Лекція 2 Системи числення Десяткова система числення це система запису чиcел за допомогою певного на­бору цифр



Скачати 67.38 Kb.
Дата конвертації31.12.2016
Розмір67.38 Kb.

Лекція 2


Системи числення
Десяткова система числення

Система числення — це система запису чиcел за допомогою певного на­бору цифр.

У звичній для нас системі запису чисел — десятковій системі числення — для запису чисел використовуються десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. У цій системі будь-яке ціле невід'ємне число подається за допомогою степенів числа 10 (10° =1; 10і =10; 102 =100; 103 =1000; 104=10000,...). Число 10 є основою цієї системи числення.

Дійсно, якщо число менше 10, то записується відповідна йому одна цифра.

Якщо число більше або дорівнює 10, але менше 100, то воно подається двома цифрами: перша показує кількість повних десятків, що містяться в числі, друга – кількість одиниць в останньому неповному десятку.

Наприклад:

87=80+7=8*10+7=8*101+7*100=8710

(Індекс внизу вказує систему числення, в якій записане вихідне число.)

Кількість цифр, що використовуються для десяткового подання числа, на одиницю більша за показник найбільшого степеня 10, який міститься в числі. Це пов'язано з тим, що в поданні бере участь нульовий степінь числа 10.

Отже, будь-яке ціле невід'ємне число в десятковій системі числення подається у вигляді:

(1)

де кожний з коефіцієнтів є однією з цифр від 0 до 9, які називаються десятковими цифрами, причому а не дорівнює 0.

У десятковій системі запису чисел першою записуються цифра аn Другою — цифра аn-1 і т.д., останньою — цифра а0 Таким чином, десятковим записом цілого невід'ємного числа є послідов­ність цифр аn, аn-1, а0, що є коефіцієнтами подання цього числа У вигляді (1).

Загальна кількість цифр у десятковому запису числа дорівнює, кількості коефіцієнтів у поданні (1), тобто n+1, де п — показник і найбільшого степеня числа 10, що міститься у вихідному числі.

Коефіцієнти в поданні (1) повинні приймати значення від 0 до 9, причому коефіцієнт аn не повинен дорівнювати нулю (нуль не може бути першою цифрою числа). Це забезпечує однозначність такого подання. Якщо якийсь з коефіцієнтів більше 9, то відбувається перехід до наступного степеня. Наприклад:

10 * 103 = 1 * 104;

12 * 104 = (10+2) •104 = 1 • 105 +2 • 104.

Отже, набір десяткових цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 забезпечує однозначне подання будь-якого цілого невід'ємного числа в де­сятковій системі числення.


Двійкова система

Двійкова система числення - це система, в якій для запису чисел використовуються дві цифри 0 и 1. Основою двійкової системи числення є число 2.

Для запису числа в двійковій системі використовується подання цього числа за допомогою степенів числа 2.

Розглянемо на прикладах, як подаються числа за допомогою степенів числа 2.

Спочатку наведемо таблицю значень степенів числа 2.




n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2n

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

0 =0*20

1 =20=1*20

2 =21=1*21+0*20

3 =2+1=21+20=1*21+1*20

4 =22=1*22+0*21+0*20

5 =4+1=22+20=1*22+0*21+1*20

6 =4+2=22+21=1*22+1*21+1*20

7 =4+2+1=22+21+20=1*22+1*21+1*20

25 =16+8+1=24+23+20=1*24+1*23+0*22+0*21 +1*20

120 =64+32+8=26+25+24 +23=1*26+1*25+1*24+1*23 +0*22 +0*21 +0*20

У загальному вигляді подання цілого невід'ємного числа за допо­могою степенів двійки записується так само, як і подання (1) із заміною числа 10 на число 2:



(2)

Коефіцієнти аn, аn-1, а0 у цьому виразі є двійкові цифри 0 або 1, причому .

Запис числа у двійковій системі відбувається так само, як і в десятковій: першою записується цифра ап, другою — цифра ап-1 і т. д., останньою — цифра а0.

Двійковий код числа - запис цього числа в двійковій системі числення.

Таким чином, двійковим кодом числа є послідовність коефіцієнтів з подання (2).

У наведених прикладах двійкові коди мали вигляд:

0 = 02

1 = 12

2 = 102

3 = 112

4 = 1002

5 = 1012

6 = 1102

7 = 1112

25 = 110012

120 = 11110002

Коефіцієнти в поданні (2) повинні приймати тільки одне з двох значень: 0 або 1. Це забезпечує однозначність такого подання.

Якщо якийсь із коефіцієнтів більше 1, то відбувається перехід до

наступного степеня числа 2.

Наприклад:

2*2n=1*2n+1

3*2n=(2+1)*2n=1*2n+1+1*2n


Шістнадцяткова система числення

Шістнадцяткова система численняце система числення, що за основу має число 16. Будь-яке ціле додатне число подасться в ці системі за допомогою степенів числа 16 у вигляді

(3)

160=1, 161=16, 162=256, 163=4096, 164=65536,…

Шістнадцятковим записом цілого додатного числа є послідовність коефіцієнтів з подання (3).

Наприклад:

1810=1610+210=1*161+2*160=1216

31210=25610+4810+810=1*162+3*161+8*160=13816

Щоб подання числа в шістнадцятковій системі було однозначним, коефіцієнтами при степенях числа шістнадцять мають бути цілі числа від 0 до 15. Якщо за коефіцієнт взяти число, дорівнюватиме 16, то множення якогось степеня числа 16 на : коефіцієнт дасть наступний степінь числа 16:

16*16n=1*16n+1

25*16n=(16+9) *16n=1*16n+1+9*16n

В ролі коефіцієнтів для запису чисел у шістнадцятковій симтемі використовуються такі шістнадцять символів: 0, 1, 2; 3,4,5,6,7,8, 9, А, В, С, D, Е, F. Вони називаються шістнадцятковими цифрами. Десяткові цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 зберігають свої значення і в шістнадцятковій системі:

010=016 110=116 ...910=916.

Символи А, В, С, D, Е, F відповідають десятковим числам від 10 до 15:

1010=A, 1110=B, 1210=C, 1310=D, 1410=E, 1510=F

Впровадження щістнадцяткових цифр А, В, С, D, Е, F э необхідним, оскільки використовування чисел 10, 11,..., 15 у ролі коефіцієнтів щістнадцяткової системи призводить до неоднозначності прочитанні шістнадцяткових чисел.


Перевід десяткових чисел в інші системи числення

Перевід цілих чисел.

  1. Основу нової системи числення виразити в десятковій системі числення і всі подальші дії виконувати в десятковій системі числення.

  2. Послідовно виконувати ділення даного числа і одержуваних неплвних часток на основі нової системи числення до того часу, поки не одержимо неповну частку, меншу за дільник.

  3. Одержані залишки, які є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту новіої системи числення.

  4. Скласти число в новій системі числення, записуючи його, починаючи з останньої частки.


Перевід дробових чисел.

        1. Основу нової системи числення виразити в десятковій системі числення і всі подальші дії виконувати в десятковій системі числення.

        2. Послідовно множити дане число і одержувані дробові частини добутків на основу нової системи до того часу, поки дробова частина добутку не стане рівною нулю або не буде досягнута необхідна точність представлення числа в новій системі числення.

        3. Одержані цілі частини добутків, які є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення.

        4. Утворити дробову частину числа в новій системі числення, починаючи з цілої частини першого добутку.

Приклад. Перевести десятковий дріб 0,1875 в двійкову, вісімкову і шістнадцяткову - системи.

0 1875 0 1875 0 4875



*2 *8 *16

0 3750 1 5000 1 1250



*2 *8 1 875

0 7500 4 0000 3 0000

*2

1 5000



*2

  1. 0000

Тут вертикальна межа відділяє цілі частини чисел від дробових частин.



Звідси: 0,187510 =0,00112=0,148=0,316.

Перевід змішаних чисел, що містять цілу і дробову частини, здійснюється в два етапи. Ціла і дробова частини початкового числа переводяться окремо за відповідними алгоритмами. У підсумковому записі числа в новій системі числення ціла частина відокремлюється від дробової комою (крапкою).


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка