зубчаста передача



Розрахункова схема вала

Крутний момент кНм, де потужність в Вт, кутова швидкість в с-1 ; колова сила ; радіальна сила ; .


Пасова передача



Розрахункова схема вала






Сила, що діє на вал, де T , t – сили натягу віток паса.

Крутний момент ; .

При згині з крученням в поперечних перерізах вала виникають силові фактори:



. Діями нехтуємо.
11.5.1. Розрахунок на згин з крученням круглих валів
1. Проектуємо всі сили на площини .

2. Будуємо епюри згинальних моментів

3. В перерізах вала, в яких на епюрах є переломи, визначають сумарні згинальні моменти.

.

Будуємо епюру М. Величини М відкладаємо в одній площині по одну сторону від осі. Точки з’єднуємо прямими.

4. Будуємо епюру крутного моменту.

5. За епюрами і встановлюємо небезпечні перерізи

6. Визначаємо максимальні напруження в небезпечних перерізах і розраховуємо на міцність:

; ;

; . (11.18)

Головні напруження:



(11.19)

Умови міцності за різними теоріями міцності:



; (11.20)

; (11.21)

, (11.25)

.

Підставляємо (11.18) в (11.20):



;

. (11.26)

Підставляємо (11.18) в (11.21):



;

. (11.27)

Підставимо (11.18) в (11.21):



. (11.28)

Позначимо зведені моменти за різними теоріями міцності:


;

; 1.29)

.

Загальний вираз умови міцності для всіх теорій



. (11.30)

Тут - осьовий момент опору .

Проектувальний розрахунок

З формули (10) ; . Звідси



(11.31)
11.5.2. Розрахунок на згин з крученням бруса прямокутного перерізу
Послідовність розв’язання задачі така ж сама, як для круглих валів, але тут непотрібно знаходити сумарний момент .

Нехай, побудувавши епюри , ми знайшли небезпечний поперечний переріз.

Епюри напружень від кожного з силових факторів окремо представлені на рисунках.

Аналіз епюр показує, що небезпечними точками є:



або ;

або ;

або .

Умови міцності.

Точки і :



.

Точки і :



; ;

;

;

.

Точки і :



;

;

;

.





База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка