Лекція №17 Перехідні процеси в розгалужених колах першого і другого порядку



Скачати 91.67 Kb.
Дата конвертації05.03.2017
Розмір91.67 Kb.




Лекція № 17

Перехідні процеси в розгалужених колах першого і другого порядку.

1.Перехідні процеси в розгалужених колах другого порядку.

2.Принцип накладення в теоріі перехідних процесів.

3.Типові імпульсні впливи.


Література: Л1 с.270 –278 , Л3 с. 255-258


  1. ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ

У РОЗГАЛУЖЕНИХ ЛАНЦЮГАХ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Методику аналізу перехідних процесів у розгалужених ланцюгах другого порядку розглянемо на прикладі ланцюга, схема якого приведена на мал. 17.1, при підключенні до нього джерела постійної напруги.




Рис.17.1


Відповідно до першого і другого законів Кирхгофа для розглянутого ланцюга можна записати:

u + ur=E (17.1)

uсur = 0 (17.2)

i 1 - i 2 - i 3 = 0. (17.3)

З цієї системи рівнянь одержимо одне рівняння для напруги на ємності иC: Склавши вираження (17.1) і (17.2)

і з огляду на те, що u = L di /dt , будемо мати

L di /dt + u =E. (17.4)

З огляду на те, що i2=иr / r = иC / r і i3 = C dиC /dt, з формули (17.3)

одержимо i 1 = иC / r +C dиC /dt . Підставивши це у вираження (17.4), будемо мати

Розділивши обидві частини цього рівняння на LC і позначивши δ =1/2rС і



ωο2 = 1/ LC, остаточно одержимо

Тому, що це рівняння аналогічне рівнянню для напруги на ємності в нерозгалуженому ланцюзі rLC при підключенні до нього джерела постійної напруги (16.22), а примушені складові і початкові умови в ланцюгах є також аналогічними, таким чином і рішення цих рівнянь будуть однаковими (16.25):



Характер перехідного процесу в розглянутому ланцюзі, так само як і в нерозгалуженому ланцюзі rLC, залежить від виду коренів характеристичного рівняння і може бути як аперіодичним, так і коливальним.




2. ПРИНЦИП НАКЛАДЕННЯ

У ТЕОРІЇ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ

Принцип накладення є одним з найважливіших властивостей лінійних ланцюгів і систем. Він є наслідком лінійності їхніх рівнянь. Цей принцип дозволяє шукати загальне рішення лінійних рівнянь як лінійну комбінацію, тобто накладення більш простих приватних рішень. У застосуванні до ланцюгів він формулюється так: реакція лінійного ланцюга на суму впливів дорівнює сумі її реакцій на кожний із впливів окремо.

Наприклад, у випадку перебування струму в послідовному коливальному контурі при впливі на його вхід прямокутного відеоімпульсу, (мал. 17.2, а). Рішення може бути знайдено, якщо представити заданий вплив u(t) у виді накладення двох більш простих функцій (мал. 17.2,6):

і (0) = і1 (t) + і2 (t).

Кожна з цих функцій представляє східчастий вплив. Функція і1 (t) відповідає включенню контуру в момент часу t=0 на постійну напругу Um, a і2 (t) -його включенню в момент t=tи на напругу —Um. У сумі дія цих двох напруг еквівалентно заданому впливові.

Звичайно при рішенні будь-якої складної задачі удається виділити найбільш сприятливий випадок, тобто випадок більш простій, ніж загальний, що призводить до приватного рішення. Таке рішення легко виходить, але в загальному випадку сили не має. Потім, поєднуючи шляхом накладення окремі випадки, до яких застосується обмежене рішення, можна одержати повне рішення, придатне в загальному випадку.



Мал.17.2 Мал.17.3

Принцип накладення є відображенням одного з загальних методів наукового дослідження, в основі якого лежить розбивка складної задачі на ряд більш простих. Він лежить в основі багатьох методів розрахунку й аналізу процесів у лінійних ланцюгах і системах. До їхнього числа відноситься, наприклад, класичний часовий метод аналізу перехідних процесів. Цим методом весь процес розглядається як накладення двох режимів: вільне і змушеного, а повне рішення неоднорідного диференціального рівняння — як сума повного рішення однорідного і приватного рішення неоднорідного рівняння. Іншим прикладом, є класичний спектральний метод, що одержав широке застосування як у теорії ланцюгів, так і в техніці експерименту.

У його основі лежить застосування ряду й інтеграла Фур'є, що дозволяють представити вхідний сигнал сумою простих гармонійних складових.

У випадку, коли на лінійний ланцюг діє сигнал складної форми і потрібно знайти її реакцію, як тимчасову функцію, тобто визначити характер перехідного процесу, або сигналу на виході ланцюга, класичний часовий метод малоефективний. Для рішення подібних задач використовується метод інтеграла згортки, заснований також на принципі накладення.

Ідея підходу до рішення задачі цим методом наступна. Допустимо, що зовнішній вплив x(t) можна представити сукупністю більш простих, аналітично однотипних функцій xk (t), тобто



x(t) =  xk (t)

Якщо знайти реакцію досліджуваного лінійного ланцюга yk(t) на вплив xk(t), то на підставі принципу накладення можна стверджувати, що реакція ланцюга y(t) на заданий вплив x(t) дорівнює сумі реакцій yk(t), тобто



y(t)= yk(t). (17.5)

Таким чином, повне рішення задачі розпадається на два етапи: перший — визначення реакції ланцюга yk(t) на заданий простий вплив xk(t) і другий -підсумовування або накладення приватних рішень yk(t).

Очевидно, вид функції yk(t) при заданому типі елементарного впливу xk(t) залежить тільки від схеми і параметрів електричного ланцюга. При цьому yk(t) можна розглядати, як деяку тимчасову характеристику досліджуваного ланцюга. Вона знаходиться аналітично або експериментально: розрахунковим або дослідним шляхом.

Систему функцій xk(t) необхідно вибрати так, щоб, по-перше, їхня сукупність дозволяла представити будь-яку функцію зовнішнього впливу, що має фізичний зміст, і, по-друге, визначення часових характеристик ланцюга не задавало б великого клопоту.

У якості елементарних впливів застосовується кілька стандартних типових сигналів. Реакція ланцюга на кожний з них представляє різновид часових характеристик.
2. ТИПОВІ ІМПУЛЬСНІ ВПЛИВИ

При дослідженні динамічних властивостей лінійних ланцюгів і систем у якості типових елементарних впливів звичайно використовується одинична східчаста функція 1(t) і дельта-функція δ(t).



Одинична східчаста функція 1(t), називана також функцією Хевісайда або функцією включення (мал. 17.4,а), має значення:

(17.6)

і звичайно невизначена при t=0.

При зсуві такої функції вправо по осі абсцис на час t (рис, 17.4, б) її можна виразити у виді

(17.7)

Виникнення східчастих сигналів досить типово. У теорії ланцюгів вони відповідають, наприклад, включенню постійної напруги на вхід пристрою при замиканні ключа. Якщо ланцюг включається в момент t=t0 на напругу u(t), то це відповідає впливові виду f(t)=u(t) • 1(t—to) (мал. 17.5),

За допомогою одиничних східчастих функцій можна представити велике число різноманітних сигналів. Наприклад, прямокутний імпульс можна описати (мал. 17.6,а) різницею

f(t) = Um [1(t – t1 ) - 1(t – t2 )],



Мал.17.4 Мал.17.5




Мал. 17.6

а більш складний сигнал — сумою п східчастих функцій (мал. 17.6,б)

n

f(t) = f(0) * 1(t) + Δfk 1(t – kΔt), (17.8)

k=1

де

Δfk = f(k t) – f[(k-1)t] = f() – f(-t) (17.9)




Дельта-функція δ(t), або функція Дирака, може бути представлена по-різному. З погляду інженера, що бажає бачити δ(t)-функцію як сигнал


Мал. 17.7


у фізичній системі, функція Дирака представляє імпульс з нескінченно великою амплітудою і нескінченно малою тривалістю, площа якого кінцева і дорівнює одиниці.


Мал.17.8


Як приклад представимо імпульс як завгодно малої тривалості t, амплітуда якого Urn =1/ t (мал. 17.7, a). У межі, коли t 0, його амплітуда Um , але площа залишається постійної і дорівнює Um t =1.

Таке визначення δ(t)-функції, незважаючи на його простоту і наочність, не є, строгим у математичному відношенні. Проте воно досить для більшості додатків, що зустрічаються в теорії электрорадіо-кіл.




(t) (t-) 

f(t)(t-)d=f()

-

 


f(t)
0 t 0 τ t τ t






a) б) в)

Мал. 17.9


Функція, як і функція 1(t), відноситься до спеціального типу функцій, що мають визначені властивості і називаються узагальненими функціями.

Для δ(t)-функції (мал. 17.9, а) справедливі співвідношення:



δ(t) = 0 при t0;

+ (17.10)
δ(t)dt = 1


-

При зсуві δ(t) -функції вправо по осі абсцис на час (мал. 17.8,6) одержимо:



δ(t ) = 0 при t;

+ (17.11)
δ(t-)dt = 1

-

У практичному відношенні цінність δ(t) - функції полягає в кінцевому значенні її площі, чого не можна сказати про конкретне значення самої функції.

Важливість δ(t) -функції стає більш ясною при інтегруванні. Більш важливим є не значення самої δ(t)-функції, а те, що з нею відбувається при інтегруванні. Це особливо виявляється при вирішенні практичних задач, пов'язаних із впливами короткочасних поштовхів або імпульсів. Результат таких впливів часто не залежить від форми імпульсу, а визначається інтегральним значенням, тобто площею імпульсу.

Розглянемо інтеграл, що містить добуток довільної безперервної функції і δ(t)-функції:

+

J= δ(t) f(t)dt. (17.11)

-

З огляду на те, що δ(t) 0 лише при t=0 і в околицях цієї точки на нескінченно малому часовому інтервалі від t до t f(t)f(0) ( t0) , одержимо



+ + t + t

δ(t) f(t)dt = δ(t) f(t)dt = δ(t) f(0)dt=

- - t - t

+ t +



=f(0) δ(t) dt= f(0) δ(t) dt = f(0). (17.12)

- t -
Таким чином, важливою властивістю δ(t)-функції є можливість виділити (фільтрувати) з її допомогою значення функції в даний момент часу. У зв'язку з цим говорять про фільтруючу властивість δ(t) -функції (мал. 14.8,в). Ця властивість визначається рівністю

+


δ(t) f(t)dt = f(0). (17.13)

-


Якщо у формулу (17.13) підставити δ(t) -функцію, зміщену , на довільний момент часу , тобто аналогічно одержимо рівність для більш загального випадку

+

δ(t-) f(t)dt = f(). (17.14)

-

Між одиничною східчастою функцією 1(t) і δ(t)-функцією Дирака існує тісний зв'язок:



t

δ(t)dt = 1(t). (17.15)

-

Дійсно, при t<0 функція δ(t) і її інтеграл дорівнюють нулеві. Після переходу через момент часу t=0 значення інтеграла змінюється стрибком на одиницю і залишається рівним одиниці.



C іншої сторони,

δ(t)=d/dt [1(t)]= 1'(t), (15.16)

тому що 1'(t) = 0 при t 0 і 1'(t)= при t=0.

Таким чином, δ(t)- функція дорівнює першої похідної одиничної східчастої функції.

Імпульсні впливи, близькі до δ(t) -функції, зустрічаються досить часто на практиці, наприклад удари в механічних системах, стрибки ЕРС самоіндукції при комутаціях в електричних ланцюгах і ін.


Висновки.

1.Для аналізу перехідних процесів в електричних ланцюгах при складних впливах використовується принцип накладення простих (елементарних) впливів. У такому випадку реакцію ланцюга на заданий вплив визначають як суму реакцій ланцюга на зазначені впливи.



2.Типовими (простими) імпульсними впливами, використовуваними для аналізу електричних ланцюгів, є одинична східчаста функція Хевісайда і Дельта- функція Дирака, що взаємозалежні один з одним аналітично.

3. Дельта – функція Дирака й одинична функція Хевісайда дозволяють представити сигнал у виді сукупності миттєвих (дискретних) значень.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка