Лекція №19-22 Тема№8: Динамічна стійкість сак план: Поняття стійкості. Якісна оцінка стійкості (лекція №19)



Скачати 139.69 Kb.
Дата конвертації28.03.2017
Розмір139.69 Kb.
Основи автоматизації виробництва

Спеціальність – 7.05050201 „Технологія машинобудування”



Лекція № 19-22



Тема№8: Динамічна стійкість САК

План:


1.Поняття стійкості. Якісна оцінка стійкості (лекція №19)

2. Критерії кількісної оцінки стійкості (лекції № 20,21,22)
1.Стійкими називаються такі САК, у яких реакція на сигнал управління з плином часу входить в заздалегідь заданий інтервал значень і не виходить з цієї межі.

З’ясуємо фізичне трактування поняття стійкості. Розглянемо кулю, поміщену у верхнюю точку височини. Вона знаходиться в нестійкому положенні. Дійсно, достатньо найменшого відхилення кулі від початкового полодення як вона скотиться у вихідне положення.

І навпаки, куля, що знаходиться у впадині, змає стійке положення, тому що після відхилення вона обовязково повернеться до свого первісного стану.

Таким чином, стійкість - це властивість системи (куля-поверхня) повертатися в початковий стан після виведення її з цього стану і припинення дії обурення.

Як видно з визначення, здатність системи повертатися у первісний стан пов'язується з початковими відхиленнями. У розглянутих прикладах стійкість і нестійкість не залежать від початкових відхилень кулі. Однак можна уявити собі таку систему, яка при малому відхиленні повертається, а при великому не повертається в початковий стан.

Наприклад, куля знаходиться в западині, а сама западина розташована на вершині опуклого тіла.




Очевидно, якщо при початковому відхиленні куля не вийде за край западини, то вона повернеться у вихідне положення, а якщо вийде то не повернеться. Прийнято, що така система стійка в малому та нестійка у великому, оскільки стійкість пов’язана з величиною початкового відхилення. Система ж зображена на рис.2, є необмежено стійкою, тому що куля буде повертатись у вихідне положення при будь–якому початковому відхиленні.

Чи завжди за початковий стан системи, стійкість якої оцінюється, беруть стан спокою? Ні, не завжди. У загальному випадку можна говорити про стійкість руху взагалі, тобто руху, пов’язаного з будь-яким переміщенням маси або енергії.

Наприклад, можна оцінювати стійкість руху супутника як його здатність повертатися на вихідну орбіту після припинення дії сил, які відхиляють супутник від заданої орбіти. Точно також можна оцінювати стійкість системи автоматичного управління як її здатність повертатися до первісного незбуреного руху після припинення дії збурення.

Отже, ми розглянули якісну оцінку поняття стійкості. Проте існує і кількісна оцінка поняття стійкості:

Стійкість можна описати математичними формулами.

Вперше найбільш суттєві математичні результати по стійкості механічних систем були отримані російським ученим Ляпуновим в 1880-1910 рр. Оскільки різні за своєю природою матеріальні системи описуються однаковими диференціальними управліннями, то результати по стійкості механічних систем, отримані Ляпуновим, можна застосувати і до багатьох інших фізичних систем, в тому числі і до САК.

Стійкість є дуже важливою характеристикою якості систем і пристроїв, застосовуваних у самих різних областях науки і техніки. Особливо гостро проблема стійкості стоїть в автоматиці. Це пояснюється наступним. Автоматичні системи є замкнутими системами, у яких вихідна величина через основний зворотний зв'язок подається на вхід системи, де порівнюється з задаючим впливом. Нормально функціонуюча система прагне зменшити різницю між значеннями заданого впливу і керованої величини. Проте у ряді випадків може вийде так, що ця різниця буде не зменшуватися, а зростати з плином часу, тобто система буде нестійкою.

Характерно, що нестійкою може бути система, що складається тільки з стійких елементів, як це найчастіше і буває на практиці.

Зважаючи на складність автоматичних систем для оцінки їх стійкості тільки фізичних уявлень недостатньо. Для цього необхідно застосування математичного апарату.

Поняття стійкості системи управління пов'язане зі здатністю повертатися в стан рівноваги після зникнення зовнішніх сил, які вивели її з цього стану.

Наочно стійкість рівноваги можна продемонструвати таким прикладом.

де – незбурений стан;



– збурений стан.

Умову стійкості можна сформувати наступним чином: система називається стійкою, якщо із збуреного стану рівноваги вона перейде в деяку кінцеву область,яка оточує незбурений стан рівноваги.



2. Поняття стійкості можна поширити і на випадок руху деякої системи.

Оскільки в поняття стійкості системи входить тільки факт наявності або відсутності загасання перехідного процесу (незалежно від швидкості загасання і форми перехідного процесу),то стійкість лінійної системи не залежить від виду правої частини диференціального рівняння і визначається тільки характеристичним рівнянням.

Тому закон вільних рухів визначається спільним рішенням, а спільне рішення залежить від коренів характеристичного рівняння, то для аналізу динаміки САК слід вивчити корені цього рівняння.

1) Метод корньового годогафу



Корені можуть бути речовими, комплексними і чисто уявними. Розглянемо ці випадки:

1. Речовий корінь.

Якщо корінь від'ємний, то доданок визначається цим коренем у характеристичному рівнянні буде представляти собою експоненту. Очевидно, що при цей член буде затухати. У разі додатніх коренів вийде розбіжний процес.


2. Комплексні корені.

Вони бувають попарно сполученими. При від'ємній дійсній частині два кореня дорівнюють:



.

При додатній -

У першому випадку виходять затухаючі коливання, у другому - розбіжні:



3. Чисто уявні корені.

У цьому випадку і

Доданок обумовлений цими коренями в характеристичному рівнянні, буде представляти собою незгасаючі коливання, тобто коливання з постійною амплітудою:



Отже, для загасання перехідного процесу необхідно, щоб речові частини коренів були негативними.

Це відноситься як до речових, так і до комплексних коренів. Якщо хоча б один корінь характеристичного рівняння буде мати додатню, речову частину, то перехідний процес в цілому буде розходиться, тобто система виявиться нестійкою.

Корені характеристичного рівняння можна представити у вигляді точок на комплексній площині величини S.

Для стійкості лінійної системи необхідно і достатньо, щоб всі корені лежали зліва від уявної осі площини коренів.

Якщо хоча б один корінь виявиться праворуч від уявної осі, то система буде нестійкою.

Таким чином, уявна вісь являє собою граничну лінію в площині коренів, за яку не повинні переходити корені характеристичного рівняння.

Вся ліва напівплощина представляє собою при цьому область стійкості.

Рис. 1


Якщо хоча б один корінь дійсний або пара комплексних коренів перейде з лівої півплощини в праву, то система стане нестійкою. На рис. 1:

Т. 1 - дійсний додатний корінь

Т. 2 - додатний комплексний корінь

Т. З – додатний уявний корінь

Т. 4 - додатний комплексний корінь

Т. 5 - відємний дійсний корінь

Т. 6 - відємний комплексний корінь

Т. 7 - відємний комплексний корінь

Змінюючи параметри системи і підраховуючи для кожного значення параметрів корені, можна побудувати годограф, тобто траєкторію переміщення кореня по комплексній площині.

Такий годограф, змінюючи параметри системи, буде відповідати новим положенням коренів.

Аналіз такого годографа дозволить конструктору САК вибирати такі параметри системи, які дозволять забезпечити необхідну якість динамічних процесів.

Таким чином, при дослідженні стійкості потрібно визначити корені характеристичного рівняння системи і за ними встановити знак дійсної частини.



Однак такий метод визначення стійкості може бути використаний, коли порядок характеристичного рівняння нижче третього.

2) Вже для рівняння 3-го порядку визначення коренів представляє значні труднощі. Практично для визначення стійкості зовсім необов’язково знати чисельні значення коренів характеристичного рівняння.

Досить переконатися тільки у відємності речових частин коренів. Тому представляється доцільним скористатися більш простим методом визначення стійкості, заснованим на виявленні відємності речових частин коренів (без знаходження їх значень). Такі методи ґрунтуються на використанні критеріїв стійкості і виділення областей стійкості.

У ТАУ найбільшого поширення набули наступні критерії:

- алгебраїчні критерії Рауса і Гурвіца;

- частотні критерії Михайлова та Найквіста;

- критерії, засновані на побудові кордонів Д-розбиття;

- діаграма Вишнєградського.

В зв’язку з тим, що алгебраїчні критерії Рауса та Гурвіца, а також частотний критерій Михайлова будуть детально розглядатися на практичних заняттях, то із даної теми лекційного курсу ми їх вилучимо.

1) Алгебраїчні критерії для рівнянь нижчих порядків

Рівняння першого порядку:



;

характеристичне рівняння;

.

Рівняння другого порядку:



;

– характеристичне рівняння;

.

Для САК І та ІІ-го порядку обов’язковою і достатньою умовою стійкості є додатність коефіцієнтів диференціального рівняння.

Для САК, які описуються диференціальним рівнянням вище II- порядку, умова додатності всіх коефіцієнтів лівої частини рівняння також є необхідною, але недостатньою. Для визначення стійкості лінійних систем в такому випадку застосовуються алгебраїчні критерії Рауса та Гурвіца

2) Критерій Вишнеградського

Вишнеградський вперше застосував побудову областей стійкості системи автоматичного регулювання парової машини.

Виділення областей стійкості по Вишнеградському застосовані тільки для системи з характеристичним рівнянням III – го порядку. Нехай дано характеристичне рівняння, . Його можна представити як:



,

де ; ; .

Якщо ввести позначення

,

то отримуємо рівняння:



,

де і – параметри Вишнеградського.

Для того, щоб розглянута система була стійкою, необхідно, згідно алгебраїчному критерію Гурвіца, виконання таких умов:

A>0; B>0 I AB-1>0

Очевидно, значення АВ=1 буде граничним для вищенаведеної нерівності, і система при цьому знаходитиметься на межі стійкості.

Таким чином, вираз АВ = 1 являє собою рівняння межі стійкості.


Якщо по осі ординат відкладати параметр В, а по осі абсцис – параметр А, то можна побудувати криву, що представляє собою рівносторонню гіперболу СД, яка визначається рівнянням АВ = 1.

Гіпербола СД ділить площину параметрів А і В на дві області

І та II. Область II, що відповідає умові АВ>1, є стійкою областю, а область І, відповідна умові АВ <1, нестійкою.

Очевидно, САК має незгасаючі гармонійні коливання при АВ = 1, нестійка при АВ <1 і стійка при АВ>1.

Таким чином, в стійкій області II можна вибрати необхідні для системи оптимальні значення параметрів А і В.



3)Частотний критерій Найквіста

Критерій Найквіста – частотний критерій, який дозволяє судити про стійкість системи, замкненої одиничним відємним зворотним зв’язком, по виду амплітудно-фазової характеристики розімкненої системи.

Амплітудно-фазова характеристика (АФЧХ) розімкненої системи представляє собою криву, яка описується кінцем вектора W(jω)=P(jω)/Q(jω)=A(ω)+jB(ω) при змінені ω від 0 до ∞. Будується характеристика в координатах А(ω) – jB(ω).

Критерій Найквіста формулюєтьсяя по різному, в залежності від того, стійка розімкнена система чи ні. Якщо розімкнена система нестійка, то її характеристичне рівняння Q(s)=0 має деяку кількість коренів у правій напівплощині. У випадку стійкої розімкненої системи всі n коренів рівняння Q(s)=0 лежать у лівій напівплощині .



Формулювання критерія для випадку стійкої розімкненої системи: замкнена система буде стійкою, якщо амплітудно-фазна характеристика стійкої розімкненої системи при змінені частоти ω від 0 до ∞ не охоплює точку з координатами [-1, j0].

Це формулювання справедливе і для астатичних систем(тобто систем,у яких характеристичне рівняння має один нульовий корень тієї чи іншої ступіня кратності), якщо їх АФЧХ при ω →∞ доповнені дугою нескінченно великого радіуса.

Якщо вважати,що на рис. 2 наведені АФЧХ стійких розімкнених систем (a=0), то згідно критерію у замкненому стані буде стійка система із ν =1 (рис. 2б), система із ν =0 та ν =3 ( рис.2а,г) будуть нестійкі , а система із ν =2 (рис. 2в) буде знаходитися на межі стійкості.

Рис. 2


Можна скористатися другим формулюванням критерія Найквіста, яке основане на підрахунку кількості додатніх та відємних переходів характеристикою ділянки речової вісі [-∞,-1].

Додатнім переходом (при зростанні частоти ω) називається перехід АФЧХ розімкненої системи ділянки [-∞,-1] із верхньої на півплощини до нижньої; відємним – перехід із нижньої на півплощини до верхньої. Якщо при ω=0 АФЧХ розімкненої системи починається на відрізку [-∞, -1], то цьому відповідає +1/2 або -1/2 переходу в залежності від того, донизу або догори від цього відрізка іде АФЧХ при збільшенні частоти (рис. 3).



Рис. 3
Друге формулювання критерія Найквіста:

Замкнена система буде стійкою, якщо різниця між кількістю додатніх та відємних переходів АФЧХ стійкої розімкненої системи через відрізок речової вісі [-∞,-1] при змінені частоти від 0 до ∞ дорівнює нулю.

Згідно цього формулювання, замкнена система для випадку, який вказано на рис. 4а, буде стійкою, а для випадку, який вказано на рис.4б, - нестійкою.

Рис.4


Формулювання критерія для випадку нестійкої розімкненоїсистеми:

Замкнена система буде стійкою, якщо при змінені частоти від 0 до ∞ АФЧХ нестійкої розімкненої системи охоплює точку із координатами [-1, j0] a/2 разів, де а – кількість коренів характеристичного рівняння розімкненої системи, які лежать у правій на півплощині.

Або: замкнена система буде стійкою, якщо при змінені частоти від 0 до ∞ різниця між додатніми та відємними переходами АФЧХ розімкненої системи відрізка речової вісі [-∞, -1] дорівнює а/2.

Для ілюстрації критерія на рис. 5а,б показані АФЧХ розімкнених систем із а=1 та а=2, стійких у замкненому стані, а на рис.5в,г – цих же систем, нестійких у замкненому стані.


Рис.5
Логарифмічний критерій стійкості (критерій Найквіста на площині логарифмічних частотних характеристик)

Логарифмічний критерій – частотний критерій, який дозволяє судити про стійкість замкненої системи по виду логарифмічних частотних характеристик(ЛЧХ) розімкненої системи та оснований на однозначному зв’язку останніх із амплітудно-фазовими характеристиками.

Формулювання критерія Найквіста стосовно логарифмічних частотних характеристик: для стійкості системи у замкненому стані необхідно і достатньо, щоб у діапазоні частот, де логарифмічна амплітудно-частотна характеристика розімкненої системи L(ω) більше нуля, кількість переходів фазовою характеристикою φ(ω) прямої ±180° знизу догори (=) перевищувала на а/2 кількість переходів зверху донизу (-),де а – кількість коренів характеристичного рівняння розімкненої системи, які знаходяться у правій на півплощині.

У частному випадку для стійкої розімкненої системи (а=0) необхідною та достатньою умовою стійкості замкненої системи є наступне: у діапазоні частот, де L(ω)>0, фазна частотна характеристика φ(ω) не повинна перетинати прямої ±180° або перетинати її однакову кількість разів догори та зверху донизу.

Для ілюстрації критерія на рис. 6а,б наведені ЛЧХ стійких, а на рис. 6 в,г – нестійких у замкненому стані систем.


Рис. 6


4) Виділення областей стійкості

Однією із задач дослідження систем автоматичного регулювання та керування на стійкість є визначення деякої області, в межах якої можуть змінюватися ті чи інші параметри системи при збережені її стійкості. Якщо система має змінних параметрів, то кажуть, про q-мірний простір параметрів. Кожній точці цього простору відповідає характеристичне рівняння із свома значеннями коефіцієнтів, а область простору, всередині якого всі значення параметрів (або коефіцієнтів характеристичного рівняння) відповідають стійкій системі, називається областю стійкості. Гіперповерхня, яка обмежує цю область, називається кордоном області стійкості.

Якщо змінних коефіцієнтів (або параметрів системи) два, то область стійкості обмежена плоською кривою, якщо три – то трьохмірною поверхнею і т.і.

На практиці намагаються обійтися побудовою областей стійкості на чисельній прямій (один параметр) або в площині (два параметри).

В принципі для виділення областей стійкості можуть бути використані частотні критерії або критерій Гурвіца. Однак, щоб визначити область стійкості за допомогою критеріїв Михайлова або Найквіста, потрібно виконувати багатократну побудову відповідних частотних характеристик. Якщо використовувати критерій Гурвіца, то розвязок задачи може бути пов’язаним із аналізом складних та громіздких виразів або із побудовою кривих залежностей визначників Гурвіца від тих параметрів, які розглядаються.

Найбільш зручно виконувати виділення областей стійкості на основі поняття про D-розбиття, яке розроблено А.А.Соколовим та Ю.І.Неймарком.



D-розбиттям називається розбиття простору коефіцієнтів характеристичного рівняння (або параметрів системи) на областів, які відповідають одній і тій же кількості коренів, розташованих зліва від уявної вісі.

Уявна вісь в площині коренів характеристичного рівняння є відображення кордону D-розбиття, і перехід через останню в просторі коефіцієнтів (або параметрів) відповідає переходу коренів в площині коренів через уявну вісь.

Якщо характеристичне рівняння системи записане у вигляді:
cn sn + cn-1 sn-1 +…+c1 s + c0 =0,
то для визначення кордону D-розбиття необхідно:

1) знайти рівняння кордону у параметричній формі, замінивши в розглядаємому рівнянні (поліномі) ∑ ci si s на jω;

2) отримати кордони шуканих областей стійкості, змінюючи значення ω від -∞ до ∞.

Якщо серед коренів розглядаємого характеристичного рівняння є k коренів, які лежать у лівій напівплощині, і n-k коренів, які знаходяться справа від уявної вісі, то побудовою D-розбиття будуть виділені області зі всіх можливих сполучень D(k, n-k). Хоча метою аналізу є виділення тільки області стійкості, тобто області D (n ,0), побудова всього D-розбиття звичайно є найбільш простим способом визначення кордону області стійкості.



Підсумок:


Дослідження стійкості є одним із перших етапів оцінки автоматичних систем при їх аналізі. Виконавши аналіз або синтез автоматичної системи, необхідно впевнитися в тому, що система структурно-стійка.

Якщо розв’язується задача аналізу, то оцінка стійкості здійснюється за допомогою одного із розглянутих критеріїв. При наявності диференціального рівняння замкненої системи доцільно користуватися алгебраїчними або графоаналітичними критеріями стійкості: при третьому порядку рівняння – критерієм Вишнєградського, при четвертому та п’ятому – критерієм Гурвіца, а при більш високому порядку – критерієм Михайлова. При наявності частотних характеристик оцінку стійкості доцільно виконувати за допомогою частотних критеріїв Найквіста. Для виділення областей стійкості на чисельній прямій (один параметр) або в площині (два параметри) найбільш зручним є метод D-розбиття.



Контрольні питання:


  1. Що таке стійкість?

  2. Як оцінюється стійкість математично?

  3. В чому полягає метод корньового годографу?

  4. Які алгебраїчні критерії стійкості Вам відомі? В чому вони полягають?

  5. В чому полягає критерій Михайлова?

  6. В чому полягає критерій Вишнєградського?

  7. В чому полягають частотні критерії Найквіста?

  8. Для чого потрібно виділяти області стійкості? Що називається.областю стійкості?

  9. В чому полягає метод D-розбиття?


Персоналій:

Ляпунов Олександр Михайлович (1857-1918) – російський математик та механік. Він створив теорію стійкості рівноваги та руху механічних систем з кінцевою кількістю параметрів, а також працював в області диференціальних рівнянь, гідродинаміки, теорії вирогідностей.

Гурвіц Адольф (1859-1919) - німецький математик. Основні праці – по математичному аналізу,теорії функцій, алгебрі та теорії чисел, , автор критерія стійкості, теореми Рауса-Гурвіца та ін..

Найквіст Гаррі (1869-1976) – шведський вчений, один із піонерів теорії інформації.

Вишнєградський Іван Олексійович (1831-1895) – російський вчений (спеціаліст в області механіки) та державний діяч. Засновник теорії автоматичного регулювання.

Неймарк Юрій Ісаакович (1920-2011) – радянський та російський математик

Солодовніков Володимир Вікторович (1910-1991) – видатний кібернетик сучасності, один із засновників радянської автоматики. Одна з відомих праць –“Основи автоматичного регулювання”.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка