Лекція 12. Задачі з параметром



Скачати 367.26 Kb.
Дата конвертації05.05.2017
Розмір367.26 Kb.
Лекція 12. ЗАДАЧІ З ПАРАМЕТРОМ
1. Лінійні рівняння з параметрами.

2. Квадратні рівняння з параметрами.

3. Графічне розв’язування рівнянь з параметрами.

4. Дослідження та розв’язування системи лінійних рівнянь з двома невідомими та параметром.


Розв’язування задач у математиці досить часто зводиться до розв’язування рівнянь, систем рівнянь, нерівностей, в які крім невідомих входять також деякі інші змінні величини, що мають назву параметрів.

Означення. Рівнянням з параметрами а1, а2, …, аn називаємо рівняння виду:

(1)

де х — шукана невідома.

Значення шуканого невідомого х залежить від значення параметрів.

Значення параметрів при яких вираз має зміст при деяких значеннях х, називають допустимими. Множину всіх допустимих систем значень параметрів рівняння (1) називають областю зміни параметрів цього рівняння.



Розв’язати рівняння з параметрами означає знайти всі розв’язки цього рівняння для кожної допустимої системи значень параметрів.

Щоб розв’язати рівняння (1) треба:



  1. визначити область допустимих значень параметрів

  2. розв’язати рівняння (1) відносно х і подати невідоме х у вигляді функції від параметрів;

  3. з’ясувати, при яких допустимих значеннях параметрів значення функції є розв’язками даного рівняння;

  4. розглянути рівняння (1) при таких допустимих значеннях параметрів, при яких його не можна розв’язати відносно х і з’ясувати чи має рівняння при цих значеннях параметрів розв’язки і, якщо має, то які.

Основні види рівнянь з параметрами які зустрічаються на вступних іспитах можна розбити на наступні класи:

  1. Лінійні рівняння з параметром.

  2. Дробові — раціональні рівняння з параметром.

  3. Квадратні рівняння з параметром.

  4. Ірраціональні рівняння з параметрами.

До найбільш розповсюджених методів розв’язання рівнянь з параметром відноситься графічний метод.

Про цей вид рівнянь написано достатньо багато літератури, серед яких варто виокремити наступні:

1.

2.

3.



4.

В даному посібнику не має можливості розглянути всю інформацію по задачам з параметрами, тому ми зупинимось на двох видах рівнянь:



  1. Лінійне рівняння та системи рівнянь з параметрами;

  2. Квадратні рівняння з параметрами.

Серед методів розглянемо застосування графічного метода до розв’язування деяких задач.

1. Лінійні рівняння з параметром
Означення. Рівняння виду (2), де х — невідоме, параметри, називають лінійним рівнянням з параметрами.

Дослідимо рівняння (2).



  1. Якщо , то рівняння (2) має єдиний розв’язок:

  2. Якщо , то рівняння (2) має безліч розв’язків.

  3. Якщо то рівняння не має розв’язків.

 При якому значенні параметра в рівняння має безліч розв’язків?

 Використовуючи схему дослідження лінійного рівняння, маємо:

Розв’язуючи цю систему, дістанемо:



отже,

Відповідь. При система рівнянь має безліч розв’язків.
 При якому значенні параметра в рівняння

не має розв’язку?

 Після перетворення рівняння до виду

Останнє рівняння не має розв’язків якщо



звідки




Відповідь. .
Приклад. При яких значеннях с рівняння має додатні розв’язки?

 Спочатку зводимо рівняння до загального виду. Дістанемо,



або


За умовою задачі тому Отже



Відповідь.
Приклад. Визначити, при яких значеннях параметра а корені рівняння кратні 3.

 Зводячи рівняння до вигляду

дістанемо єдиний розв’язок при

За умовою корені рівняння кратні 3, тобто де Звідси





Відповідь.


  • Вправи для самостійної роботи





  1. При якому значення параметра в рівняння має безліч розв’язків? (В. ).

  2. При якому значення параметра з рівняння має безліч розв’язків? (В. )

  3. При якому значенні параметра а рівняння не має розв’язку? (В. )

  4. Визначити при яких значеннях рівняння має додатні розв’язки. (В. )

  5. При якому значенні параметрів рівняння не має розв’язку? ( )

  6. Визначити при яких значеннях параметра а корні рівняння кратні 5. (В. )

  7. Розв’язати рівняння

де а — параметр.

(В. якщо то



то

то

то

то

  1. При яких значеннях параметра а всі розв’язки рівняння задовольняє нерівність ? (В.

  2. При яких значеннях параметра а рівняння має не менше чотирьох цілих коренів? (В.

  3. При яких значеннях параметра а рівняння

а) не має розв’язків;

б) має кінцеву непорожню множину розв’язків?



2. Квадратні рівняння з параметром
Означення. Рівняння виду де — шукане невідоме, — параметри, називається квадратним рівнянням з параметрами.

Корені квадратного рівняння знаходимо за формулою:



, де

  1. Якщо то рівняння має 2 дійсні корені.

  2. Якщо , то рівняння має єдиний корінь.

  3. Якщо , то рівняння не має дійсних коренів.

Для коренів і квадратного рівняння виконуються наступні теореми.

Розглянемо деякі властивості квадратного тричлена. Виділяючи повний квадрат, дістанемо формулу:



із якої маємо, що графік квадратичної функції отримується із графіка функції за допомогою 2-х паралельних переносів — зсуву на вимогу вздовж осі ох і зсуву на величину вздовж осі оу.

Тому координати визначаються параметром

Оссю симетрії параболи є пряма



Теорема (Вієта). Між коренями і квадратного рівняння існують співвідношення:



Зауваження. Дуже часто теорема Вієта провокує учнів на відгадування коренів рівняння (усний розв’язок) замість його розв’язування за формулою коренів квадратного рівняння. Але можна 10 разів усно вірно знаходити корені квадратного рівняння за теоремою, але 11 разу помилитися. Уявіть собі що цей 11 раз відбудеться на іспиті?! Що може бути гіршим помилки при обчисленні в «умі» на письмовому іспиті?

Не дивлячись на попереднє зауваження, теорема Вієта може успішно застосовуватися при розв’язуванні різних задач, зокрема, задач на дослідження знаків коренів квадратичного рівняння. Це міцний інструмент для розв’язування багатьох задач з параметрами для квадратичної функції.


Теорема. Для того щоб корені квадратного рівняння мали однакові знаки, необхідно і достатньо виконання співвідношень:

при цьому обидва корені будуть достатні, якщо додатково виконується умова



і обидва кореня будуть від’ємні, якщо




Теорема. Для того щоб корені квадратного рівняння мали різні знаки, необхідно і достатньо щоб виконувалися співвідношення

Наведемо також теореми про розташування коренів квадратного рівняння.


Теорема. Нехай числа і корені квадратного рівняння де і дані деякі точки і на осі

Тоді:


1. Обидва корені менше числа , тобто

і

тоді і тільки тоді, коли



або

2. Корені лежать по різні боки від числа тобто



тоді і тільки тоді, коли



або

3. Обидва корені більше числа , тобто і тоді і тільки тоді, коли



або

4. Обидва кореня між точками і тобто



і

тоді і тільки тоді, коли



або

5. Корені рівняння лежать по різні боки відрізка , тобто тоді і тільки тоді



або

Приклад. При яких значеннях а число 2 знаходиться між коренями рівняння ?

 Нехай і — корені квадратного рівняння причому Формалізуючи умови задачі, дістанемо



Якщо розв’язувати цю систему рівнянь, то будемо мати значні труднощі.

Тому користуємося п. 2 теореми



Відповідь.


Приклад. Знайти кількість цілих значень при яких квадратне рівняння не має дійсних коренів?

 Рівняння не має дійсних коренів, якщо тобто або

З цього проміжку знаходимо цілі 1, 2, 3, …, 15.

Відповідь. 15 цілих значень.
Приклад. При якому значенні параметра в рівняння має єдиний розв’язок?

 Спочатку перетворюємо рівняння до виду



.

Це рівняння має єдиний розв’язок, якщо його дискримінант дорівнює нулю, тобто



,

звідки






Відповідь.
Приклад. Обчислити суму цілих значень параметра а при яких рівняння має два різні дійсні корені.

 Рівняння має два різні дійсні корені якщо



тобто


,

Далі знаходимо суму цілих значень параметра а:





Відповідь.
Приклад. Визначити найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння має два різні розв’язки.

 Введемо заміну (наочно, що ) і залишимо рівняння у виді:



Це рівняння має два розв’язки, якщо тобто . Звідци



Корені рівняння . Тому і

Із системи маємо: .

Відповідь.
Приклад. Знайти кількість цілих значень параметра при яких сума розв’язків рівняння належить проміжку ?

 За теоремою Вієта



Тоді


або


або


Параметр набуває наступних цілих значень: 9, 10, 11, 12, 13.



Відповідь. 5 цілих значень.
Приклад. Розв’язати рівняння

 ОДЗ:

Тоді після зведення до спільного знаменника рівняння набуває вигляду

або на області допустимих значень невідомого та параметра



Знайдемо дискримінант цього рівняння



і його корені:





Враховуючи ОДЗ дістанемо:

при

рівняння має два корені

Якщо


Приклад. Розв’язати рівняння

де — параметр,

 Зробивши заміну перетворимо це рівняння у вигляді де бо

Вершина графіка квадратного тричлена



має абсцису тому із умов слідує, що Отже, при проміжку може належати тільки більший корінь вказаного тричлена. Цей факт аналітично описується системою нерівностей



Розв’язуючи цю систему при умові знаходимо, що вона сумісна при

Більший корінь тричлена то розв’язуючи рівняння знаходимо розв’язок при інших а розв’язків немає.
Приклад. Розв’язати рівняння де а — параметр.

 Зробимо заміну , де Тоді , а отже Звідси Отже приходимо до системи



Розв’язування системи зводиться до знаходження тих значень параметра а, при яких логічно можливо наступне розв’язування квадратного тричлена



Ці можливі випадки розташування на дійсній осі коренів квадратного тричлена описуються аналітично умовами

І. ІІ. ІІІ.

Тоді І. ІІ. ІІІ.

Враховуючи, що корені тричлена задаються формулою

доходимо висновку, що система має наступні розв’язки:



при

при

при

тому корені початкового рівняння задаються рівностями:

якщо , то

, то

, рівняння розв’язків не має.


  • ВПРАВИ

1. Знайти всі значення параметра а, при кожного з яких рівняння



має два різні від’ємні корені. (В. ).

2. Знайти всі значення при яких сума коренів рівняння дорівнює сумі квадратів його коренів. (В. )

3. Знайти кількість цілих значень параметра при яких добуток коренів рівняння належить проміжку ?

4. У рівнянні визначити , при якому відношення коренів цього рівняння дорівнює (В. )

5. При яких значеннях корені рівняння належать інтервалу ?

6. При яких значеннях корені квадратного рівняння мають різні знаки? (В.

7. Знайти найбільше значення параметра при якому рівняння не має двох різних дійсних розв’язків. (В. )

8. При якому найменшому цілому значенні параметра корені рівняння знаходяться по різні боки проміжку ? (В. )

9. Розв’язати рівняння:



(В. )

10. Розв’язати рівняння:

Якщо , якщо .

11. При яких значеннях параметра корені рівняння належать відрізку ?

12. При яких значеннях параметра корені рівняння невід’ємні? (В. ).

13. При яких значеннях параметр рівняння має хоча б один додатній корінь? (В. )

14. При яких значеннях параметра корені і многочлена задовольняють нерівностям . (В. )

15. При яких значеннях параметра а обидва корені і рівняння належать інтервалу ? (В. ).

16. При яких значеннях параметра а рівняння не має розв’язків? (В. )

17. Залежно від а розв’язати рівняння

А. (В. якщо , то при інших )

В. . (В. якщо , то , при інших

С. . (В. )

18. При яких значеннях параметра а корені рівняння належать інтервалу ? (В. )

19. При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння менше 1, а інший більший 2? (В. )

20. При яких цілих значеннях параметра а система рівнянь

має розв’язки? Знайти ці розв’язки. (В. Якщо то при інших розв’язків немає.



3. Графічне розв’язання рівнянь з параметрами
Алгоритм графічного методу:

  1. Знайти область допустимих значень невідомого та параметрів, що входять до рівняння.

  2. Виразити параметр як функцію від невідомого: .

  3. В системі координат побудувати графік функції для тих значень х, які входять в область визначення рівняння.

  4. Знайти точки перетину прямої з графіком .

Можливі випадки:

  1. пряма не перетинає графік функції . При цьому значення рівняння розв’язків не має.

  2. пряма перетинає графік функції . Визначити абсциси точок перетину (для цього достатньо розв’язати рівняння відносно ).

  3. Записати відповідь

І. Якщо рівняння набуває вигляду

ІІ. Якщо матимемо



У системі координат будуємо графіки функцій для та для



Далі, знаходимо точки перетину прямої з графіком функції Пряма має з графіком функції лише одну спільну точки, абсциса якої дорівнює

Якщо рівняння розв’язків не має, оскільки пряма не перетинає графік Якщо , пряма перетинає графік функції у двох точках, абсциси яких можна знайти з рівняння



Якщо , то перетином прямої з графіком функції є дві точки з абсцисами де — менший корінь рівняння ; — більший корінь рівняння , тобто



(В. Якщо рівняння розв’язку не має;







; )
Приклад. При якому значенні рівняння має три розв’язки?

Запишемо рівняння у вигляді



ОДЗ: ,

Побудуємо схематично графіки функцій та

Якщо , то пряма перетинає криву у трьох точках з абсцисами . (В. )




  • Вправи для самостійного розв’язання

1. При якому значенні параметра рівняння має три розв’язки? (В. –26)

2. При якому найбільшому цілому значенні параметра рівняння має два розв’язки? (В. –16)

3. Розв’язати графічно рівняння .

(В. Якщо

рівняння немає розв’язків.

4. Розв’язати графічно рівняння .

(В. Якщо рівняння розв’язків немає.

Якщо

5.

Дослідження та розв’язання систем


лінійних рівнянь з двома невідоми та з параметрами
Дослідити систему рівнянь означає встановити:

  • чи є система визначеною тобто має єдиний розв’язок, і при яких умовах;

  • чи є система несумісною тобто немає розв’язків, і при яких умовах;

  • чи має вона безліч розв’язків і при яких умовах.


Приклад. Дослідити систему рівнянь

де — невідомі; — параметр.

 1. Якщо то система має єдиний розв’язок.

При цьому графіки рівнянь, що входять у систему, мають одну спільну точку, координати якої є розв’язком системи.

2. Якщо то система не має розв’язків.

Графіки рівнянь при цьому є взаємно паралельними прямими.

Якщо то система рівнянь має безліч розв’язків.

Графіки рівнянь збігаються.


Приклад 2. При якому значенні параметра а система має безліч розв’язків?

 Система має безліч розв’язків, якщо

Розв’язати рівняння .

Звідси . З умови маємо .

(В. )
Приклад 3. При яких значеннях а система не має розв’язків?

 Система не має розв’язків, якщо

Розв’яжемо рівняння



Звідси

Перевіримо умову

Підставимо в останній вираз замість а значення дістанемо

Якщо то система немає розв’язків.

(В. .)
Приклад. При яких значеннях система рівнянь має розв’язки ?

 Система має розв’язки, якщо



тобто


Розв’язуючи систему рівнянь, матимемо



За умовою задачі тобто



Оскільки , то остання система рівносильна системі:



звідси

(В. )



  • Завдання для самостійної роботи

1. При якому значенні параметра а система має безліч розв’язків?

2. При якому найбільшому значенні параметра а

не має розв’язків. (В. 3)

3. При яких значеннях система рівнянь

має від’ємні розв’язки? (В. )

4. При яких значеннях система рівнянь

має розв’язки

5. Дослідити та розв’язати систему рівнянь

(В. Якщо — безліч розв’язків

розв’язків немає.

Якщо .)






База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка