Лекція №12 Тема№6: Характеристики автоматичних систем



Скачати 39.37 Kb.
Дата конвертації03.04.2017
Розмір39.37 Kb.
Основи автоматизації виробництва

Спеціальність – 7.05050201 „Технологія машинобудування”



Лекція №12



Тема№6: Характеристики автоматичних систем

Поняття про перетворення Лапласа і його застосування для аналізу динамічних систем
План:

1. Поняття про перетворення Лапласа

2. Застосування перетворення для аналізу динамічних систем
1. Для того, щоб отримати кількісну або якісну оцінку САК, яка описана системою диференціальних рівнянь, необхідно розвязати цю систему.

Розвязок системи диференціальних рівнянь можна виконати звичайним (класичним ) методом. Проте цей шлях досить трудомісткий.

Дійсно, вже при розвязку диференціальних рівнянь третього порядку зустрічаються відомі труднощі. При розвязку диференціальних рівнянь більш високих порядків застосовують наближені методи розвязку.

Розвязок диференціальних рівнянь значно покращується, якщо застосовувати перетворення Лапласа.

Перетворення Лапласа змінює функцію дійсного змінного (в тому числі і часі) у функцію комплексного змінного. Таке перетворення дозволяє представити системи інтегро-диференційного співвідношення між сигналами у формі алгебри, що дає певні переваги при рішення ряду задач.

Суть методу полягає в тому, що змінюючись в часі величини замінюються за певними правилами відповідними зображеннями цих величин. Задача розв'язується для отриманих зображень, після чого здійснюється зворотній перехід від зображення до самих величин.

В САК використовуються взаємозв'язані елементи, в основі дії яких лежать самі різні по своїй природі фізичні процеси.

При розгляді системи в цілому виникає необхідність встановити зв'язки між цими процесами, тобто встановити кількісний взаємозв'язок між різними величинами (електричними, механічними, гідравлічними і ін.).

Процеси, які протікають в лінійних системах, описуються лінійними диференціальними рівняннями, для розвязку яких зручно використовувати операційне числення, засноване на перетворенні Лапласа.

Перетворення Лапласа змінює функцію дійсного змінного (у тому числі часу) у функцію комплексного змінного.

Таке перетворення дозволяє представити складні інтегро-диференційні співвідношення між сигналами у формі алгебри, що дає визначені переваги при розвязку ряду задач.

2. Суть методу полягає в тому, що змінюючись в часі величини замінюються за певними правилами, відповідними зображеннями цих величин.

Задача розв'язується для отриманих зображень, після чого здійснюється зворотний перехід від зображень до самих величин.

f(t) – оригінал;

F(S) - зображення



де S – довільна комплексна змінна S=a+bi ;

а , b – речові змінні

Користуючись цим виразом можна перейти від оригіналу до зображення, тобто здійснити пряме перетворення Лапласа:


F(S)=L[f(t)]
де L – означає пряме перетворення Лапласа.

Для виконання зворотного переходу необхідно здійснити так зване зворотне перетворення:

або
де, L-1 – зворотнє перетворення

При розвязку більшості задач, пов'язаних з розрахунком САК використовується невелика кількість зображень функцій, значення яких корисно запам'ятати.

Зображення суми функцій:
F(S)=F1(S)+ F2(S)+ F3(S)+…+ Fn(S)
Зображення суми функцій f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+f4(t)+...+fn(t) дорівнює сумі зображень цих функцій.

2) Зображення похідної функції на постійну величину:


f(t)= Аf1(t);
Зображення: F(S)=АF1(S)

3) Зображення похідної

f(t)= df1(t)/dt;

Зображення: [F(S)]I=SF1(S)

[F(S)]II=S2F1(S)

4) Зображення інтегралу:



Зображення: F(S)=F1(S)/S

На основі отриманих співвідношень складена таблиця зображень найпростіших функцій, функцій часу.

Приклад:


Так як інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів, то

Ці перетворення аналогічні логарифмуванню, наприклад



Оригінал

Зображення

1

10

100



1000

0

1



2

3

Від оригіналу переходимо до зображень:

10→1


100→2 і т.д.
Над зображенням здійснюємо дію:

(1+2)=3
Застосовується зворотнє перетворення:

зображення → оригінал відповіді

3→ 1000
Такого роду перетворення мають сенс тоді, коли спрощуються певні дії.

Аналогічно логарифмуванню метод Лапласа застосовується для спрощення розвязку лінійних диференціальних рівнянь.

Підсумок:


Перетворення за Лапласом надає можливість представити системи інтегро-диференціального співвідношення між сигналами у формі алгебри, що суттєво спрощує розвязок математичних моделей, записаних у диференціальній формі.
Контрольні питання:

1.Для чого застосовується перетворення за Лапласом? Суть цього методу?

2.. Основні правила перетворення за Лапласом.

3.З якою математичною операцією можна порівняти цей метод?


Персоналій:

Лаплас Пьєр-Симон (1749-1827) – видатний французький математик, фізик та астроном. Відомий роботами в області небесної механіки, диференціальних рівнянь, один із створювачів теорії вирогідностей. Заслуги Лапласа в області чистої та прикладної математики, і особливо у астрономії величезні: він вдосконалив майже всі відділи цих наук.


База даних захищена авторським правом ©lecture.in.ua 2016
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка